ABC

axes , puisqu'on a pour leurs cosinus^, , en fSiisant

56 TH^OBIA DBS PH^NOMÀNES

Quant à la focce produite par Factiou du circuit sur rël^ment situé à l'origine , elle aura , comme on Ta vu plus haut, pour expression f m âs D sin. s e'tant l'angle qnefait cet élément avec la directrice , à laquelle cette force est perpendiculaire ainsi qu'à la direction de l'élément.

Dans le cas oii le petit circuit que Ton considère est danis le même plan qte l'élément d^' sur lequel il agit, on a, en prenant ce plan pour celui des xjr,

9=0|C08.IÏ= f ,008.11 = 6,C08.Ç=0,

et par suite .

D se réduit alors à C ; e est égal à ^ , et l'action du circuit sur l'élément d^ devient

Je vais maintenant exposer une nouvelle manière de considérer l'action des circuits plans d'une forme et d'une gran« deur quelconque.

Soit un circuit plan quelconque M N w. ({ij?. 16); partiigeons sa surface en éléments infiniment jx tits j)arde3 droites parallèles coupées par un second s) sterne de parallèles faisant des angles droits avec les premières, et imaginons autour de chacune de ces aires infiniment jietites des courants dirigés dans le même sens que le courant M N m. Toutes les parties de ces courants qui se trouveront suivant ces lignes droites, seront détruites, parce qu'il yen aura deux de signes contraires

rfLICTRO-DYNAMIQDBft. 5j

qui parcourront la même droite; et '1 ne restera que les parties curvilignes de ces courants, telles que^MM formeront le circuit total M N m.

II suie delà que les trois intégrales A,B,C s'obtiendront pour lecircuît {dan d'une grandeur finie, en substitttant dans les valeurs que nous venons d'obtenir pour «s trois quantités , à la place de X un élément quelconque de Taire du circuit que nous pouvons re[n«senter par d*X et intégrant dans toute Fétendne de cette aire.

• lorsque, par exemple , l'élément est situé dazis le même ^lan que le circuit, et qu'on prend ce plan pour celui des xjr, on a

A=o,B=o,C=:(«-i)jjr^., et la valeur de la force devient

d'on il suit que , si à chacnn des points de l'aire du circuit on élève une perpendiculaire égale à , le volume

du prïsme qui aura pour base le circuit et qui sera terminé à la surfiice formée par les extrémités de ces perpendiculaire», représentera la valeur de jj' et ce volume

multiplié par ^^-^u'ds' exprimera l'action cherchée.

Il est bon d'observer que la questioh étant ramenée à la cubature d'un solide, on pourra adopter le système de coordonnées , et la division de l'aire du circuit en éléments qui conduiront aux calculs les plus simples.

Passons à l'action mutuelle de deux circuits très^petits

68 ' THifORIB DBS PH)ÎNOICàirBS

O et O' (fig. i8) situés dans un même plan. Soit HN un élément d^' quelconque du second. L'action du circuit Q sur dj' est, d'après ce qui précède,

n—t ii'ds'Xdf a ' r-*-'

Nommant dç l'angle M NO, et décrivant l'arc MP entre les côtes de cet angle, on pourra remplacer le petit courant MN par les deux courants MP,NP dont les longueurs sont respectivement rdr^ et dr; l'action du circuit O sur 1 élément ]MP, qui est normale à sa direction , s'obtiendra en remplaçant dans l'expression précédente ds' par MP, et sera

racdon sur NP ,perpendiculaiTel sa direction, sera de même

■n — I u"kdr

Cette dernière intégrée dans toute l'étendue du circuit fermé O' est nulle, il sufTit de considérer la première qui est dirigée vers le point O, doii il résulte déjà que l'action des deux petits circuits est dirigée suivant la droite qui les joint.

Prolongeons les rayons OM, ON jusqu'à ce qu'ils rencontrent la courbe en M' et N'; l'action de M'N' devra être re* tranctiée de celle de MN, et l'action résultante s'obtiendra en prenant ccmiDie précédemment la yariation de celle de MN en signe contraire, ce qui donne

«(rt — i) ii'Xdfjr n(rt — i) H'^rd^ir

Or, rdf irest la mesure du segment infiniment petit MNN'Ml

rfLBCTRO-DTf NAMIQ0E8. 5()

Faisant la somme de toutes les expressions analogues relatives aux ciifTerents éléments du circuit O', et considérant r comme constant et égal à la distance des centres de gravité des aires ). et>,' des di ux circuits, oq aura pour l'action qu'ils exercent l'un sur l'autre

et cette action sera dirigée suivant la droite OO'. Il résulte de là que l'on obtiendra l'action mutuelle de deux circuits finis situés dans un même plan , en considérant leurs aires comme partagées en éléments infiniment petits dans tous les sens, et supposant que ces éléments agissent l'un sur l'autre suivant la droite qui les joint, en raison directe de leurs surfaces et en raison inverse de la puissance n + 2. de leur distance.

I/action mutuelle des courants fermés n'étant plus a^ors fonction que de la distance, on en tire cette conséquence importante, qa'il ne peut jamais résulter det^tte action un m ouven wnt de rotation continoc»

La fonntde que nous venons de tmmir ponr ramener raotioli mutuelle de deux circuits fermée et plans à celles des éléments des aires de ces circoits, conduit à la détermination de la valeur de ». En effet, si Ton considère deux systèmes semblables composés de deux circuits fermés et plans, les élànents semblables de leurs aires seront proportionnels aux carrés des lignes homologues , et les distances de ces éléments seront proportionnelles aux premières puissances de ces mêmes lignes. Appelant m le rapport des lignes homologues des deux systèmes, les action» de deux éléments du Jkremier système et de- leurs correspondants- du second se-

. 6o TH^ORIB 0B8 PHtflTOllàirBS

ront respectivement

«( rf— '0 ii'W ^ «(«—!) /•/'».'/«« a r"^* a r* ■*••<»■"+•» '

leur rapport, et par suite celui des actions totales, sera donc m*"". Or, nou^ avons décrit précédemment une expérience par laquelle on peut prouver directement que ces deux actions sont égales; il faut donc que n=a, et, en vertu de l'équation j—n — 2/( = o, que k= — 7. Ces valeurs de A et de k réduisent à une forme très-simpie l'expression

»*•' àsàs'"

de Tactioii mutuelle de et de d/'y cette expression devient

Il soit aussi de ce que a= a , que dans le cas o& les directions des deux éléments restent les mêmes, cette action est en ndfloii inverse dn carré de leur distance. On aait que M. de La P]ace a établi la même loi , d'après une expérience deM. Biot, lorsqu'il ^agit de l'action mutuelle d'un élément de condnc^ teur voltûque et d'une molécule magnétique : mais oe résultat ne pouvait être étendu à l'action de deux éléments de oonduo< leurs, qu'en admettant que l'action des aimants est due à des courants électriques ; tuidis que la d ém o ns tr ation expmmentaie que je viens d'en donner «st indépendante de toutes les hypothèses que Ton pourrait faire sur la coostitutiou des aimants.

Soit MON (fig. 17) un circuit formant un secteur dont les côtés comprennent un angle infiniment petit, et cherchons l'action qu'il exerce sur un conducteur rectiligne O S' passant

ÏLECTRO- DYNAMIQUES. 6l

par le centre O du secteur, et calculons d'abord celle d'un élément MNQP de l'aire de ce secteur sur un élément M'N du conducteur OS'. Faisons 0^l = u, MV=du,OM'=s', MM'=r,S'ON=e,NOiM = dE. Lemomcnt de MNQP pour faire tourner M' autour de O sera, en observant que l'aire MNQP a pour expression uduât ^

et le moment dn secteur sur le condiictear s' s'obtieiidm en intégrant cette expceesion par rapport a » et On a

r'=t'* + a' — nus' COS. • ,

d'oii

dr / dr ,

r^:=U—S COS.|,rgp=* »»COS.e,

et, en différenciant une seconde fois,

dV dr dr ' . "

''ditdi' dy da »

di* dr

on, en snbstitnant ^ ^ et ^ lenis yaleurs,

dv (»— <^cot..)y-.iicot.,)

oe qui devient, en eflfectoant les calculs et irisant, d'où l'on tire

r"^ fin.'t'difdf' *

substituant cette yalenr dans le moment âëmentaire, on a*

6a THEORIE DES PHENOMENES

pour l'expression du moment total

a JJ r' a sin,* ^/ J duds'

Fn considérant la portion L'L" du courant /, et la portion L, L. du secteur, et en faisant L'L.=r.', L"L.=r.",ULi=r,', L"L,=:r,", la ▼aleiir de cette intégrale est évidemment

Lonqoe c'est à partir du centre O «pie commencent le secteur et le conducteur/, la distance f^,=o; et si l'on Ikit Oh,=a^OV=b,U'lut=r, on troave que leur action mutuellë est exprimée par

Quand le conducteur L'L'' (6g. 19) a pour milieu le centre L. du secteur, et que sa longueur est double du rayon a de ce secteur, on a ass^^et en faisant L'L, L,^ a 9= « — «,

r,'=r," = a, r,' = a a sin. 6 ,r," = a a cos. 6 , d 4= — a dd ,

en sorte que la valeur du moment de rotation devient

ait -r—r -(Sin.Ô— COS.*)=- . r^V: —

On peut déduire de ce résultat une manière de vérifier ma formule au mo^en d'un instrument dont je vais donner la desci'iption.

Aux deux points a^a ( fig. 20 ) de la table nin s'élèvent deux supports ab^a' h' dont les parties supérieures cZ», c'&' sont isolantes, ils soutieuuentunelamedecuivreH^^eH'^'tf'

pUée en deux sahrant la droite H ET, et qui eit terminée par deux coupes H et H' où Ton met du mercure. Aux pcûnts A,G , A'C, delà table sont quatre cavités rempliesde même de mercure. De A part un conducteur en cuivre AEF'GSRQ, soutenu par H H' et terminé par une coupe Q; de A' il ai part un second A'E'F'G'S'R'Q'sjnoaétriqtte au premier; ils sont tous les deux entourés de soie , pour être isolés Tuni de Tautre et du conducteur H H'. Dans la coupe Q plonge la pmnte d'un conducteur mobile Q PONM L K I H revenant sur lui-même de K en I , et ayant dans cette partie ses deux branches PO» Kl entourées de soie; il est terminé par une seconde pointe plongée dans la coupe H;NML forme une demi-circonférence dont LN est le diamètre, et K le centre ; la tige PK/» est verticale, et terminée en p par une pointe retenue par trois oeicles horizontaux B, D, T qui peuvent tourner autour de leurs centres et sont destinés à diminuer le frottement.

XY est une tablette fixe qui reçoit dans nue rainure un conducteur WJifkhgoXC revenant sur lui-même de g en o et doublé de soie dans cette partie; ifhhg est un secteur de cercle qui a pour centre le point k ; les parties \\i et go sont rectilignes; elles traversent en x le support ab , dans lequel on a [iratiqué une ouverture à cet effet, et se séparent en o j)our aller se plonger respectivement dans les cavités A et C. A droite de F G se trouve un assemblage de conducteurs fixes et mobile parfaitement semblable à celui que nous venons de décrire, et lorsqu'on plonge le rliéophore positif de la pile en C, et le négatif en C, le courant électrique parcourt les conducteurs C Z ogh A/t UV, AEFGSRQ ; de là il passe dans le conducteur mobi le Q P O N M L K I H, et se rend en H' par HH'; il parcourt ensuite le conducteur mobile sy.

64 TOBORIB DES PHÏNOlcàttBS

métrique HTK'L'M'N'O'P'Q', «prive en Q', suit le conducteur Q'R'S'G'F'E'A' qui le conduit dans la cavité A ', d'oii il se rend en C par le conducteur V M'i'fkhg'o' XCy et de là dans le rhéophore ne'gntif.

Le courant allant dans la direction LN dans le diamètre L'N, et de h en k, puis dekea/^ dans les rayons h kf, il y a répulsion entre ces rayons et le diamètre; de plus, le circuit fermé ghkfi ne produisant ^aiicnne action sur le demi-cercle L M N dont le centre se trouve dans l'axe fixe p H, le conducteur mobile ne peut être mis en mouvement que par l'action du secteur f: h k/i sur le diamètre LN, vu que dans toutes les autres parties de l'appareil passent deux courants opposés dont les actions se détruisent. I/cquilibre aura lieu quand le diamètre LN fera des angles égaux avec les rayons k/\ kh; et si on l'écarté de cette position, il oscillera par l'action senle du seteur f:h kfi sur ce diamètre.

Soit 9. /, l'angle au centre du secteur, on aura dans la position d'équilibre.

al=-+ii ou «=3^ + D,

d'oîi l'on conclut