GRANDEUR DE LA VITESSE U
partie voisine du tube à un cylindre et lui appliquant les formules des tubes cylindriques.
127. Considérons un tube rectiligne infiniment délié. Pour déterminer la vitesse, nous remplaçons ce tube par un courant rectiligne indéfini. La vitesse est représentée par le même vecteur que la force magnétique : elle est donc en raison inverse delà distance du point considéré à l'axe du courant. En un point infiniment voisin de cette droite, la vitesse sera infiniment grande. Par conséquent la force vive T est infinie.
Le potentiel vecteur (F, G, H) est défini par les relations :
''=ft"'
etc.
Supposons notre tube rectiligne parallèle h l'axe des x.
Dans le cas actuel ^ est une constante. F serait le potentiel d'une droite indéfinie éleclrisée uniformément. En un point infiniment voisin delà droite, ce potentiel est de l'ordre de log p, si p est la distance du point à, la droite.
128. Soit maintenant un tube circulaire ou le courant circulaire qui le remplace. Dans le plan normal à ce cercle au point 0, je prends un point M très voisin de 0. Je vais chercher la force magnétique et le potentiel vecteur engendrés au point M par le courant circulaire, et les comparer à ceux qu'engendrerait un courant rectihgne, dirigé suivant la tangente en 0, et ayant même intensité que le courant circulaire.
Prenons le point 0 comme origine {/ig. 32), la tangente comme axe des x, le diamètre OC comme axe des y. Le point M sera dans le plan des yz.
Supposons l'intensité du courant égale à l'unité. Soient ds un élément de courant, dx sa projection sur Ox, r la distance de ds au point M :
p ( dx
L'intégrale doit être prise de — R à -}- R, R étant le rayon du cercle.
Soient PP' = ds, et P^P; = dx la projection de PP' sur l'axe des X {fig. 33); r, la distance de ^' "' PiPi' à M. Le polenliel vecteur dû
au courant rectiligne a pour expression :
L'intégrale devrait être prise de — oo à -j- co; mais, comme nous ne nous proposons que d'étudier l'ordre de grandeur de F^, nous pourrons la prendre comme la première entre les limites — R et + R.
En effet, les éléments situés à distance finie de M donneraient dans l'expression de F, des termes finis, qui sont négligeables vis-àvis des termes très grands donnés par les éléments voisins de M.
Kig. 33.
GRANDEUR DE LA VITESSE Il en résulte que nous avons le droit d'écrire
Nous pouvons trouver une limite supérieure de l'élément de cette intégrale. Soient, en effet :
0, 2/q, z„ les coordonnées de M X, y, n id. de P
X, o, o id. de P,.
Dans le triangle iMPP,
MP = r MP, = r, PP< = y.
Or :
est plus petit que
Comme r, — r < y, on a enfin :
et
D'ailleurs
,•" = MP- = a;2 + (y - y,f + zl
I ydx / ydx
THtOBIE DES TOURHILLO^S.
146 MOUVEMENT DES TOUES TOUr.BILLUrOAlP.ES
d'où ;
Quand le poinl P se rapproche indéfiniment de o, -~, tend vers une limite finie 2K, Il étant le rayon du cercle.
ydx r-
linies, par suite la dillérence F — F^ est finie.
L'intégrale / "-^- et de même l'inlcgrale / ^^-7- restent donc
