CT — P

et pour que ces valeurs conviennent , il faut et il suffit qu’on ait à la fois

Développant ces deux conditions , on trouve , en observant < l ue 2ii'~‘ u7r— R — £' > ° (l ,a S e IO )>

P >„ + i (rH . ç s )(p„ + i' + |)^V A

pour « -4- p r;

pour p > s ; d’où l’on tire

[ H -4- er -4- o m , 2 o

[ H — f- cr -t- o m , 1 2

7. Si la courbe de giron doit passer par le milieu de l’emmarchcment , nous aurons à satisfaire aux trois conditions

">-*> P>^ £ > u + P<- r ’ lesquelles donnent respectivement , en y substituant pour u.

sa valeur,

. P>tï+ i p

•)-vlr P>i*... p >. + ip (g + !; + !•*) J’

«>i*...p< ra + ip (£ + X + {1 „)

Nous ferons remarquer maintenant que , suivant qu’on

aura p > i r ou 0 < -r, on devra prendre pour limite

inférieure de P, soit la première, soit la deuxième des deux limites inférieures précédentes. Passant ensuite aux limites de », on trouve

+ ï f \ï + * m + ,Mr ) 5 r 2iRj ’

[ H -t- ra -h 0,12

si p<jr.

Dans le cas des formules ( 1 5 ), les limites de p seront

dans le cas des formules (i 6) .

8. La couibe de giron passant toujours par le milieu de l’emmarchement, si celui-ci est donné, nous aurons

et comme on doit avoir p ]> ^ e , u 4- p <V, on en conclura pour u ■+■ p <[ r\

• p <*+r ( ft,r+ ^ + è)“i‘2R]

pour p^> ~é-, d’où l’on tire , pour les limites de n ,

Remarque. — Les formules précédentes s’appliqueraient sans difficulté au cas où la cage, présenterait une ligne polygonale régulière.

S in

Escaliers dans les cages polygonales ayant des angles saillants ou rentrants.

9. Soient ABCDEFG {fig- 4) la cage proposée, Ax , gy les lignes de départ et d’arrivée de l’escalier. Je construis un polygone équidistant, dont'j 'arrondis les angles en prenant pour rayon p~^>s\ du sommet D de l’angle saillant, je mène les perpendiculaires De/, I) d, que je prolonge respectivement jusqu’aux bissectrices voisines, puis j'arrondis l’angle d’inflexion de la ligne de foulée, en prenant D pour centre, et pour rayon I) d = u. En adoptant les memes notations que précédemment, nous aurons

ap = p — -u,

pb — a — - (p+n),

bc — A'— (p 4- u),

cd = A"- p( P + «•), arc dd = (tt — 2 ij i) u f

fl =

gq = q

. (t 9 •“ q" ~i~ p — f twp,

Ajoutant ces égalités membre à membre et faisant 2 ip=zvn,

on trouve

-'(Zi+'Zi-'-î-k}

Le signe ^ s’étend à tous les côtés de la branche concave,

vers la ligne de foulée -, le signe V' à tous les côtés de la branche cou vexe; de là on tire

Si , pour arrondir les autres angles de la ligne de foulée, on adoptait aussi u pour rayon , la valeur de « deviendrait

2 ;gj •

Pour que la formule (19) donne des valeurs qui conviennent au problème, il faut et il suffit qu’on ait à la fois

r, désigne la quantité analogue à r, relative à la branche convexe DEFG, et ces conditions se réduiront à deux, savoir :

si l’on peut prendre p<^r\. E11 distinguant les deux cas où l’on aurait

2r-Zr~ 7 ' (, “ v)> ou <o ’

on obtiendrait sans difficulté les limites de P, et par suite celles de n. ,

Si la ligne polygonale subissait de nouvelles inflexions, chaque angle d’inflexion introduirait au dénominateur de

THÉORIE Dli CALCUL

la formule (19) un terme tel que — 7T ( 1 — v), et chaque nouvelle branche ferait entrer dans le coefficient de p, au

numérateur, un terme tel que 2 et au dénominateur,

± ^ -5 suivant que la nouvelle branche de ligne polygo-

nalc tournerait sa concavité ou sa convexité vers la ligné de foulée.

10 . Supposons maintenant que le polygone ayant un angle de rebroussement, soit formé de deux branches qui tournent leur concavité vers la ligne de foulée ; en adoptant les mêmes notations que précédemment, nous aurons

a P — P — | “> pb = a — | (p -+- «), bc = A' — —, (p -4- u) , cd—K " — +

arc dd = w ( 1 — u ou 2 th — ni cot ( * ) >

de = A'"- ^(p + «), c/,= A' T -p(P + ").

fl — °n — çr- (p 4- tt) ,

(f + f'+f" + ..,)p = pnp.

(*) Si l’on n’arrondit pas l’angle s.

Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient

d’où l’on tire, si l'on arrondit l’angle de rebroussement de la ligne de giron ,

et si l’on n'arrondit pas cet angle,

Le signe ^ s’étend à tous les côtés de la cage. On aura ensuite à satisfaire aux deux conditions

lesquelles, étant développées, donneront sans peine les limites de P, et par suite celles de n.

Si la cage avait un nouvel angle de rebroussement , on y aurait égard en introduisant au dénominateur des formules ci-dessus un terme tel que — ît(i — v) ou tel que — 2cot <J/, suivant qu’on arrondirait ou non la ligne de foulée à ses angles de rebroussement.

H . Supposons maintenant que l’angle de rebroussement ait son ouverture tournée vers la ligne de foulée; nous