CHAPITRE TROISIÈME

ej — 6 — 1 2 ea 1 y3

Nous avons rejeté de cette dernière fonction tous les termes d’un ordre supérieur au second; et dans le développement des fonctions

ÿ ’ ÿ on a négligé tous les termes d’un ordre supérieur au quatrième.

Cela suffit à cause des facteurs qui multiplient ces mêmes fonctions dans les équations différentielles.

Sur l’expression du tems , en fonction de la longitude vraie de la Lune,

qui constitue la première approximation relativement à cette troisième coordonnée de son orbite.

247. D’après la conclusion établie dans le n.° 216 et de nouveau rappelée dans le n.° 221, il semble que, sur ce point, il n’y a pas lieu à un choix différent , et qu’il convient de s’en tenir à l’expression de nt fournie par l’équation

[nt] = p -h fedo h- (^)/g - I^p.

Mais, en développant la valeur de i — 1 et exécutant ensuite l’intégration indiquée, l’on voit naître le terme ayant pour argument 2 (gv—Jôdv)— 2 (cp —J'fsdv) avec un coefficient dont l’ordre est abaissé de deux unités , en vertu du diviseur 2^—2 c — ~ adjwfo

n V, dv dv

qu il a acquis par cette opération.

001 °m si a

cos OP cos CP COS 2CP COS 2 gv

Cependant on sait, par l’analyse exposée depuis le n.° loo jusqu’au n.° 119, que l’addition de la perturbation §nt fait disparaître dans la somme [nt] -4- Int la partie du même coefficient qui est d’un ordre inférieur au quatrième. Ainsi, d’après cette considération, il est naturel

d 'exclure de l’intégrale /'(f “ ')* le terme affecté de 1,argument

2(gv —J^do) — 2 (cp — f&dv) , et d’en réserver le rétablissement au moment où l’on pourra le réunir à celui qui se trouvera dans 1 expression de Int. En effet ce moyen fort simple facilite une partie des premiers développemens des fonctions de la forme perturbatrice , en épargnant la peine de calculer plusieurs termes qui seraient ensuite détruits par les développemens ultérieurs.

A la rigueur on devrait employer un artifice semblable à 1 égard du terme affecté de l’argument 2 (gv —J'ôdv) - — cv -t-J'urdv , lequel a, dans l’intégrale — \ un coefficient du troisième ordre, et

reparaît dans Int avec un coefficient du même ordre (Voyez plus bas n.° 248). Mais, comme ici, il s'opère une simple modification dans le coefficient numérique de ey\ sans altération relativement à l’ordre du terme principal, il devient beaucoup moins avantageux d’exclure ce terme de la valeur de [nt]. Néanmoins , s’il était question d’une définition précise , il faudrait dire que le caractère d’une véritable première approximation est celui , d’être composée uniquement de termes relatifs à des argumens qui reparaissent avec des coefficiens d’un ordre plus élevé dans les approximations successives. C’est ce qui a lieu à

l’égard des fonctions st et % qui constituent, respectivement, la

première approximation des deux coordonnées s , u.

248. Maintenant, si l’on fait m = 2 dans la formule générale trouvée dans le n.° 244, et si l’on multiplie le résultat par

* = 1 __ |e2 iy2 -h |e4 — |y4, l’on aura, en négligeant les quantités d’un ordre supérieur au cinquième ,