CHAPITRE SECOND

donne r = t n—p, en posant pour plus de simplicité

P = ô) |5(4)iire4(œ- — &) — ô) — etc.

Donc, si nous faisons

f(v) = — A(l)sin (p — cr) -t- J À(l)sin 2 (o — cr) — § i^sin 3 (p — te) *- etc. Ion aura F(y) — f (y -t- p) , ou bien, en développant.

FU,) = f(v) + p. -f(v) * P% . llM * tr

W MpJ P dp *T dp* 2-3 etc-

En substituant cette série dans l’équation (i), il viendra

/ h 'dt ~ p ■4-/(p)-*-9

£?* /rfi-/(<0 /> d4-/(p)

dp4

rfp4

dvb

■ etc etc

°?3 /rf4'/(<') /> d5-/(p) \

a- 3 V~rfp~ 2 ' dp5 - etc. J etc.

trah-e f ' ce c ui*6- P^-US ^ * éliminer de cette équation la constante arbitrouvée dansqie n/^T. a substltuer daus 4») au lieu de £ sa valeur

a f;iS.P°Uri ieCt“er Cette SUbstitutioo d’une manière plus régulière , onvient de développer A(>n) suivant les puissances de e pour cela

remarquons que la valeur de A{ni) peut être mise sous cette forme

A, = a(i —m)em 2mem

(m) [i ■+■ [/{i ~£E)r * ïTh- „)]•-* •

Or Ion a en général

a’‘(i -*-1/737!)-"= j ainsi il est clair que

etc. ,

©-etc.]

^[i*(m-tl^iy.u (w-1H>>»*a)py^ (m+4) etc j

c’est-à-dire que l’on a pour A, une série de cette forme

etc.

Actuellement si l’on remarque crue, en faisant k =

l’on pourra développer la valeur de s" par une série de la forme

£-= e"(i±ïs±±m\ .

\ 2/(1 -*-rï) )

K, “ ^#(I)C0S(2 sr - 2 â)

2 k a- Il (n — î)TT ,

2l3.w(»-a) (rc -4) t t~ ^3 . “ ô

î".i,2T3 - **0)cos(6tx-6ô)

etc.

où l’on a

Ai4

( Voyez Exercices de calcul intégral par M. Legendre, tome II, page 276).

45. Actuellement si l’on désigne par 1» la fonction de „ qui résulte du développement du second membre de l’équation (2) , abstraction faite de la partie v h- q -+■ f(y) , l’on aura

f\/h'dt = v - 9 * r(p)-

Donc, en différentiant les deux membres de cette équation nous aurons

Mais nous avons d’un autre côté

a = giySfo

do

■ ecos

Donc, en égalant ces deux expressions, l’on obtiendra le développement de la fonction + e cos(p - ur)]-3 par une série suscep-

tible d’ètre continuée indéfiniment.