MÉTHODE DES QUATERNIONS

Par C.-A. LAISANT,

Un volume io 8° <lo xxri-a^a pages

Les premiers essais d'applieation de ia méthode des quateinions en France remontent en 1862. Ils furent présentés par M. Allégret, dans une Thèse de doctorat. Prouhet, qui l'a signalée dans les Nouvelles Annales (2' série, t. II, i863, p. 333), lui a consacré une courte analyse bibliographique, eniremÉlée d'appréciations peu encourageantes pour l'avenir des quatemions,

Dooie ans après, en i874i ^- Hoiiel publiait, dans la Théorie élémentaire des quantités complexes, commencée en 1867, une exposition élémentaire du Calcul des Quaternions. Cet Ouvrage a été le pre mier, édité en France, qui ait cherché à vulgariser l'élude des quaternions en la rendant accessible à tous les géomètres de notre pays. Néanmoins, en dehors de ces deu\ tentatives, la méthode des quaternions. n'a pas trouvé en France de nombreux, partisans; elle a surtout été en faveur chez les géomètres étrangers, parmi lesquels nous devons signaler, en Angleterre, W.-R. Hamilton, leur inventeur; en Italie, G, Bellavitis; en Allemagne Unveriagt.

Depuis la publication de ce nouvel algorithme, il y a aujourd'hui près de trente ans, très peu de géomètres français en ont propagé l'emploi ; mais nous croyons savoir que la méthode des quaternions commence à

Sénétirer dans le çublic mathématique fraiiçais, et nous n'hésitons pas en attribuer l'initiative aux efforts soutenus de M.. Laisant pour la vulgarisation de la méthode des équipollences, qui, on peut le dire, a préparé l'avènement de la méthode des quaternions. C'est dans les Nouvelles Annales de Mathématiques {%' série, t. XII et XIII, 1873iftîif ) que M. Laisant a signalé les applications de la Géométrie ana-

lytique plane due â M. G. Bellavitis. Il eût été désirable que ce méniô Recueil renfermât aussi la généralisation des équipoUences, ou leurextension à la Géométrie de l'espace; mais l'auteur a préféré publier directement l'Ouvrage.

Comme il le déclare lui-même, il a cru devoir adopter presijue eiclusivement les notations introduites par M. Houel; mais la rédaction de son Ouvrage est indépendante de tout auti'e traité, et peut-être contiibuera-l-elle à lui attirer de nombreuses adiésions. Il n'a pas voulu non plus suivre l'Ouvïge d'Hamilton et en publier une sorte de traduction. Ce travail vient justement d'être entrepris par M, Plarr, pour l'Ouvrage classique de M. Tait, qui a vulgarisé depuis longtemps les quaternions en Angleterre.

Le Livre de M. Laisant se divise en onze Chapitres. Le premier Chapitre est consacré à la définition des vecteurs et à leurs combinaisons tes plus simples, par addition et par soustraction. Ces vecteurs sont les expressions de translations i-ectilignes, et toutes les Tègles de l'Algèbre ordinaire s'appliquent rigoureusement aux additions et soustractions de vecteurs ayant une direction unique, et aux multiplications de ces vecteurs par des nombresalgébriquesréels. Comme applications, signalons la démonstration des propriétés des diagonales d un quadrilatère, des hauteurs et des médianes d'un triangle, etc.

Le Chapitre II traite des opérations analogues effectut îs sur les biradiales, on rapports géométriques de deux vecteurs.

Les règles du calcul algébrique ne s'appliquent plus à ces opérations. C'est ainsi que la multiplication est simplement associative, et cesse d'être commutative.

La représentation analytique des biradiales définit une expression de quatre termes dont l'ensemcle a reçu pour ce fait la dénomination de quaternion. On leconnatt que ce syraoole est égal au produit de son module par son quaternion unitaire ou verseur.

La propriété associative de la multiplication est essentielle dans la théorie oes quaternions. C'est ainsi que AB n'est pas égal à BA, que AîB' est très différent de (AB)^.

L'algèbre des quaternions présente donc certaines difficultés spéciales, et, ajoute l'auteur, « on peut en profiler pour faire la critique de la méthode des quaternions, et déclarer qu'il y a là un inconvénient fondamental et grave.

» Mais cet inconvénient résulte de la nature même des choses. Il représente la traduction exacte, formelle, d'un fait précis.

B Je crois, pour mon compte, qu'il faut chercher dans ce procédé d'exposition trop exclusivement analytique l'une des causes principales de la défaveur dans laquelle les quaternions sont restés si longtemps en France, défaveur dont ils commencent à, peine à se relever, alors qu'à l'étranger, en Angleterre et en Amérique surtout, on en fait tant d'usage dans toutes les branches des iVIathématiques apphquées.

B On ne s'étonnera donc pas que nous ayons tenu à appuyer constamment le début de notre exposition sur des considérations géométriques, avec nne. insistance qui pourrait sembler excessive et presque puérile sans les considérations qui précèdent, o

Une fois arrivé à la définition et à la notation des quaternions, l'auteur croit devoir plus fréquemment livrer le lecteur à lui-même, pour parcourir successivement les sujets traités dans le reste de l'Ouvrage. On y étudie la ligne droite et le plan, le cercle ot la sphère, puis on définit dans le Chapitre IV la différentiation des quaternions pour l'in-

telligence des piapriétéa des tangentes aux. coniques étudiées dans les Chapitres VI, VII et VIII.

Le Chapitre IX est consacré à l'élude de plusieurs formules --'■■''■ — u produit de trois, quatre et plusieurs vecteurs, et i '

Le Chapitre X traite de la résolution des équations du premier degré, c'est-à-dire des équations, qui contiennent un qu a terni on inconnu à la première puissance avec des quaternions connus. Ces notions jjeuvent avoir leur utilité pour l'étude des surfaces du second ordre, qui forme le sujet du Chapitre XI qui termine l'Ouvrage,

Chacun des Chapitres renferme des applications à divers problèmes el est suivi de douze à quinze énoncés a'esercices proposés. Plusieurs d'entre eus, relatifs ans propriétés des tétraèdres, ont été communiqués à l'auteur par M. Geni^, à qui nous devons déjà plusieurs contrihutions à l'étude des quaternions, en Géométrie et en Mécanique.

L'examen de ces énoncés y fait reconnaître plusieurs propriétés nouvelles et dignes d'attention.

Toutes les dispositions adoptées par l'auteur font reconnaître en lui la préoccupation de faciliter la lecture de son Ouvrage et Tiniliation ans nouvelles méthodes qu'il a pour but d'introduire dans notre pays. Cette préoccupation apparaît d'une manière frappante, et l'auteur lui-même croit devoir en avertir ; « Je me suis, dit-il, constamment efforcé de rendre l'enchaînement des idées aussi clair que possible, à tel point qu'on pourrait peut-être me reprocher une minutie excessive et une trop grande insistance sur des choses presque évidentes; mais on ne saurait trop s'attacher à aplanir les difficultés lorsqu'il s'agit d'une étude nouvelle, a

U est à souhaiter que, grâce à cette précieuse qualité de ce Livre, I?. méthode des quaternions finisse par triompher des préjugés qui ont, en France, retardé son développement.

H. Brocard.

TABLE DES MATIËRES.

Préfacb. — Note bibliockaphioue. — Table des nniÈRes.

CHAPITRE PREMIER. — Additiou et sousthactios des ïecteubs. — V«cteur9. - Déflnilions. — Motationa. — Vecteurs de sens contraires. — Addition et soustraction de vecteurs parallèles. — Multiplication par des quantités algébriques. — Vecteur» unitaires. — Addition et soustraction de vecteurs quelconques. — Exercices (l à 6). — Pol^onea fermés. — Vecteurs coplanaîres. — Points en ligne droite.

— Points coplanaires. — Eicroices(7 k 9). — Vecteurs moyens.— Points moyens.

— Exercices (10, 11). — Eiercieea proposés.

CHAPITRE II. — Mdliipucstlob et division des tecteïKs. — Biradiales. — Définitions et notations. — Addition et souslracllon des biradiales. — Multiplication des biradiales. — Division des biradiales. — Unités coctanjulaîres. — Propriétés fondamenlales, — Représentation analytique des biradiales. — Quaternions. — Propriétés de la multiplication des biradiales. — Produits de deus vecteurs. — Quotients do deux vecleurs. — Exercices (12 à 15). — Relations entre les parties

''uanles don quaternion. — Houvella notation d'un versenr. — Vecteurs,

;s et quaternions réciproques. — Eiercices(16, 17). —Produits de plusieurs