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adc

Pour l'applicaLion il suffira d'avoir présente à l'esprit la distinction antérieure en 5 cas, et ces 24 serviront à compléter l'image.

Je donne encore à la On de cet article quelques exemples d'envoloppes d'indétermination. Considérons les fonctions

Poui

la prcffiiôrc on peut poseï

Pour la deosième (^) = e

PûUfk Ifoisièûio, Oiœ)— 0—1; U {x) ~ U—l.

Pour e-—~i cas x, on a

quantité qui s'évanouit un nombre illimité de fois, mais n'est jamais négative, de sorte que les conditions de la proposition VII sont remplies.

Les enveloppes d'indétermination de — cos x sontdi — et les limites d'indéterminaiion sont = Î7 ~ o.

71. — Marclie finale à sens unique des fonctions et pantachie Inflnitaire. — Le cas d'une fonction f (x) variant elle-même dans un sens unique dans lequel on a O (ic) ;= U [x) = f (aj), est très important, car à celte variation à sens unique se rattache tout ce qui a trait à la croissance et à la décroissance' relative des fonctions.

Une fonction à sens unique peut dépasser toute borne > o ou < o, ou bien elie peut avoir une limite unie. Dans Je 1" cas, il suffit d'étudier la marche rroîssanie de la fonction; dans le second, on peutsupposerque zéroest lalimite, car il sufHra, si la limite n'est pas nulle, de la retrancher de la fonction pour être conduit à la limite zéro. Mais les fonctions à sens unique qui ont pour limite zéro pouvant être considérées comme inverses de celles qui croissent indéfiniment, nous pouvons nous borner ici à considérer les dernières.

Il s'agit donc tle fonctions qui, pour parler comme l'Idéaliste , deviennent infinies en ne faisant jamais que croître. La théorie de la vitesse relative de cette croissance est l'objet du calcul inflnitaire que nous développerons plus tard. Je ne donnerai ici de cette théorie que les éléments nécessaires pour les concepts fondamentaux de la théorie générale des fonctions dont ce chapitre termine l'étude.

Représ entons -no us une série de fonctions croissant constamment et indéfiniment et considérons- en deux quelconques, /"(a?) et --f (x). On dii'a que / {x) croît plus rapidement que 9(1»}, si à partir d'une valeur J" suffisamment grande de a;, /"(;»)> ijn», — et si la différence /"(a;) 'f (a;) augmente aveca.-. Les applications donnent h cet accroissement diversement rapide des fonctions un intérêt particulier si la fonction /"(ai) qui croît le

plus vite présente une supériorité de vitesse telle que le quotienl 'j~! croisse également sans limite.

Le langage cle l'Erapiriste convient si peu à la nature propre du sujet quinous occupe, il serait si traînant, qu'ici au moins nous nous promettrons d'appliquer la terminologie de l'Idéaliste. Nous savons très bien maintenant ce qu'ilnous faut entendre par là.et nVst-ce pas un avantage bien naturel de notie étude des principes, qu'elle donne, corenne toute explication fondamentale, libre carrière non-seulement à l'idée mais k l'expression,

fia-] ...

Suivant que le quotient — 7—; aura la limite infinie ou

nulle, nous dirons : fi^x) a un infimplus grand ou plus petit que * {x) ; et si ce quotient a une limite différente de zéro et. de l'infini, / {x) et tp {x) ont un infini égal. Nous écrirons.

f{co)inf. > ç lx),f iœ) inf. < cp, /"(a;) inf= ç {ce), pour dire :

Um ^-H:^ c«, lim ^,~ 0, < Hm g, < «,

ou bien, /(ic) a un infini supérieur, inférieur, égal à celui de <f(x).

J'appelle les relations f {x) inf = <( {x) égalitésou inégalités

in/initaires. Elles comportent des opérations multiples qui sont i'objetd'une espèce propre de Ciiicul, du calcul infinitaire. Je me contente de mentionner ici ce lait immédiat que des relations.

f(x)inf> r, {r)'i{x)inr>'^.(x).Hx) inf-l.ix), on conclut également celles-ci :

/ [x] ç (x) inf > f, [x] ç, (X), f ix] 1 (^) inf. > f (x) \ {x), et, suivant que f{x] inf > A [x), ou inf ^l [x], f(x)±\ix)inff{x)±K{^)-

J'observe encore en passant queles mêmes désignations et formules s'appliquent aux fonctions qui décroissent indéfiniment jusqu'à zéro. Pour exprimer les relations Hm tj^\^=

ou f (&■) inf <.tix), on dira f [x) a un zéro plus petit que f {x). La grandeur des infinis conduit évidemment à un principe

d'ordination pour les Fonoliongcroîs^antconstamment. On peut les ranger en une série

... Me,]. ..r. 14 ■■■(.{'). ■■■

telles que chacune ait un inûni plus grand que toutes les préciSdentes et que toute fonction entrant dans la suite y ait une place déterminée.

Si on pose Log ^e = Ix. llx=^ l^x, Ulx =: I3 x, etc., la série suivante est de ce genre :

X |j.la7 . . .[l,^f...{l.i:r...{l,xt...cc'\..'^"'...,f" ...1.

Le quotient de chacune de ces fonctions par une de celles qui précèdenL à lalim.oo

Dans ces fonctions et dans de pluscoraplexes, qui appartiennent au domaine analytique d'opération déduit du concept de puissance, on trouve les limites de quotients on les ramenant & l'un des quotients -r— où — , qui peuvent également se ramener l'un à l'autre par substitution. Si on donne pour base au concept de l'exponentielle e' la série il — — est le quo-

tient fondamental et sa limite ou celle du quotient général e

Puisque maintenant xn—M, si grand que soit M et si petit que soit X, finit par devenir > 0, quand n croît, la limite cherchée est ^ . Soit, par exemple, à réduire le quotient :

et devient infini avec x d'après ce qui

Dans la série prâoédente J les paramÈtros [*,[».,, ... x désignent des nomhreg positifs quelconques. Chacune des foncLiou3 qui s'y trouvent désignées représente donc une suite inûnie ou une paotaclile complète de fonctions isolées. Mais la série J peut être encore enrichie de fonctions de bien des manières. Par exemple, voici un moyen : Soient deux fonctions u\, v% satiaiaisant à l'inégalité înlinilaire mi mf <it2 , et soit «2 ^: «i î.' on a ;

u, inf < w. v^{tv] {l,v,) . . . (l„v) inf < u, , ott Ml inf < 1, et où les m représentent des nombres posiliis quelconques. H est facile de justifier successivement ces formules. De cette façon on peut intercaler entre deux fonctions quelconques diverses suites dautres fonctions.

Un autre procédé pour insérer des,fonclionsdans la série J consiste h mettre des fondions à la place des paramètres. Ainsi pour <|j.<l;metil/>o, ona

M {la>f

{Ix) inf<l{xiy mf<x .

Pour pou qu'on réflécliisse h ces expressions analytiques, on voit qu'à l'aide de ces deux procédés d'insertion, la série J représente un ensemble qui peut dépasser de beaucoup n'importe quel autre.

■ Tout bien considéré, je crois en effet que la pantachie complète des quantités linéaires n'est pas égale en puissance (au sens de M. Cantor) à l'ensemble des infinis. La pantachie infiniiaire, comme cette dernière succession doit s'appeler, est un ensemble comp'ètement déterminé. Toutes les fonctions qui, substituées à /'i(aî) dans l'égalité inÛnitaire f{x) înf -zz fi{^)i y satisfont, forment avec /ït») une quantité mflnitaîre, un 'ffoint infinitaire, et ces points, si nombreux qu'on les imagine, forment une suite de séries- complètement déterminée. Sans doute une pareille définition n'assigne pas tout de suite aux points inÛoitaires un lieu géométriquement re présentable, comme aux quantités de la pantachie complète. Toutefois cela tient à ce que la pantachie complète des quantités correspond immédiatement à la représentation des quantités, tandis que la pantachie complète inflnitairea pour fondement des représentations moins simples. Mais à 1 égard de l'essence même de la pantachie complète des quantités, le lieu qu'occupent les individus de la pantachie est tout-à-fait accessoire, car il peut être diversement modifié par la correspondance adoptée pour la fonction. La pantachie inSnitaire a de commun avec l'autre cette propriété essentielle que ses points ne peuvent être rangés en séries que d'une manière.

Nous pouvons concevoir la pantachîe inûiiilaire h la manière de l'Empirisle et de l'IdâalisÈe.L'Empiriste y voit comme nous l'avons indiqué, une masse d'individus qu'on doit rendre de plus en plus compacte. Pour l'Idéaiiste c'est un continu in^nitaire. analogue au continu des nombres, qu'on peutconcevoir de même, quoique moins simplement, comme un ensemble de points sur une ligne, Il faut poser la condition que pour deux individus quelconques / (a;) et/'i(ai), du l'aisceau de courbes ascendantes, la différence f{x) — /ij'w), lorsque a; augmente, ne change plus de signe. Considérons alors les points d'intersection d'une perpendiculaire èi l'axe des a? avec les courbes ascendantes. A cause de la condition précédente, et pour que les logarithmes supérieurs partent de l'axe des x, nous devons reculer cette droite à 1 infini :

Les points de la ligne rejetée à l'infini sont donc pour l'Idéaliste l'équivalent géométrique de la panlachie infinitaire.

Il serait diFBcile do comparer, à l'égard de leur puissance relative, au sens de M. Cantor, lapantachie infinitaire atecla pantachie complète. Dans tous les cas, les deux ensembles sont évidemment quelque chose de tout-à-fait différent. La correspondance élément à' élément qui a un sens très clair dans les ensembles dénombrables est ici inconcevable. Dé.jà selon les apparences, la pantachie infinitaire, pour l'Idéaliste comme pour rEmpiriste.osl beaucoup plus complexe que la pantachie complète. Des fonctions contenant un nombre illimité de paramètres, dont chacun désigne une panlachie complèle, peuvent être insérées entre deux individus quelconques de la pantachie, puis de nouveau entre deux individus quelconques de la nouvelle suite, etc.

Toutelois plus que de pareilles suppositions, les résultats auxquels je suis parvenu dans mes « Paradoxes du calcul infinitaire » me conduisent h considérer comme de nature différente les deux pantachies. On découvre ià une différence essentielle entre la marche vers un infini particulier de la pantachie infinitaire et une valeur particulière de la pantachie complète. Nous pouvons exprimer ainsi ia proposition : Vers une valeur particulière x d'une panlachie complète tendent, en aussi grand nombrequ'on veut, dessuites da valeurs dénombrables telles que les différencos entre ar et les valeurs tendant versa; des diverses suites tombent au-dessous du toute limite. Au contraire, étant donné un infini f {x), il n'y a pas de suite de fonctions il;, (ic), la (*'),-.. satisfaisant, par exemple, b.\ik relalions

.-,, (,.).■«/■< t. (i).»/< .... i«/'<rw

telles qu'on ne pourrait donnerd'aulres suites ^ia:() m/" C^^a {x]

inf < inf ^ /'(•'")' dont tous les individus eussent un

infini plus grand que les '^(x).

C'est là une différence de nature qui semble ne permettre aucune correspondance élément à élément entre la suite infinitaire et la suite des quantités.

M. Cautor paraît supposer qu'il n'existe d'ensembles que de deux puissances, à savoir : de la puissance des nombres entiers et de celle de tous les nombres ; et il faut convenir qu'il y a beaucoup de vraisemblance qu'il en soit ainsi pour les quantités linéaires. Mais quand on va au-delà, la chose paraît être moins sûre. Ainsi, comme je viens de l'exposer. Je suis fermement convaincu, quoique ne disposant pas d'une véritable démonstration, que la pantachie infinitaire est d'une puissance supérieure à celle de tous les nombres.

CftDsiiIératidns finales sur iamétapliysique des concepfs analytiques fondainentaui

J'ai déjà dit qu'en analyse le concepl de limite, plus exaelemenl \a question de l'existence de la limite, joue uii rôle analogue à celui que joue en géométrie la fameux axiome d'Euolide. et il est utile d'insister un peu sur colXe comparaison.

En géométrie, c'est-à-dire dans la science des rapports existant entre les positions de points, entre Hgnea, surfaces et corps, — pour établir rigoureusement les propositions et les théories, on est finalement ramené à certaines propositions fondamentales intuitives, qu'on nomme les axiomes de la géométrie. Ces axiomes sont bien des vérités d'intuition, c'està-dire dont la rigueur ne soulèvera p.is le moindre doute dans un esprit naïf ; mais ils ne possèdent nullement îa lumineuse certitude de perceptions immédiates, et, quand on y regarde de plus près, il est impossible, ou au moins difficile de les relier sans lacune à de telles perceptions par un enchaînement satisfaisant de représenlaiions, en un mot de les démontrer. Ils sont d'ailleurs do diverse nature. Ainsi l'axiome « la liqne droite est le plus court chemin entre deux points» n'est pas un axiome proprement géométrique. L'examen montre que le concept sur lequel il est fondé, celui de la possibilité de reclifier, est analytique, parce qu'il cache un passage à la limite. Si on veut voir an axiome dans l'existence delà limite, la proposition sur la longueur minima de la ligne da l'onction de deux poinls en est un également. Sinon cette proposition se démontre. L'axiome propre de la géométrie pure est celui des parallèles, équivalent à la proposition que la .somme des angles d'un triangle vaut deux droits : vérité fondamenlale, pour laquelle le chemin reliant la certitude de l'affirmation générale à colles des perceptions immédiates était longue et difficile à trouver.

Lesortdecbt axiome d'Euclide est connu. La connaissance de ce fait qu'il n'est pas une Conditio sine qua non pour une géomélrie systématique, en faisait une vérité d'expérience, dont Riemanu a dévoilé la vraie signification par son

analyse du concepL de l'espace. Il partait ainsi d^un axiome qu'ensuite M. de Helmoltz a ramené à notre représentation du mouvement relatif. Quelques résultats utiles et surprenants que l'analyse et la géométrie puissent encore tirer de celte soufce récemment découverte, il semble qu'elle se trouve déjà remontée Jusqu'à son point de départ dans le monde de la perception, que, à l'aide des recherches mentionnées, le concepL de l'espace ait été analysé dans ses traits essentiels suivant la méthode de l'Empiriste, et que par suite, l'axiome fondamental de la géométrie se frouve expliqué par la même méthode. En tous cas, nous faisons pour le moment cette hypothèse.

Voici donc ce qu'il faut dire dos principes fondamentaux de la géométrie. Euclide, avec son axiome, a frappé juste. D'abord posé comme principe non démontré, il fut reconnu récemment comme vérité d'expérience et fmalement fut rattaché par une dépendance qu'on n'avait pas soupçonnée au concept d'espace. Le problème était donc extrêmement vieux, mais la solution en était très difficile. Les recherches sur cet axiome constituent en géométrie comme un épisode, qui, bien que d'une très-grande importance, n'a pas sur ceite science d'autre effet que de lui fournir ainsi qu'à l'analyse, de nouveaux sujets d'étude, sans sortir pourtant de l'ancien concept de grandeur.

En analyse, les choses se comportent autremenl. Cette science est toute récente et ceux qui l'ont créée ont tout de suite tourné leurs efforts vers les problèmes les plus élevés. Semblable à un conquérant impétueux, l'analyse a porté au loin sa bannière victorieuse, sana se soucier d'assurer ses 'conquêtes. Mais la tendance propre à la deuxième moitié de ce siècle de parvenir à une vue plus profonde des fondements de nos connaissances a gagné aussi les analystes. Lorsque grâce à Gauss qui le premier osa inviter è donner des fondements vraiment solides aux vérités mathématiques, puis grâce aux travaux de Cauchy. d'Abel et de Dirichlet, on eut appris à conoaitre la jouissance ineffable que donne une mathématique rigoureuse, on sentit un besoin impérieux de posséder une semblable mathématique. L'iUusion que cachaient maintes conclusions tout récemment encore admises sans conteste devint évidente, on trouva des résultats d'opération contredisant les vues les plus généralement adoptées : l'intérêt se tourna alors du côté de la métaphysique des concepts fondamentaux. Aussi les travaux actuels donnent au lecteur une tout autre impression que ceux du siècle dernier ou du commencement de ce siècle. C'est pourquoi je suis convaincu que l'analyse d'aujourd'hui tant qu'elle ne l'ait que combiner, à l'aide de nombres,

des qnanULés connues, déterminÉes ou laissées indéterminées, comme cela a lieu en algèbre, dans la théorie propre des fonctions, dans les intégrales définies, etc., bref, tant que le dualisme du concept de grandeur n'intervient pas, notre analyse, dis-je, ne satisfera pas moins les maihématioiens des siècles futurs que cens d'aujourd'hui. On ne pouvait en dire autant jusqu'ici, comme j'y ai plusieurs fois insisté, d'autres théories teîies que le calcul différentiel et diverses questions de la théorie générale des fonctions, — et ce sont ces domaines que j'oppose à la géoméirie. Là, l'axiome correspondant à celui d Euclide et dont l'établissf.ment résout l'énigtfîe aux mille formes, n'était pas connu. Eh bien, mon Idéalisfe et mon Empiriste sont d'accord sur ce fait que lecontenu du concept de limite fournit ce principe d'ordination, manquant jusqu'ici, des concepts analytiques fondamentaux. Mais cette signification lui a jusqu'ici éte'si peu assignée, que l'Idéaliste n'a assurément rien fait de superflu en montrant que l'eKislence de la limite doit avant tout être démontrée.

Le concept de limite est à ce dualisme qui dissipe toute obscurité dans le même rapport que l'axiome d'Euclide au concept d'espace, avec cette différence que dans les fondements de l'analyse la difficulté consistait à trouver l'axiome essentiel dout la solution donnait tout le reste, sauf à le retrouver dans les cas particuliers, tandis qu'en géométrie on connaissait depuis longtemps l'asiome essentiel, c est l'analyse du concept d'espace, la clef de l'axiome, qui a été la grande difficulté. Et, en opposition avec l'axiome géométrique, ce dualisme mis au jour par le concept de limite reste k son tour un guide profond dans l'étude des fondements de l'analyse. Son influence se fait sentir dans toutes les parties du principe de convergence et de divergence, et en oulre, pnriout où des dépendances auortiioïdes sont à considérer. Au contraire, les groupes de représentations élémentaires du concept d'espace peuvent être jugés à la manière del'Idéaliste et de l'Bmpiriste, sans que ce dualisme en géométrie ait joué aucun rôle, du moins jusqu'ici.

Notre étude des concepts analytiques fondamentaux ne répond pas à toutes les questions que suscite le phénomène de l'analyse avec ses relations étonnantes, exprimées par des symboles dépourvus de sens en eux-mêmes.

C'est tout d'abord l'extension des opérations simples en un nombre quelconque d'éléments, et l'accumulation des opérations qui donne à réfléchir. Car, s'il est possible d'expliquer naturellement par le concept de grandeur des règles comme la multiplication des fractions, qui sont difiiciles'à moliver par l'arithmétique pure (art. 18), ce concept semble refuser ses