TRAVAIL THÉORIQUE DE LA DÉTENTE

DANS L'HYPOTHiSE DES TENSIONS VARIABLES EN BAISON INYEBSE DES VOLUMES.

Soient (fig. 9, pi. 2) : Am une longueur représentant la pression

initiale P, AB une longueur représentant la portion de course du

piston parcourue sous la pression initiale, A A' = X la course entière du pistoih

tension demenre constante et égale à ce qu'elle est avant de le faire parcourir au piston ; nous commettrons, en évaluant ces travaux successifsy une erreur en plus sur le travail réel, mais cette erreur sera d'autant plus petite que les chemins BC, CD, DE, etc., seront plus courts, et deviendra nulle quand ils seront infiniment petits. Nous admettrons qu'ils sont infiniment petits.

Soient 1, x', x", x'", x'"', enfin x, les distances successives du piston à son point de départ avant le commencement de la course :

La tension de la vapeur, en B sera 1 ,

^ » » en C sera -7

» » en D sera — elc.

D'autre part, le chemin infiniment petit BG sera égal à x' — 1,

le chemin CD » x"— x',

DE » x'"— x",etc.

Le travail produit le long deBC sera donc 1 (x' — l),

CD, . ^(^-^'), DE, » i. (x"'x"), elc.

Supposons encore que les distances 1, x', x", x'", x"", etc., croissent suivant une progression géométrique dont la raison est x', raison qui ne l'emporte sur l'unité que d'une quantité infiniment petite. Nous aurons dans ce cas : x' = x', x" = x'*, x'" =- x'', x"" = x'*, etc., et les petits travaux successifs, évalués ci-dessus, deviendront :

— (x' — x' ) = 3c' — 1 , ainsi de suite.

. Le dernier, à la fin de la détente, sera -r^rri*'"— ^'"~*) = x'— 1 .

n indique le nombre de petits chemins qui est infiniment grand, et x'*, la course totale qae nous avons aussi représentée par x. D*après la loi d^accroissement adoptée pour les petits chemins successifs BC, CD, DE, etc., les travaux élémentaires, le long de ces chemins, sont donc égaux.

Ainsi, le long du chemin BC=x' — 1, le travail est. . . x' — 1, . CD = BC + CD = x'* — 1 , ce travail est. . 2 (x'— 1), » BE= BC + CD+DE=x'' — 1, ce travail est 3 (x'— 1).

Enfin, le long du chemin x'" — 1 , ou x — 1 , chemin total parcouru depuis le commencement de la détente jusqu'à la fin de la course, il est n(x' — 1).

Ce résultat peut être mis sous la forme suivante :

Chemins parcourus depuis le Travail produit par la

commencement de la course. délente seulement.

x'* aCx'-l)

Enfin, x'" = x n(x' — 1)

Nous avons donc ici deux progressions dont les termes se correspondent : Tune arithmétique, dont la raison est x' — 1 ; Taulre géométrique, dont la raison est x^ Or, on sait que, dans ce cas, les termes de la progression arithmétique peuvent être considérés comme les logarithmes des termes correspondants de la progression géométrique

La base E doit convenir à toutes les valeurs de Xy donc au cas où elle est égale à x, et alors son exposant doit être égal à Tunité ; de sorte

que si Ton fait n (|/i — l) = 1 , la valeur de x, tirée de celte cquatîoDy sera en même temps la valeur de la base E qui, quoique trouvée dans un cas particulier, n*en conviendra pas moins à toutes les autres valeurs de x.

L*équation n {[/i — 1 ) = 1 peut être mise sous la forme :

et si Ton développe le deuxième membre par la formule du binôme de Newton, il vient :

n étant infiniment grand, on peut négliger 1, 2, 3, etc., dans les facteurs (n — 1), (n — 2), (n — 3), etc., de sorte que le second membre devient :

En prenant seulement les dix premiers termes, et négligeant tous les suivants qui sont excessivement petits, on trouve pour valeur de Xy après avoir transformé les fractions ordinaires en décimales :

Cette valeur de E convient, par conséquent, à Téquation générale

Donc le logarithme du chemin parcouru depuis le commencement de la course du piston jusqu'en un point quelconque de la délente, dans le système dont la base est 2,718281828, représente le travail produit, à détente seulement, jusqu'en ce point de la course. Il ne faut pas oublier que le chemin parcouru x doit être exprimé par le nombre de fois qu'il contient le chemin à pression pleine, choisi pour unité de mesure.

Soient maintenant :

S la surface du piston, en mètres carrés; Z la portion de course à pression pleine, en mètres; X la course totale ;

P la pression de la vapeur en kil. par mètre carré ; Le travail à pression pleine ou Tunité de travail, sera PSZ, et le travail à détente PSZ log. x.

Le travail total pendant un coup de piston sera donc :

PSZ (1 + log. x).

Comme on possède rarement des tables de logarithmes dans le système dont la base est 2,718281828, il convient de transformer ce logarithme en logarithme décimal ordinaire.

Pour cela, on sait que le logarithme d'un nombre, dans un système dont la base est quelconque, est égal au logarithme décimal de ce nombre divisé par le logarithme décimal de la base de ce système ;

On a donc log. x =^^-^^^^^ = '^^;^, = 2,3026 log. dec. x.

Ainsi^ en remplaçant log. x par log. x. 2,3026, dans Texpression ci-dessus, qui fournit le travail d'un coup de piston, le nouveau logarithme sera décimal ; cette expression devient alors :

PSZ (1 + log. X. 2,3026).

X qui représente la course totale en fonction de la course à pression pleine, représente en même temps ce que Ton nomme le chiffre de la

de sorte que le travail réellement transmis au piston ne serait que :

SL [^ (1 + log. X. 2,3026) - P'] ; (A)

formule définitive qui peut servir à trouver le travail eflectif transmis par la vapeur à un piston, à pression pleine et à détente, dans Thypothèse d'une variation de pression suivant la loi de Mariotte, et en négligeant le frottement du piston.

Si, entre le piston avant qu*il commence sa course et les orifices que Ton ouvre et que Ton ferme pour laisser entrer ou sortir la va* peur, il y a un certain espace qu'il faut emplir de vapeur avant que le piston commence à se mouvoir, la formule précédente doit être modifiée.

La vapeur qui emplit cet espace que nous avons nommé espace nuisible, ne produit aucun travail sous la tension initiale, et elle serait perdue si cette tension initiale demeurait constante pendant toute la course ; mais lorsque la détente commence, ce volume de vapeur se détend en même temps que celui qui a produit le travail à pression pleine, et tout se passe comme si le piston avait effectivement parcouru l'espace nuisible sous la tension initiale.

Donc, si nous représentons par G le chemin que doit parcourir le piston pour engendrer un volume égal à l'espace nuisible, il faudra, dans la formule ci-dessus, remplacer L par L -f- C ; la course à pression pleine Z deviendra Z 4- C, la course de la résistance P' restera L, et, du résultat ainsi calculé, on devra soustraire le travail à pression pleine le long du chemin G, travail qui n'a pas été produit.

Il vient ainsi :

s (L + C) [^ (1 + log. ^ 2,3026] - (P'L + PC) ; (B)

Travail d'un coup de piston à pression pleine et à détente, en tenant compte de l'influence de l'espace nuisible que l'on rencontre dans toutes les machines.