fXz r
!2/i!r — p)2 (-2HT — f')'
fll5 r' s e 43' ^ 48-
l'Fr'dr
r'Fr'dr ;
les sommes 2 s'étendant seulement aux nombres entiers et positifs n , depuis « = I jusqu'à 7i = 00 .
Tant que a \/t sera très petit par rapport à /, ce qui rendra 9 une très petite fraction, les sommes 2, et par suite cette expression de u, seront des séries extrêmement convergentes; tandis que l'expression de u dont nous sommes partis était, au contraire, une série très convergente pour
les valeurs de a \/t très grandes par rapport à l.
On peut facilement vérifier que cette dernière équation se réduit à u=Fr quand t = o. En effet, si l'on suppose t infiniment petit, G le sera aussi; ce qui fera d'abord disparaître tous les teimes des deux sommes 2. De plus, dans la première partie de u, le coefficient de dr' sous le signe /J s'é-
vaiiouit également, excepté pour les valeurs c!e z'' intiniment peu différentes de r; en faisant donc
;■' = r -\- z, dr = dz , et par conséquent
aVZ , a7t{ir -\- z)
on pourra considérer z comme une variable infiniment petite, à laquelle on donnera des valeurs positives et des valeurs négatives, si r et / — ront des grandeurs finies, ce que nous supposerons d'abord. Dans ce cas, l'exponentielle qui contient f.' s'évanouira aussi, et l'on aura simplement
mais sans altérer la valeur de cette dernière intégrale, on pourra actuellement l'étendre depuis s = — oo jusqu'à z = ce , puisque le coefficient de dz sous le signe f, s'évanouit pour toutes les valeurs finies de z; elle
aura alors pour valeur, et il en résultera u = Fr.
Lorsque /■ est infiniment petit ou nul, tous les termes de l'expression de u se présentent sous la forme ^; en déterminant leurs valeurs par la règle ordinaire, désignant par C la température centrale, et ayant égard à ce que p , /»', ô, représentent, il vient
(■înl+ ai')»
-\ ' = ^ f e ■*"'"'' {inl + «r) r'Fr'dr
{inl — a/)»
-z^ X I e ^ (an/ — «r ) r Fr dr .
Quand t est infiniment petit, tous les termes de cette formule s'évanouissent, excepté le premier; et l'on trouve, par un raisonnement semblable au précédent, que ce premier terme est égal à la valeur de F/, qui répond à r= o.
La forme de C en fonction de t dépendra de celle de Fr', ou de l'hypothèse que Ion fera sur la distribution primitive de la chaleur. Le cas le plus simple est celui où l'on suppose que la température initiale du globe
ait été partout la mêffie; de sorte que F/-' soit une quantité indépendante de /•'. En la désignant par A, la valeur de C pourra s'écrire ainsi
C = -^^-= I e 4-' r"dr'
(2nl + ar'y A r^ ~ ia'a't , , , is /j I
Jf —si e ^ {2nl-\-ar)rdr ;
ou bien, en intégrant par partie,
kl U't , A pi 4a'' j '
ay'TTt ay-TTlJ o
{inl + nlY (inl — al)''
Al ■ "
L (inl + a/)' (2nf — a/)'-j
AxaV , 4«'a'<
+ — S e "* dr.
a\/Tt J -l
La différence i — a étant une très petite fraction, je mets dans cette formule, pour la simplifier, l'unité au lieu de a; je fais, en outre.
ixa^ t
et à cause de
e ' dz-= - Y V — / e ' dz, 0 2 J m
on en déduit
y ■TT J "■ y -TT y^tr J —m
la première, comme la seconde somme 2, s'étendant toujours depuis n = 1 jusqu'à n = oo .
On a évidemment
par conséquent, la valeur de A — C est une quantité positive ou zéro; de sorte que la température centrale ne peut jamais excéder la température initiale A, commune à tous les points du globe. Elle lui est égale, comme cela doit être, quand <= o;car alors on a/n = oo ; ce qui rend nulles se-
parement les trois parties «le l'expression de A — C. Pour t z=. ^ (>||e se réduit à zéro, c'est-à-dire qu'elle devient égale à la température extérieurecar on a alors m ■=. o; ce qui fait évanouir les deux dernières parties
de A — C, et rend la première égale à A , à cause de la valeur - \ '^ de
e '' dz. Pour toute autre valeur de t, on a
ou si l'on veut
ou observant qu'on a évidemment
2e~ ""' (^" ~ '^*< Se ~ "'* (^'' ~ '),
et que le rapport dee~""à i e~^'"'est la valeur de cette dernière somme 2. Or, cette limite de A — C montre que ce n'est qu'au bout iKun temps excessivement long que C peut commencera différer sensiblement de A : pour que A — C soit une très petite fraction de A, il n'est pas nccessaireque a \/t soit encore une petite partie de l, ou que m soit un grand nombre; il suffit, par exemple, que m soit égal à quatre ou cinq, pour que la limite précédente de A — C soit inférieure à un millionième de A • et si l'on observe que le rayon l est de plus de six millions de mètres et que l'on prenne a = 5, il faudra que t surpasse mille raillions de siècles pour qu'on ait m = 5. Ainsi, après un aussi long intervalle de temps, écoulé depuis l'étal iuitial du globe, son centre n'aurait pas encore perdu un millionième de sa chaleur d'origine.
Considérons actuellement la température d'un point M assez éloigné du
centre, ou tel qu'en désignant par x sa distance à la surface, / a: ne
soit pas une petite partie du rayon L Supposons toujours la température initiale du globe , la même en tous ses points, et égale à A. En faisant
Fr = A, r z= l ~ X, r' = l — x' , dr = — dx' , et d'après les valeurs de 6, /> , f', celle de u deviendra
/.il — (2nZ + «x — ar')' (2nl+1al — ax — ax')^~l
0 L e 4^"^^"^ e ^''' J (/ - X') dx'
2 (/ — a:) ûV/ttI
/>/j — {inl — ax + ax'y ('>nl — 2ai+ax+<tx' ~1
ia.'a-'t 4»°"'' \fl '\J~'
Tant que la distance l — j? du point M au centre de la Terre, sera un certain multiple, comme cinq ou six, par exemple, de aa s/t, on pourra négliger, dans cette formule , les exponentielles dont l'exposant est au-
dessus de - , , , pour toutes les valeurs de x'. Cela étant, il suffira de
conserver la première exponentielle, et la dernière dans le cas seulement
1 1 , (2-1- bax 4- bax'Y - i
de n = I , pour lequel son exposant est ^ — .. 7^, , a cause de
a = I — , ; nous aurons donc simplement
/'r~ ^'^ ~ '^^' (a + cttx -4- atx')'— I
o L e ^ — e ^ i{l — x)dx ,
OU, ce qui est la même chose,
/- r (' — ^i' X' (2 -h aix)' (2+ «A/ 4- a.b.T)'
r r'I (x — x',' ru (2+at.r+atx')-
aaV/î^' L ^7 o „^ (/
On pourra encore négliger la première et la dernière exponentielle en dehors des signes /; celles qui sont renfermées sous les signes /, ayant aussi des valeurs négligeables, par hypothèse, à la limite x' = l , et pour x' > /, il sera permis, en outre, d'étendre ces deux intégrales jusqu'à x' = co ; et de cette manière, on aura
"4^ J + 7=-l / e ^" dr' ^ + «^(/-fx)/ 4a'i.-.v
2Aa\/F
(2 + atx)»
/^OO (x-x')- 1 ii«'(
( 55) pendant tout le temps que la distance du point M à la surface eil au moins quatre ou cinq fois plus grande que un \/t.
AGn de simplifier encore cette expression de u, je fais, dans la première intégrale ,
x' — .r dx' , X ,
et, dans la seconde,
2 + abx -)- ubx' dx' 2 -|- et/jX
les limites relatives à j- et à z seront /■;= — hetj=<x>, z = k et z= j^ ; et comme on a
il en résultera
2AaV/'Cg*. ^-h'\ A (i + abx)
Lorsque t est infiniment petit, on a ^ = oo et A- = ao ; ce qui réduit celte valeur de « à « = A, comme cela doit être. Mais à l'époque actuelle , ces quantités h et k sont de très petites fractions près de la surface du globe, et ne peuvent cesser de l'être qu'à de très grandes profondeurs.
Je suppose d'abord que x soit une petite partie du rayon; ce qui comprend toutes les profondeurs accessibles et au-delà. Eu négligeant les puissances de 7i et k supérieures au carré, on aura
e-*'— e-''"= A'— A-, l " é->'dr = h, C'e-'^dz^k
et si l'on remet pour h, k, a., leurs valeurs, et que l'on néglige ensuite les termes qui ont /' pour diviseur, on trouve
A(i 4- bx) A (I + bx) 2A ( I -I- bx -t- b'x') ba \^7i ^l b'ia y 7i
quantité de même signe que A, dans l'hypothèse que l'on a faite, de /cinq à six fois aussi grand que 2a\/t, et, conséquemment, plus grand que a \'t ;
qui se réduirait à son premier terme, si le rayon / était infini ; et qui coïn ciderait, à cette limite, avec la valeur de u que j'ai trouvée d'une tout autre manière, à la page 327 de mon ouvrage. On vérifie aussi que les valeurs de u
et -7- qui répondent à .r=o, satisfont à la condition -T-'=bu, qui doit toujours avoir lieu à la surface.
Si l'on prend a =z S eX. b = i , et si l'on suppose, qu'à l'origine , la température de la masse entière du globe s'élevait à 3ooo degrés, il faudra qu'il se soit écoulé, à très peu près un million de siècles depuis l'époque de cet état initial, pour que la température de la surface provenant de la chaleur d'origine, soit réduite actuellement à un 3o' de degré, et qu'elle s'accroisse d'un 3o' de degré par chaque mètre d'augmentation de distance à la superficie. Il faudrait également qu'il s'écoulât encore trois millions de siècles, pour que ces petites fractions de degré se réduisissent à moitié, et ce nesera que quand rt \/^ sera devenu un multiple de Z, qu'elles pourront s'évanouir entièrement.
L'uniformité d'accroissement de chaleur dans le sens de la profondeur, aura lieu à toutes les distances accessibles : à la profondeur de i5oo mètres, par exemple, cet accroissement, pour chaque mètre, ne serait pas augmenté d'un millième de sa valeur à la surface; mais à de plus grandes distances, la température deviendrait sensiblement constante, et égale, comme au centre même, à la température initiale A.
En effet, lorsque x est une partie considérable du rayon /, les quantités h et k sont sensiblement égales, et l'on a, à très peu près.
u = — — I e y'dx
or, il suffit que A soit , par exemple, égal à trois ou quatre, pour que cette intégrale diffère très peu de sa valeur {V'tt, relative à A=oo, et, en conséquence, pour que u diffère aussi très peu de A. En supposant t égal à un million de siècles, et jc égal au ao" du rayon /; et faisant toujours a= 5, on aurait à très peu près ^ = 3, et la valeur de 11 différerait à peine de celle de A, d'un millionième de celle-ci; de sorte qu'on aurait à très peu près A — ;/ = o°.oo3, si A avait été de 3ooo degrés. Si l'on prend les mêmes valeurs de a et de t, et qu'on fasse / = 63645oo", et .r = -^ l, on aura
h =0,6364, 77= / '^ ii.r = ' — 0,6319,
( 57 ) et, par conséquent ,
en supposant toujours la tenopérature A égale à 3ooo degrés : pour ces données, l'accroissement de température près de la surface étant d'un 3o' de degré par mètre; s'il était uniforme jusqu'à la profondeur de 63645 mètres, la valeur de u serait de aiar.S, c'est-à-dire plus grande de i36',8, que celle que nous trouvons.
Quoique je croie avoir démontré, dans le mémoire, que la chaleur développée par la solidification de la Terre a dû se dissiper pendant la durée du phénomène, et que, depuis long-temps, il n'en subsiste plus aucune trace; il était bon, néanmoins, de déterminer, d'une manière complète, les lois du refroidissement qui auraient eu lieu, si le globe, devenu solide, avait eu dans toute sa masse une température très élevée. Ces lois sont, comme on voit, très différentes, selon que l'on suppose le produit a\/t, à l'époque actuelle, notablement plus petit, ou notablement plus grand que le rayon l; elles n'avaient pas encore été déterminées dans la première hypothèse , et c'est à la seconde que se rapportent toutes les citations du mémoire.
Au commencement de cette note, j'ai supposé que la température intérieure ne variait, ni avec le temps <, ni d'un point à un autre de la surface du globe. Si elle est seulement indépendante (\e t , mais qu'elle soit différente pour les différents points de cette surface, et donnée en fonction de leurs coordonnées, il faudra ajouter à la température u d'un point quelconque M de la masse, ime partie u, aussi indépendante de t et fonction des trois coordonnées de M. A la surface, u' coïncidera avec la température extérieure, correspondante à ce point; à une profondeur jc, très petite par rapport au rayon l, la valeur de u' différera aussi très peu de celle qui aura lieu à l'extrémité du rayon passant par le point M ; et sur un même rayon du globe , u ne commencera à varier, d'une manière sensible, que quand la distance r du point M au
centre différera sensiblement de l. Au centre même, ou pour t o
j'ai démontré, à la page 38t) de mon ouvrage, que la température u est la moyenne de ses valeurs relatives à tous les points de la superficie. Ce théorème est indépendant de la grandeur du rayon l; il a également lieu pour la Terre et pour ime sphère d'un rayon quelconque : il n'y aura de différence que dans le temps, plus ou moins long, qui devra s'érouler pour que la température centrale parvienne à une grandeur
permanente; lequel temps comprendra, dans le cas de la Terre, un nombre de siècles excessivement grand, et sera très court, au contraire, dans le cas d'une sphère d'un fort petit rayon , comme la boule d'un thermomètre, par exemple. La règle qui a été suivie, à la page 23 du mémoire, pour déterminer une limite inférieure à la température de l'espace au lieu où la Terre se trouve actuellement , est fondée sur ce théorème , ainsi que je vais l'expliquer.
Soit ds l'élément différentiel de la surface du globe, correspondante à un point quelconque P. Par ce point, menons un plan tangent à cette surface et indéfiuirnent prolongé ; appelons 'C, la température qu'il faudrait supposer à tous les points de l'enceinte stellaire, pour que la partie située au-dessus de ce plan , envoyât à chaque instant , à l'élément ds, la quantité de chaleur rayonnante qu'il en reçoit effectivement : si l'on suppose nulle l'absorption de cette chaleur dans l'atmosphère, et abstraction faite de la chaleur solaire qui parvient à l'élément ds, ainsi que de l'échange de chaleur rayonnante qui a lieu, à travers ds, entre la Terre et l'atmosphère; C exprimera la température extérieure relative au point P. Je désigne par y la moyenne des valeurs de cette quantité , qui correspondent à tous les points de la surface du globe; d'où il résultera
en étendant l'intégrale à cette surface entière.
Maintenant, imaginons que la matière du globe, aussi bien que l'atmosphère, soit rendue complètement perméable à la chaleur rayonnante; plaçons un thermomètre à son centre; et concevons un cône infiniment aigu, qui ait son sommet en ce point, et soit circonscrit à l'élément ds. Soit ds' l'élément qui sera intercepté par ce cône , sur la surface du thermomètre, sphérique et concentrique à celle du globe; de sorte que /' étant le demi-diamètre de la boule du thermomètre, on ait
as = — ; — ,
et que les deux éléments ds et ds' se trouvent situes du même côté par rapport au centre commun des deux surfaces. Désignons encore par '(J la température provenant de !a chaleur stellaire, incidente à chaque instant sur ds\ ou, autrement dit, soit Ç', à l'égard de cet élément, ce que Ç représente relativement à ds. Si nous appelons, enfin, y' la moyenne des
(59) valeurs de Ç' qui répondent à tous les éléments ds', et que nous étendionb Tintégrale f^ds' à la surface entière du therraoraètre , nous aurons aussi
Cela posé, en vertu du théorème qu'on vient de rappeler, y et y' sont les températures finales que prendront le centre de la Terre et celui de l'instrument; celui-ci après un petit intervalle de temps , et l'autre après un temps excessivement long , et en supposant que la Terre ne se déplace pas dans l'espace , ou, ce qui revient au même, en supposant que la chaleur de l'espace ne varie pas sur sa route. Il résulte, d'ailleurs, de la définition même de la chaleur de l'espace en un point donné , produite par le rayonnement stellaire, que cette température, au point que le centre de la Terre occupe actuellement, n'est autre chose que j-'; c'est donc la valeur de cette quantité^' qu'il s'agit de déterminer, ou plutôt, une limite à laquelle elle soit supérieure. Or, il est aisé de voir que l'on a , sans erreur sensible , Ç'=Ç'; car ces deux quantités Ç et Ç' ne peuvent différer l'une de l'autre, qu'à raison de la chaleur rayonnante, émanée de la zone stellaire qui se trouve comprise entre les plans tangents à ds et ds'; et ces deux plans étant parallèles , on peut évidemment négliger cette zone, par rapport à toute la partie de l'enceinte stellaire, située d'un même côté de l'un ou l'autre de ces plans, et de laquelle résulte la température Ç ou ^'. En ayant égard, en outre, à la valeur de ds', on aura donc
Toutefois, cela suppose que la chaleur stellaire n'éprouve aucune diminution en traversant l'atmosphère; ce qui rend la quantité t, comprise dans cette intégrale , moindre que celle qu'il y faudrait employer. De plus, cette même quantité ^ est aussi |)lus petite, comme on l'a expUqué dans le mémoire, que celle qui a été désignée par p à la page 17, et qu'on peut déterminer par des observations faites à la surface du globe. Far cette double raison, si l'on appelle € la température de l'espace au Heu où la Terre se trouve actuellement, de sorte que é =>', on aura
.>p-./pc/^;
ce qu'il s'agissait de démontrer.
Note D.
Afin de montrer, avec plus de précision , comment l'atmosphère se termine par la perte totale de son ressort, due au degré de froid de sa couche supérieure, je vais développer, dans cette note, le calcul de la densité et de la température des couches atmosphériques, tel qu'il a été indiqué à la page i8 du Mémoire, c'est-à-dire, en ne tenant pas compte de l'absorption que la chaleur rayonnante peut éprouver en traversant le fluide, non plus que du rayonnement de ses molécules, et supposant que la chaleur s'y propage de proche en proche , par la communication directe.
Considérons une colonne d'air en repos, verticale et cylindrique, qui s'appuie à la surface de la Terre, et se termine à la limite supérieure de l'atmosphère. Partageons ce fluide en tranches horizontales d'une épaisseur insensible, mais plus grande, néanmoins, que le rayon d'activité des forces moléculaires. Appelons Z la tranche dont la base supérieure se trouve à une distance quelconque z de la surface du globe. Soit n l'épaisseur de cette tranche, de sorte que sa base inférieure réponde à la distance z — r.. Désignons par p la densité du fluide <lont elle se compose, et par (p sa pesanteur; en prenant pour unité de surface. Taire d'une section horizontale de la colonne d'air, y\<p sera la masse de Z, et n pcp sou poids. Soit aussi p la pression qui s'exerce, dans le sens de la pesanteur, sur sa base supérieure, et qui provient du poids des tranches situées au-dessus de Z. Cette inconnue/) sera une fonction de z, décroissante quand z augmentera, ou,
autrement dit, -S- sera une quantité négative. La pression qui aura lieu
sur la base supérieure de la tranche située immédiatement au-dessous de Z, se déduira dep, en y mettant z — n au lieu de z\ en négligeant le carré
de », elle aura donc p — 4- i pour valeur : elle réagira en sens contraire
sur la tranche Z, qui se trouvera ainsi poussée de bas en haut par l'excès
(le p — -i- n sur p. Pour que Z demeure en repos, il faudra donc que cet
excès de pression -^ », soit égal au poids )if(p; d'où l'on conclut
pour l'équation d'équilibre de l'atmosphère. A sa limite supérieure, la pression p n'existe pas; si donc on appelle / la longueur de la colonne d'air, on aura, en même temps,
A la limite inférieure , la pression p sera le poids total de la colonne fluide; en le désignant par (sr, sa valeur sera
<ar
et l'on aura , à la fois ,
;= o, p = <7ir.
On pourra aussi exprimer «jet au moyen de la hauteur du baromètre, observée à la surface de la Terre. En la représentant par h , par g la pesanteur à cette surface, par m la densité du mercure, et observant que ce poids doit faire équilibre à celui de la colonne barométrique, on aura
'iB- = mgh.
Soity^la force élastique du fluide de Z. Pour la déduire , s'il est possible, des forces moléculaires qui la produisent, je partage la base supérieure de Z en éléments dont les dimensions soient insensibles, eu égard même au rayon d'activité de ces forces. Sur chacun de ces éléments, j'élève un cylindre vertical, compris dans le fluide supérieur à Z. Soient C l'un de ces cylindres et a l'élément qui en est la base. Je décompose le vol ume de C en tranches horizontales, dont l'épaisseur soit aussi insensible par rapport au rayon d'activité moléculaire. Je décompose également le volume de Z, en éléments du même ordre de petitesse que ceux deC. Appelons «et edeux éléments quelconques; le premier de C, et le second de Z. Les fluides contenus dans l: et f exerceront l'un sur l'autre, des répulsions et des attractions provenant de leur calorique et de leur matière pondérable, et dirigées suivant une droite menée de l'un de ces éléments à l'autre. J'apoelle Ruf l'excès de la répulsion du fluide de v sur celui de m; en sorte que R soit une force rapportée aux unités de volume pour les deux fluides , et qui aura une valeur positive ou négative, selon que la répulsion sera plus grande ou plus petite que Tattraction. En désignant par 4- l'angle que fait la verticale passant par u et dirigée dans le sens de la pesanteur, avec la droite menée de u k v,\si composante de Rwf , verticale et dirigée de bas on haut, sera égale à Rwt'cos-^'- Or, si l'on exclut le cas où C est situé à
une distance insensible des parois latérales de la colonne d'air, l'action totale du fluide de Z sur celui de C, se réduira à une force verticale ; car il est évident que tout sera symétrique autour de C , et que toutes les forces horizontales se détruiront deux à deux. Cette force verticale sera la somme des valeurs de Ri^t^cosv}/, étendue à tous les éléments « et p de C et de Z; elle aura la même valeur pour chacun des cylindres C dont la distance aux parois de la colonne d'air surpasse le rayon des forces moléculaires; en multipliant cette valeur par le nombre total de ces cylindres, et négligeant les autres dont le volume total est insensible, on aura donc la répulsion du fluide de Z, sur tout le fluide de la colonne d'air, supérieur à cette tranche. Ce sera l'expression delà force élastique y^ à la distance z de la surface du globe. L'aire delà base de Z ayant été prise pour unité,
- sera le nombre de cylindres par lequel il faudra multiplier ^uvcos\
pour obtenir cette valeur de^; si donc on désigne par ê l'épaisseur de la tranche m de C , de sorte qu'on ait u = ca , il en résultera
/:^2RwsCOS'\j,;
2 indiquant une somme qui devra s'étendre à tous les éléments de la longueur de C, et à tous ceux du volume de Z.
Pour que le fluide de Z ne se condense ni ne se dilate , il faudra que cette forcey^soit égale et contraire à la pression p: si y^ était moindre que ^, le fluide se condenserait; il se dilaterait dans le cas contraire; et la pression p n'existant pas à la limite supérieure de l'atmosphère, la force élastique doit aussi y être nulle; ce qui ne peut avoir lieu que par un abaissement convenable de la température de l'air à cette limite, ainsi qu'on l'a expliqué dans le Mémoire.
Nous ignorons suivant quelle loi la force R varie avec la distance de u à v\ nous savons seulement que cette force décroît très rapidement, et qu'elle s'évanouit dès qu'on donne à cette distance une grandeur sensible. Dans l'étendue de sa sphère d'activité, cette force peut passer du positif au négatif, pourvu que la somme 2, comprise dans la valeur de/', soit toujours une quantité positive, afin que la force y s'exerce .de bas en haut, et puisse faire équilibre à la pression p. Nous ne savons pas non plus comment la valeur de la somme 2 varie avec la densité et la température du fluide (*); et la valeur dey ne pouvant donc pas être calculée à
(*) Voyez sur ce point le \\° Sg de mon Mémoire sur les équations générales de Vé~
priori, pour l'égaler ensuite à la pression p, c'est à l'expérience que nous sommes obligés de recourir pour obtenir l'expression de p en fonction de la température de l'air et de sa densité, à la hauteur z au-dessus de la surface du globe, qu'il faudra substituer dans l'équation (i).
Or, la densité ayant été désignée par p, soit aussi 'C, la température ; tl'après les lois de Mariotte et de la dilatation des gaz par la chaleur, nous aurons, comme on sait,
p = af (i + <); (a)
«étant le rapport de la pression à la densité, quand la température est zéro, qui dépend de la nature du fluide et de la proportion de vapeui deau qui s'y trouve; et a désignant le coefficient de la dilatation , dont la valeur est
pour tous les gaz, et quel que soit leur degré d'humidité. A la vérité, cette expression de p, donnée par l'expérience, n'a pas été vérifiée pour le cas d'une très faible densité et d'une très basse température ; il est possible qu'alors la pression cesse d'être proportionnelle à la densité, et que la dilatation par la chaleur ne soit plus ni uniforme, ni indépendante de la nature du fluide : les lois de sa variation nous étant inconnues dans ce cas extrême, nous supposerons, pour l'exemple qui nous occupe, que la formule (2) subsiste dans toute la hauteur de l'atmosphère.
Pour déterminer les trois inconnues f , p.,^-, en fonctions de z;, il fiaudia joindre aux équations (i) et ^ji), une troisième équation qui sera celle de la propagation de la chaleur dans la colonne d'air, par voie de communication immédiate. On trouve dans mon premier Mémoire sur la Distribution de la Chaleur dans les corps (*) , l'équation aux différences partielles, d'où dépend la température à chaque instant, et en un point quelconque d'un corps hétérogène , c'est-à-dire dans un corps dont la densité ou la nature varie par degrés insensibles, dans toute son étendue. Cette équation convient également aux corps soUdes et aux fluides, et même aux fluides en mouvement ; car elle est fondée sur l'échange continuel de chaleur entre les molécules des corps , séparées par de très petites distances , et ne dépend, lu conséquence, que de la différence de leurs températures, telle qu'elle
quilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des Jluides , inséré dans le xx' cahier du Journal de l'École Polytechnique.
{*) Ibidem, xviri caliier.
a lieu à l'instant même que l'on considère. Pour le cas d'un corps homogène, elle coïncide avec celle qui avait été donnée auparavant, mais seulement, lorsqu'on suppose la conductibilité calorifique de la matière de ce corps, indépendante de sa température. Appliquée à la colonne d'air que nous considérons , et dont nous supposerons que chaque tranche horizontale soit parvenue à un état invariable de chaleur, cette équation se réduit à
dz
dz '
k étant la mesure de la conductibilité calorifique , qui répond à la hauteur z. I>a quantité k peut dépendre de la densité et de la température correspondautes du fluide; son expression en fonction de p et de '( ne nous est pas connue; mais, pour ne pas trop compliquer le calcul, je la regarderai comme indépendante de f; el, d'un autre côté, parce que cette conductibihté provient d'un échange de chaleur entre les molécules de Z et celles des tranches adjacentes de la colonne d'air, je supposerai sa mesure k proportionnelle au carré de la densité f. De cette manière, on aura, en intégrant,
c désignant la constante arbitraire, qui devra être une quantité positive , puisque 'Ç diminue quand z augmente. On n'oubliera pas que , dans cette équation, ^ est la température propre du fluide de Z, distincte de celle que marquerait, à la hauteur z, un thermomètre exposé à la chaleur rayonnante et en contact avec ce fluide. D'après l'équation (2), et la condition p=o qui a lieu à la limite supérieure de l'atmosphère, on aura, à la fois,
à moins d'un centième de degré. A la surface du globe , ^ coïncidera avec la température de cette surface, que je désignerai par 6 ; on aura donc aussi, en même temps,
Maintenant, il s'agit d'éliminer entre les trois équations (i), (2), (3), deux des inconnues /j,Ç,p, les deux premières, par exemple, et d'intégrer l'équation qui en résultera. Afin de simplifier ces calculs, je re-
marquerai que près de la surface de la Terre , la densité de la vapeur d'eau contenue dans l'air, lors même qu'elle atteint son maximum , n'est qu'une petite partie du mélange , et que la proportion de celte vapeur devient encore moindre à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère; l'influence de l'humidité sur la valeur de la quantité a, est donc peu considérable; et nous pourrons regarder a comme une constante, dans toute la hauteur de la colonne d'air. Nous considérerons aussi la pesanteur <p comme indépendante de s et égale à g ; car dans toute cette hauteur, tp ne varie pas d'un centième de sa valeur relative à z= o. Cela posé , en diffèrentiant l'équation (2) , on aura
en substituant pour -£- et -^ , leurs valeurs données par les équations (i) et (3) , il vient
-Sf = a{, +'Ç)±-
et si l'on fait
on en déduit
K=^-\ + -ic- M %
Je différentie de nouveau, en prenant x pour la variable indépendante, et considérant z comme une fonction à& x; on aura alors
et il en résultera
t/^ di^ dz c ds
dx dz dx X dx'
d^z ^bx — c dz
dx' 2{cx — bx') dx' En intégrant une première fois, on aura
.dz b
dx ^b^x^ — bcx '
c' étant la constante arbitraire. Je considérerai le radical comme une quantité positive ; et x devant décroître quand z augmente, la constante c' sera aussi positive. En vertu de la valeur précédente de Ç, on aura
2«^> {,bx — c) ' + "^ = cVP^^^T^' ^^^
Par une seconde intégration, et en désignant par c" la constante arbitraire, nous aurons
, , /bx — \c — s/b'x* — bcx\
c . = log (^ 1 — ) ;
ou, ce qui est la même chose,
bx — - c— V^i'x' — bcx = ce ' ;
e étant , à l'ordinaire , la base des logarithmes népériens. De cette équation, on déduit
bx — - c + \/ b'x* — bcx r= 7— 5-e ;
et, en faisant c" = - cc^, ces deux dernières équations donnent
%hx — c = -(-e 4- ce ), 2 \c, ' ' J
\/b'x^-bcx = î Q e-''^ - c, e''") ;
d'où l'on tire encore
Au moyen de ces diverses valeurs, des équations (3) et (4) , et de jc =.f*, nous aurons
ce qui fera connaître les valeurs de /> , ^, p, qu'il s'agissait d'obtenir, après , toutefois , qu'on aura déterminé les trois constantes arbi-
traires c,c\c^. En vertu de l'équation (3), et en faisant j- = — ^, o" aura aussi
pour la vitesse A à la hauteur z, du décroissement de la température, à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère. Comme on doit avoir /) = o, à sa limite, on aura de plus
pour déterminer la longueur / de la colonne d'air que nous considérons. Enfin , si l'on appelle J" la densité de l'air correspondante à z=: Z, on aura, d'après la première équation (5) ,
Pour obtenir les valeurs de c, c', c^, je fais dans les deux dernières équations (5),
z:=o, Ç=6, l-}-«5 = y, p =: gmh = aabmh ;
B et h étant, comme on l'a dit plus haut, la température et la hauteur barométrique, qui ont lieu à la surface de la Terre, et qu'on suppose données. Il vient
en prenant la densité m du mercure pour unité. Je suppose aussi donnée la valeur de A qui répond à z = o; en la désignant par yU, et faisant
z = o, A = ^, dans l'équation (6), on a
De ces expressions àe y,h, fi, on déduit sans difficulté,
o'b'h'f. <t y— — - yi- Vb'::r^
C = ; — , C — — ybib—n), c =-— ,
(68 ) pour les valeurs demandées de c, c\ c,. Ces quantités constantes par rapport à z, varieront, comme on voit, avec les données /a, y, h, qui ont lieu à la surface de la Terre, et qui serviront à les calculer.
Si l'on prend pour le rapport |, égal à ba, la moyenne de ses valeurs
relatives à l'extrême sécheresse et à l'extrême humidité de l'air (*), et si l'on prend aussi le mètre pour unité de longueur, on aura
7961 , lo"
Dans l'expérience aérostatique de M. Gay-Lussac, la température à la surface de la terre et à la hauteur de Sôgi^Sa , ont été simultanément 27%75 et 8",5o; on peut prendre pour la valeur de fi, l'excès de la première température, sur la seconde, divisé par ce nombre de mètres; ce qui donne
(266°,67) (3691,32)" On avait, en même temps,
h = o,,65, V = . + ^ggr^ë^-
En substituant ces valeurs numériques dans les formules précédentes , on trouve pour c une très petite fraction , et ensuite
c' = o,oooio5, c^ ^ 0,04228.
La valeur de / qui se déduit de celles-ci serait
l'atmosphère se terminerait donc à une hauteur d'environ 5oooo mètres ; et sans doute, elle s'étend beaucoup plus loin. Mais on ne doit pas perdre de vue qu'il ne s'agit, dans cette note, que d'un simple exemple de calcul, et que, vraisemblablement, les hypothèses que nous avons faites pour le faciliter, ne sont pas conformes à la nature.
D'après la valeur générale de c , celle de cT devient
(1) Traité de Mécanique, tome II, page 628.
(69) et au moyen des données précédentes, on trouve
en sorte que, dans ces hypotlièses, la densité de l'air à la limite de l'atmosphère où ce fluide est liquéfié par le froid, surpasserait encore le tiers d'un dix-millième de la densité du mercure, ou le tiers de la densité de l'air à la surface de la terre; ce qui suffirait pour ne pas les admettre. Elles consistent à supposer nids le rayonnement et le pouvoir absorbant des molécules d'air; à regarder la conductibilité calorifique de ce fluide, comme indépendante de la température et proportionnelle au carré de la densitéet à étendre la formule (3), donnée par l'expérience, à toutes les densités et aux plus basses températures. En partant d'autres suppositions, on parviendrait, mais par un calcul plus compliqué, à des expressions dep, l^, p , différentes des formules (5); et l'on eu pourrait déduire des valeurs de <r et/, plus vraisemblables que celles que nous avons obtenues , c'està-dire une valeur plus petite pour «T et plus grande pour /.
M. Gay-Lussaca remarqué que la température décroît moins rapidement à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère; résultat qui s'accorderait avec la formule (6), dont la différentielle est négative, à cause de c^ < i, depuis js = o jusqu'à la limite zz= l, où l'on a -7- = o.
addition à la note B.
M. Élie de Beaumont, qui m'avait indiqué la température de trois ou quatre mille degrés, comme ayant dû avoir lieu à une époque très ancienne, d'après les doctrines géologiques qu'il professe, a ensuite ajouté qu'il fallait que la température du globe à une grande profondeur, fût aussi très élevée à l'époque actuelle. Or, au moyen des variations de la chaleur de l'espace sur la route de notre système planétaire, on pourra aisément satisfaire à cette nouvelle condition , d'une infinité de manières différentes, et, par exemple, en prenant pour^, dans l'expression de la température extérieure Ç que nous avons considérée à la page 33 de la note B, ime quantité périodique qui variera avec une extrême lenteur.
Faisons, en effet,
t/ , , . iVr fn= n cos — ■+- n siii — ; 2-/ 2y
(yo)
n et n' désignant des températures constantes et très élevées; £un nombre impair; y un intervalle de temps extrêmement long, qui comprendra, s'il est nécessaire, des millions d'années; et le temps t étant compté à partir d'une époque, telle que l'on ait aujourd'hui t = y, ce qui rendra nulle la température |tt à l'époque actuelle. D'après la formule (4) de la page 43 1 de mon ouvrage, la température u de la Terre à la profondeur u, et relative aussi à < = ^, aura 'pour expression
bn V(b+ -i- ^/'^ sin -^^.+ -1 Jl cos i-^l ^ ^^ L\ ia\ yj 2al/y ao V y ■lal/yJ aa V ,. u ■= ■ ^-^ 1— i — e
' « V y ^ aa'y ôril (b+ — \/-)sm — -— + — 1/ - cos— !^ - ^t/l"
Si l'on prend n' =s — , et que l'on néglige les termes qui ont y pour
yi
diviseur, on aura u = o et ^ = o , pour j? = o; en sorte que près de la
surface, l'accroissement de température dans le sens de la profondeur, sera zéro; et celui que l'on observe devra être attribué à une inégalité de la chaleur de l'espace, différente de ix, et, si l'on veut, à celle que nous avons considérée dans la note B. Mais il n'en sera plus de même, dès que
la fraction — ^ ne sera plus très petite : la température u croîtra jusqu'à ayv
une certaine limite; si l'on suppose que i soit un nombre considérable, la première partie de la formule précédente, sera la partie principale de «; en appelant h la profondeur à laquelle cette partie atteint son maximum, et supposant que b rie soit pas une très petite fraction , de manière qu'on
puisse négliger — l/- par rapport à b, on aura
la^y T.ay'y ^ 1.
d'où l'on tire
et si l'on représente par H la valeur correspondante de m, et que l'on prenne, pour fixer les idées, i=: 25, il en résultera, à très peu près,
Cela posé, le mètre et l'année étant les unités de longueur et de temps; si nous prenons
<i=5, V :^ lOO.IOOOOOO,
nous aurons
de sorte qu'en prenant aussi Ji = 6000°, la température de la Terre s'élèverait à environ 1900 degrés, à la profondeur d'à peu près 44ooo "^^'''*'s. A une profondeur décuple de celle-là , ou à peu près égale au i5* du rayon
de la Terre, la valeur de u se réduirait à environ 2°. Pour x =j-^, on à peu près 1000 mètres, on aurait
■îa\/y'~ »8o'
ce qui donne
Par conséquent , l'accroissement de température relatif à cette valeur de x, que l'on trouve, dans la note B, égal à Sa", devrait être augmenté de 7% et deviendrait à peu près le même que si l'accroissement uniforme de 0',0'6'jj par mètre, que l'on observe à de moindres distances de la surface, subsistait jusqu'à cette profondeur de 1000 mètres.
Il est sans doute inutile de répéter que cet exemple, aussi bien que celui de la note B, ont été choisis pour la commodité du calcul, et qu'on ne suppose aucunement que les lois de variation de la température de l'espace, auxquelles ils répondent, aient réellement lieu dans la nature. En général, en clioisissanl ces lois arbitrairement, c'est un problème indéterminé de satisfaire à des conditions données, telles qu'une température très élevée de la couche extérieure du globe, à une époque très ancienne;
( 7= ) une température de l'espace, au lieu où la Terre se trouve actuellement, à peu près égale à zéro ; un accroissement très lent et donné de la température de la Terre près de sa surface; enûn, à une profondeur considérable, une température fort élevée, mais qui diminue ensuite pour devenir constante et d'une grandeur ordinaire, à une distance de la surface moindre, par exemple , que le lo' du rayon.
Remarques sur la température désignée par h à là page 4 du mémoire.
A l'équateur, la valeur de h se déduira difficilement, avec quelque précision, de l'équation (aS) qui se trouve à la page 497 de mon ouvrage, parce qu'en ce lieu, le premier membre de celte équation et le coefficient de h dans son second nombre, sont de très petites fractions. Je ne vois guère que la quantité de chaleur solaire qui tombe annuellement sur chaque mètre carré, évaluée par des expériences directes, dont on puisse se servir pour déterminer la température h, à l'équateur et à de petites latitudes. Cette quantité de chaleur étant plus grande sous l'équateur qu'à notre latitude, il en sera de même à l'égard de h, et, à plus forte raison^ à l'égard du produit Qh qui exprime le nombre de degrés dont la chaleur solaire augmente la température moyenne du sol, en supposant, toutefois, que la nature du sol et l'état de sa superficie, c'est-à-dire, les quantités rt, b, ç, qui s'y rapportent, ne diffèrent pas dans les deux localités dont il s'agit.
L'égalité des deux valeurs de h, calculées à la page 5o3 de mon ouvrage, était une conséquence de la manière dont j'ai déterminé la valeur de a, et ne devait pas être remarquée, comme je l'ai fait par mégarde. C'est le peu de différence entre les valeurs de H, calculées à la page suivante, et les valeurs observées de cette dernière quantité, qui fouinit une vérification des valeurs de a,b, h, et particulièrement de celle de ^, sur laquelle il pouvait rester quelque doute, à cause de l'incertitude dans les époques des maximaet minima de température , qu'on a employées pour la déterminer.
