La rotation AS-* différant très peu de S-*, posons

AS-* = — i20«-f c, il vient

(AS-*)3 = — 360« -f 38 = 3e.

La rotation (AS-*)^ est donc infîniment petite. De plus, si on regarde lo comme un infmiment petit du premier ordre, s sera du second ordre, comme nous allons l'établir.

LuyiÈaE. II. — 19

On démontre en cinématique qu'on peut représenter une vitesse de rotation par un vecteur poHé sur Taxe et proportionnel à la vitesse angulaire ; quand un corps est animé simultanément de plusieurs vitesses, la vitesse résultante est représentée par la somme géométrique de leurs vect^^urs; on en déduit qu'on peut composer par la même règle les rotations infiniment petites, en négligeant les infiniment petits du second ordre.

Appliquons cette règle au cas qui nous occupe, a> étant infiniment petit du premier ordre, les rotations sont infiniment petites, nous les représenterons par des vecteurs proportionnels à Cl), dirigés suivant OA, OB, OC. Ces trois vecteurs seront égaux, et, comme ils font entre eux un angle de 120*, leur résultante est nulle, ou mieux est infiniment petite du second ordre: e est donc du second ordre et par suite proportionnel à 0)^ ; en négligeant les termes d'ordre supérieur, comme cd varie en raison inverse de X, e sera sensiblement en raison inverse de >^, il en sera de même de la rotation totale 3p£. La rotation du plan de polarisation varie donc sensiblement en raison inverse du carré de la longueur d'onde, ce qui est conforme à l'expérience.

163. Nous avons dit que nos conclusions étaient d'autant plus exactes que les lames étaient plus minces. Cependant, si la double réfraction n'est pas très intense, ce qui est le cas le plus général, on ne peut diminuer indéfiniment l'épnisseur attribuée à ces lames.

En efîet soit un cristal qui fait tourner le plan de polarisation d'un angle fini 3ps: si l'épaisseur des lames devient deux fois plus petite, leur nombre devient deux fois plus grand,

NOTATIO.NS 291

mais 0) se change en - et e en t ; la rotation du plan de polarisation est divisée par 2, elle est donc proportionnelle à l'épaisseur des lamelles et tend vers en même temps que celte épaisseur.

Tous les raisonnements qui précèJent peuvent s'appliquera un cas plus général, celui où chaque paquet comprend n

TZ

lames, faisant entre elles un angle - : sauf pour n = 2, parce

que dans ce dernier cas les rotations produites par deux, lames consécutives se détruisent.

164. Les expressions symboliques A, B, C... S, que nous avons introduites, sont susceptibles d*une interprétation physique.

En effet appelons A la première lame du paquet, B la deuxième, C la troisième, etc. Soit S une lame dénuée de double réfraction, mais douée du pouvoir rolaioire qui fait tourner le plan de polarisation de 60®; S^, S', des lames d'épaisseur double, triple faisant tourner ce plan de 120°-180°; S-\ S~-, S-^, des lames respectivement de môme épaisseur que S\ S^, S^, mais possédant un pouvoir rotaloire de sens inverse.

L'égalité symbolique

B r=S-* AS,

par exemple signifiera que la lame B équivaut au système des trois lames S"*, A, S.

En effet, B et A sont identiques, à l'orientation près: A a tourné de — 60° par rapport à B. Une vibration elliptique E traversant B se transforme en une autre Ë^.

La même vibration E, si elle traverses-*, conserve sa forme^

mais tourne de — 60*, elle se présente à A comme E se présentait à B, et se transforme par son passage à travers A en E^ , qui a la même forme que E^, mais a touméd e — 60° par rapport à E4 ; Ej, en traversant S, tourne de 60"* sans changer de forme et vient par conséquent coïncider avec E^

Grèce à cet artifice (»n pourrait présenter les raisonnements du n^ 159 sans se servir de notre mode particulier de représentation géométrique.

165. Cas général. — Supposons que la lumière traverse une série de paquets, formés de lames quelconques, mais tous identiques entre eux et orientés de même.

La première lame donne une rotation infiniment petite 0) ; nous prenons OA (fig. 46) proportionnel à co ; la seconde, une rotation o> que nous représentons par OB, etc.

Pour avoir Teffet du paquet, il faut composer ces rotations, en négligeant les infiniment petits du second ordre. La résultante n'est plus nulle : par conséquent un tel paquet donne une rotation très petite du premier ordre, comme une lame unique.

Cette rotation sera du second ordre seulement pour certaines directions du rayon incident ; pour ces directions, ou axes optiques, le paquet se comporte comme une lame unique taillée perpendiculairement à Taxe.

Fig. 46.

CAS GÉiNÉRAL 293

Supposons d'abord que la direction du rayon diffère notablement de celle de J'axe optique. La résultante sera du premier ordre, et on l'obtiendra, aux infiniment petits du second ordre près, en composant les rotations élémentaires. La résultante fera avec le plan de l'équateur un angle infiniment petit, il n'y aura pas de pouvoir rotatoire sensible.

Prenons pour plan de la figure un plan perpendiculaire à celui de l'équateur [fig, 47) : soient MM' situés sur l'équateur et représentant des vibrations rectilignes.

Si une de ces vibrations traverse un grand nombre de paquets, le point M va décrire un cercle très petit ayant Q pour pôle ; il ne s'écartera donc jamais beaucoup de l'équateur.

Il n'y aura donc pas d'ellipticité sensible, l'expérience est impuissante à déceler cette oscillation de M.

Ceci explique pourquoi le pouvoir rotatoire n'est sensible qu'au voisinage des axes.

Si la direction du rayon incident diffère peu de celle d'un axe optique, la résultante sera infiniment petite du deuxième ordre et fera un angle fini avec le plan de l'équateur; l'axe de rotation sera tel que Q^ Qj ; les points Q^ et Qj resteront fixes. Ces points représentent donc deux vibrations elliptiques susceptibles de se propager sans altération. Pour obtenir l'effet du paquet sur une vibration quelconque, on pourra décomposer celle-ci en deux vibrations composantes représentées par les

Fig. 47.

-294 POLARISATION UOTATOIRE

points Q^ et Qj, faire propager séparément ces deux composantes et les recomposer à la sortie. Les points Q^ et Q| sont diamétralement opposés, leurs longitudes diffèrent de 180**, et leurs latitudes sont égales en valeur absolue. Les deux vibra* lions sont donc de sens contraire, leurs axes correspondants sont perpendiculaires, et les deux ellipses sont semblables.

Quand Taxe de rotation MM' est situé dans le plan de Téquateur, les vibrations rectiligncs M et M' se propagent sans altération, puisque la rotation autour de MM' ne modifie pas la position des deux points M et M', il y a seulement double réfraction.

Si le rayon se propage suivant Taxe optique, la rotation se fait autour de PP* ; les vibrations P et P' se transmettent sans altération, ce sont les vibrations circulaires.

Nous retrouvons ainsi les vibrations privilégiées, dont la considération sert de base aux théories de Fresnel, de Gauchy et d'Airy.

166. Hypothèse deM.Quesneyille. — Bien que la considération de deux composantes elliptiques privilégiées suffise à rendre compte des phénomènes observés, M. Quesne ville suppose que la vibration elliptique incidente se décompose en quatre autres, qui se propagent sans altération, mais avec quatre vitesses différentes.

Le quariz est trop faiblement biréfringent pour que les observations permettent de décider entre cette théorie et les précédentes; mais on peut réaliser artificiellement un criblai fortement biréfringent et doué du pouvoir rotatoire, en plaçant, comme l'a fait M. Quesneville, un spath dans un champ magnétique uniforme tel que les lignes de force soient paraU

HYPOTHÈSE DE M. QUESNEVILLE !295

lèlesà Taxe du cristal. Il dit que les résultats des expériences ne sont pas d'accord avec les anciennes théories et sont mieux expliqués par la sienne.

Ceci ne doit pas nous surprendre. Remarquons en eflet que la nouvelle théorie dispose de quatre constantes arbitraires au lieu de deux, comme les anciennes théories. Ensuite les propriétés que le spath acquiert dans le champ magnétique ne peuvent être absolument assimilées à celles que le quartz possède naturellement. En effet, quand un rayon traverse un quarlz parallèlement à Taxe, le plan de polarisation tourne dans un cerlain sens, vers la droile par exemple, que le rayon d'ailleurs se propage dans un sens ou dans Tautre. Au contraire, si le rayon traverse le spath, le plan de polarisation tourne toujours dans le sens du courant qui engendre le champ magnétique ; si dans un cas il tourne à droite du rayon, en changeant le sens de la propagation il tournera à gauche de ce rayon. Le spalh et le quartz ne se comportent donc plus de même quand Tinclinaison du rayon sur Taxe varie de tt, les rotations deviennent de sens contraire ; il est donc à prévoir que pour une inclinaison intermédiaire a leurs propriétés seront ditlérentes (^).

167. Détermination du pouvoir rotatoire et du pouvoir biréfringent d'un paquet. — Considérons une pile de lames, formée de paquets identiques entre eux et orientés de même. L'eiïet de chaque lame se traduit, dans la mode de représentation que nous avons adoptée, par une rotation ; pour avoir Teffet du paquet, il faut composer ces rotations.

(1) Depuis la clôture du cours, M. Quesoeville a publié de nouvelles expérieaces portaut sur le quartz lui-même.

Pig. 48.

Prenons le plan de Téquateur comme plan de la figure. Nous supposerons d'abord, pour simplifier, qu'il y ait trois lames seulement. Les effets de chacune de ces lames seront

représentés respectivement par des rotations (o^ autour d'un axe OA4, o>2 autour de OAj, o), autour de OA3 [fig. 48).

Ces trois rotations peuvent être remplacées par une rotation <p autour de Taxe PF perpendiculaire au plan de Téquateur, et une rotation w' autour d'un axe situé dans ce plan. La première correspond au pouvoir rotaloire, la seconde à la biréfringence du paquet.

Nous vouions déterminer ces deux rotations ou, ce qui revient au môme, les deux rotations qui ramèneraient la sphère dans sa position primitive.

Tous les axes de rotation passent par le centre ; la sphère est donc un corps mobile autour d'un point fixe. On sait que le mouvement d'un pareil corps peut se réduire au roulement sur un cône ^vLt (ou base) d'un cône invariablement lié au

Fig. 49.

corps mobile (roulette). La génératrice de contact est l'axe instantané de rotation. Ici tous ces axes sont dans le plan de l'équateur ; ce plan constitue donc la base. Comme nous ne considérons que des rotations finies, la roulette sera un

POUVOIR ROTATOIKE ET POUVOIR BIRÉFRINGENT 297

angle polyèdre, que nous construirons de la manière suivanlc [fi(j. 49).

dièdre OB4 = :r — (d^

B,0B2 = A^OAg dièdre OBj = tt — w^

B2OB3 = A2OA3 dièdre OB3 =z jz — 0)3.

En faisant rouler cet angle solide sur Téquateur, nous reproduirons le mouvement de la sphère. Supposons en effet qu'au début le plan COB^ coïncide avec celui de Te'quateur, OB4 coïncidant avec OA^. Faisons tourner l'angle polyèdre autour de OB^ d'un angle cof ; le plan BiOB^ vient s'appliquer sur celui de Téquateur, de manière que OB^ vienne sur

OAj, puisque B^OB^ = A4OA2. La seconde rotation Wj se fait autour de OB2 confondu avec OA^ et amène le plan B^OBj

sur réquateur en A2OA3, puisque B2OB3 = A^OAg. Enfin la troisième rotation 0)3 amène COB3 sur Téquateur en AjOCj. Les faces de la pyramide sont ainsi venues s'appliquer successivement sur Téquateur ; il faut maintenant, pour ramener la sphère à sa situation primitive, effectuer une rotation autour de OCj, rotation égale à co' si le dièdre OC, est iz — <d', de façon à appliquer le plan COiB^ sur Téquateur. OB^ vient en OBf , puis faire tourner l'angle CgOBi autour de Taxe PP' perpendiculaire à Téquateur, d'un angle CjOC^ = B^'OB, = (p. L'angle <i>' représente le pouvoir biréfringent du paquet, 9 son pouvoir rotaloire, le point G, correspond à un azimut qui est celui de la section principale du paquet. L'angle

POLARISATION ROTATOiRE

(p = CjOC^ est égal à l'excès de qualre droits sur la somme des faces de Tangle polyèdre. Considérons rialersection de cet angle polyèdre avec ia sphère ; c*est un quadrilatère sphérique C^BiBjBg. Les côtés de ce quadrilatère sont respectivement B^Bj = A^OAj, BjBj = A2OA3 .... c'est-à-dire égaux

aux doubles des angles que font entre elles les sections principales de deux lames consécutives. Ses angles sont TT — w,, TT — (Oj ... etc., et ses angles extérieurs a>p a>2 ... etc. La somme de ses côtés est ait — çp.

Considérons le quadrilatère polaire de celui-là {fig.60). Soit:

fij. ko.

a le pôle de CBi

B{ le pôle ab

b — B^Ba

Bj — àc

elc.

D'après un théorème bien connu :

ab = (1)^ bc =- (j>2 b = Tt — B4OB2, etc.

cd =

da = a>'

La construction du polygone polaire nous fait donc connaître w' ou la première résultante.

D'autre part, la somme des angles extérieurs du polygone polaire est:

B^OBa + BaOB3 -f ...:== ait — cp,

(p est donc l'excès sphérique de ce polygone, et par conséquent est proportionnel à sa surface.

POUVOIR ROTATDIRE ET POUVOIR BIRÉFRUSGEIST i^

Quand les côtés (i>| ... co' du polygone sont infinimenl pelils, ce polygone peut éire assimilé à un polygone plan. Nous retrouvons la construclion que nous avons faite en appliquant à la composition des rotations la r^'^gle du polygone (§ IGO). Si les côtés du polygone sont regardés comme des infiniment petits du premier ordre, (p qui est proportionnel à la surface sera infiniment petit du second ordre.

158. Variation de phase produite par le passage à travers une pile de lames. — Nous avons décomposé la vibration en ses composantes situées dans le plan de Tonde :

et nous nous sommes préoccupés jusqu'ici seulement d'étudier la variation du rapport 7» sans avoir rgard aux variations séparément éprouvées par B et par A.

Quand la lumière aura traversé une pile, A et B seront devenus A' et B'; mais ces nouvelles valeurs seront des fonctions linéaires des anciennes.

A' = aA + pB B' = yA + SB.

a, p, Y, étant des constantes qui dépendent seulement de la nature du paquet.

Tout se passe, nous Tavons vu, comme si la vibration se décomposait en deux vibrations elliptiques, semblables et rectangulaires, se propageant sans altération de forme, mais avec des vitesses différentes.

Donnons à A et à B les valeurs correspondant h Tune de ces vibrations privilégiées. Après le passage la phase a changé,

mais le rapport -r a conservé même valeur :

A B ^ ' De même pour Taulre :

Ce que nous avons déterminé par les calculs qui précèdent, c'est la différence <p — ^, mais non ^ et <p ; en particulier la

somme d

qui donne la durée moyenne du passage à

travers le paquet n'a pas été calculée.

• Des e'quations :

A' = aA -|- pB = AeV~?, etc.

ou

A (x — eV-<?) + pB = o ^A + (8 — ev^~?) B = o

on déduit en éliminant A et B :

De môme pour les équations en e^"^; gV-»? et e^^-^^ sont donc les racines de Téquation