PI
et de même :
^— Ar Cherchons à satisfaire à ces équations en posant :
(i) 71 = BeV^*P
où :
Ç = Ce\ClP
p = aa? 4" ^y ~f~ ^-^ + p^
a, 6, e, A, B, G, p étant des constantes. Nous obtiendrons de la sorte une solution imaginaire des équations et par conséquent une solution réelle, représentée par la partie réelle de Texpression imaginaire.
Dans ces conditions,
dx ^ dœ^
dy* dz*
Substituons, il vient :
(2) pp> .= fx (a» + ^* + c^).
Il faut en outre que :
ce qui donne :
O = yj^^i {al + ÔYi + cî) = V:31eV^«P (aA ^- 6B -f cC)
ou :
Aa + Bô + Ce = o
équation exprimant que la vibration est dans le plan de Tonde.
Ceci reste vrai quelles que soient les valeurs, réelles ou imaginaires, de A, B, C, p, a, b^ c. En général nous regarderons A, B, C comme réels : p sera toujours supposé réel.
Les plans ayant pour équation générale :
ax -\- by '\' cz := Ck^ s'appelleront les plans de Tonde.
25. Lorsque a, h, c deviennent imaginaires, le plan devient aussi imaginaire; mais il ne faut pas en conclure que Tonde correspondante n'existe plus ; le calcul montre le contraire.
En effet, prenons par exemple le système de valeurs suivant :
Ce choix de valeurs entraîne
et
L'équation (2) devient :
pp3 = ^(al- bi)
et détermine p si a^ > b^.
L'équation (3) est véritîée identiquement, car Ç ne dépend plus de ^ et Ç et ii sont nuls. Enfin :
Ç = partie réelle de Ce^ ax-yT^b^^pt) = e-Pov cos {aœ -f- pt)j
ce qui représente une onde réelle.
26. Ce genre d'ondes se rencontre dans le phénomène de la réflexion totale.
Considérons deux milieux séparés par une surface plane, et supposons que le milieu supérieur ait le plus grand indice. Tant que l'angle d'incidence t dans le milieu supérieur a une
valeur inTérieure à l'angle limite, la loi de Descarle^ donne une valeur réelle de l'angle de rérraclion : le rayon et l'onde réfractée sont réels. Mais quand l'angle d'incidence devient supérieur à l'angle limite, U loi de Descartes donne une valeur imaginaire de l'angle de rérraction. L'onde réfractée serait imaginaire. Il «st naturel d'admettre qu'il existe alors dans le milieu inférieur une onde analogue fi celle que nous venons de trouver, et c'est ce que semblent confirmer les lois de la polarisation elliptique par rëflexion totale. L'observation directe de celte onde est rendue très difficile par la présence du facteur e-***' qui devient très petit dès que y atteint une valeur notable, parce que b^ est extrêmement grand. Mais son existence, comme nous le verrons plus loin, a été montrée indirectement. Nous parlerons d'ailleurs rarement de cette onde.
27. Si nous considérons une onde plane ordinaire se propageant parallèlement & 0? et ayant ses vibrations dans le plan d'onde, elle sera représentée par les équations
(4) \ = parUe réelle de Ke^~""
Tj = partie réelle de Be*'^'".
A et B étant des fonctions de x et de (, si nous considérons seulement un point particulier de l'espace, A et B seront des constantes.
Comme ce sont des imaginaires, nous écrirons :
A = A, — \/^^ Aj B = B, — v'^ï B,
OU
A=|A|eV^« B=|B|eV^*
en représentant selon Tusage les modules de A et de B par la notation | A | et | B |, par conséquent :
Ç = A| cos pt + Aj sin pi
Yj = B^ cos pt + Bj sin pt
Ç = I A I cos (pt -j- a)
7j = I B I cos (p< + b)
a s'appellera la phase de la première composante, h la phase de la seconde.
Pour trouver Téquation de la trajectoire de la molécule d'éther, il faudra éliminer le temps entre les deux expressions de ^ et 7} : il suffit de résoudre ces deux équations par rapport à cos pt et sin pt et de substituer les valeurs trouvées dans ridentité.
cos* pt -|- sin* p^ = i,
cos pt et sin pt seront des fonctions linéaires homogènes de ( et Y) : donc le premier membre de cette identité deviendra un polynôme homogène du second degré en \ et yj.
La trajectoire cherchée sera donc une conique, et, comme \ et Tj ne peuvent croître indéfiniment, cette conique est une ellipse. Dans le cas particulier où :
5l — li
INTENSITÉ DANS LE CAS d'uNE ONDE PLANE 41
cette ellipse se réduit à la droite qui a pour équation
Dans ce cas, t- est réel et égal à t^* B et A ont donc même
argument a = b^ autrement dit les deux composantes ont même phase.
28. Intensité dans le cas d'une onde plane. — Nous avons montré que, tant qu'il s'agit d'ondes planes, toutes les définitions de l'intensité conduisent au même résultat. Pour la calculer, il nous est donc loisible de la regarder comme proportionnelle à la force vive moyenne de Téther.
Le carré de la vitesse suivant Oœ a pour expression :
(^) = p« (AJ sin^ pt +. A| cos* pt -|- âA^Aj cos pt sin pt).
La valeur moyenne de sin^ pt et celle de cos* pt sont égales
à r> celle de cos pt sin pt est o. Donc :
Val.moy.de(|y=^(AÎ + AÎ) On trouverait de même
Val. moy. de (^y =:f (B? + Bf),
et enfin
Val. moy. de V» = ^ (A? + AJ + B? + BJ).
49 [TiTÉGRiTION BE3 ÉQUATIONS DU MOUVEKEnT
Abstraction faile du facteur coDstanl ^> l'intensilé est donc proportionnelle h (AJ + AJ -f- ^î + B»)-
29. Noue avons regardé A et B comme des constantes ; mais eo réalité ces coeTficients dépendent de l'état de la source lumineuse, état qui ne demeure pas constant : ces coefficients éprouvent donc des variation?. Ces variations, bien qu'elles soient extrêmement rapides d'une manière absolue, ne laifsent pas d'être extrêmement lentes en regard des vibrations ellesmêmes. Mais, en raison de leur rapidité absolue, on peut admettre que pendant l'intervalle de 1/10 de seconde, qui représente la durée de la persistance des impressions lumineuses sur la rétine, ces cociTicienls prennent toutes les valeurs comprises entre deux certaines limites, et que ces valeurs s'associent de toutes les façons possibles,
L'intensité observée est donc l'intensité moyenne pendant cette durée de 1/10 de seconde, soit
; 21 IAÎ + Aï + B) + Bi)
n étant le nombre de vibrations effectuées pendant cet intervalle. Comme - est une constante, l'intensité sera proportionnelle à la S'
21(AÎ-hAH-BÎ-|-BÎ).
Pour définir un rayon, il nous faudra prendre quatre exprès-
INTENSITÉ DANS LE CAS d'dNE ONDE PLANE 43
sions analogues, savoir :
L'intensité sera égale à 8| + ^2-
30. Dans la lumière naturelle, les coefficients A et B prennent toutes les valeurs possibles pendant 1/10 de seconde et s'associent de toutes les manières possibles. Toutes les directions de vibration dans le plan d*onde sont équivalentes. Donc
2 (A? + AI) = 2 (Bî + Bi) ou :
83 est égal à 0; en effet, si nous trouvons la combinaison de
A^ — V-— 1 Aj avec B^ — V — ^Bj qui donne le terme A^B^ -|- AjB^, nous trouverons aussi la combinaison de
A| — V — ^^2 avec — B, -f" V — ^Bj,, qui donne le terme — (A|B| -|- AjBj), annulant le précédent; et ainsi de suile pour les autres combinaisons.
Pour la même raison 8^ == 0.
31i Supposons que la lumière traversera un analyseur, c'està-dire un appareil qui détruise toutes les composantes perpen-
diculaires à une certaine direction, et laisse passer les composantes parallèles à cette direction OA {fig. 5).
Soit (p Tangle que fait cette direction OA avec Taxe des a?.
La composante du déplacement dirigée suivant OA, qui seule subsiste, est égale à
^.^^^"^fe
l cos (p -f- "^i sin ^
Flg. 5.
et au temps /, la molécule d'éther se trouve sur OA, à une distance de représentée par:
(A^ cos<p + B^ 8in<p) cos pt -(- (AjC08<p -f B^sincp) sinp^ L'intensité aura pour valeur, dans ce cas :
V {A4 cos <p + B| sin (p)* -f (^2 c^s ? + ^i ^^^ 9)^ = S| cos^cp + 2^3 cos <p sin <p -j- SjSÎn^ç.
Cette expression ne peut être négative. Les racines du trinôme doivent donc être imaginaires, ce qui exige la condition:
Si:
H ^ t,tr
Sj — 8182,
l'expression s'annule pour une certaine valeur de ^. On dit, dans ce cas, que la lumière est polarisée rectilignement ou polarisée dans un plan et que la polarisation est totale.
IMTENSrrË DANS LE CAS d'uHE OnDE PLAI 82. Supprimons l'analyseur et faisons passer li travers une lame cristallisée dont les sections soient dirigées suivant Oa;et Oy. Dans ce passage se décompose en deux rayons polansés dans les se cipales, et se propageant avec des vitesses différen qui se recombinent ensuite. Hais, en traversant l< ont subi des retards dilTérents : soient a le retard p posante dirigée suivant Ox, b le retard pour la i dirigée suivant Oy ; A devient Ae*'-'", B devient Bev""'*.
Sl^(modB)) ne changent pas.
D'autre part, nous avons :
A, — V^A, est égal à A ;
It, -{- \j — 18, est l'imaginaire conjuguée de B.
Après le passage à travers la lame, S^ se chan Sj en %'^, de manière que :
5^ | V^S; = 2 AeV~-Be-^"
= S (A, - V'^A,)(B, + v^TÏE = (Sj [ V^!J c^'^^f-*'.
D'où, en égalant les parties réelles :
8^ ^ 53C0s(a — *) — B4Bin [a — b).
La condition trouvée :
devient :
[Bjcos (a — é>) — a^sin (a — ô)]' < 8^8,.
La plus grande valeur que puisse prendre le premier membre est 8§ -J" ^î- Par conséquent, pour une lumière quelconque :
Si la lumière est totalement polarisée dans un plan, nous avons
Ces deux conditions sont incompatibles à moins que
La valeur de la diflérence a — b dépend de la lame que le rayon a traversée. En choisissant convenablement cette lame, on peut donner à l'expression entre crochets, c'est-à-dire à 8'|, sa valeur maximum : 8| -|- 8J. Si donc on a
on peut choisir l'épaisseur de la lame de telle sorte que
Alors après son passage à travers la lame la lumière sera totalement polarisée dans un plan.
On dit qu'avant son passage à travers la lame la lumière était polarisée elliptiquement et que la polarisation était totale.
INTENSITÉ DANS LE CAS d'uNE ONDE PLANE 47
Si les conditions deviennent :
la lumière est polarisée rectiligne, mais partiellement. Elle ne s'éteint pas complètement dans un analyseur, même si avant de passer dans cet analyseur elle a traversé une lame cristalline de quelque épaisseur que ce soit.
on dit encore que la lumière est polarisée elliptiquement, mais partiellement.
La polarisation circulaire est un cas particulier de la polarisation elliptique. Elle est caractérisée quant à la polarisation circulaire totale par les conditions
S^ = O 6^ := 6^ = Sa
et quant à la polarisation circulaire partielle par :
