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DE

DES CORPS. i ' -

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Voici une des questions qui m’ont le plus * souvent occupé, et, si l’on me permet de parler ainsi , une des choses que j’ai le plus désiré de savoir en Dynamique.

. Tout le monde se fait une idée claire du mouvement d’un point, c’est-à-dire, du mouvement d’un corpuscule qu’on suppose infiniment petit, et qu’on réduit en quelque sorte par la pensée à un point mathématique. Car il ne reste plus alors qu’à se représenter la ligne , droite ou courbe, que ce point peut décrire, et la vitesse avec laquelle il se meut suivant cette ligne. Mais s’il s’agit du mouvement d’un corps de grandeur sensible et de Jigure quelconque , il faut convenir qu’on ne s’en fait qu’une idée très obscure.

A la vérité , cette idée parait d’abord s’éclair-

cir, ou se résoudre naturellement en deux autres. En effet, si l’on s’attache à regarder un seul et même point du corps, on peut suivre d’un côté, le mouvement de ce point qui ne peut décrire qu’une certaine ligne dans l’espace ; et de l’autre côté, le mouvement du corps qui ne peut que tourner en même temps sur ce point", comme autour d’un centre fixe. Mais ce second mouvement, c’est-à-dire , celui d’un corps mobile autour d’un point , sur lequel il a la liberté de pirouetter dans tous les sens , ne présente lui-même qu’une idée très obscure.

Ce n’est pas qu’en rapportant les points du corps à des plans, ou objets fixes dans l’espace, on n’ait su trouver ce qu’on appelle les équa- • tions différentielles de ce mouvement , et même qu’on ne soit venu à bout d 'intégrer ces équations, ôu du moins d’en ramener les intégrales aux quadratures , dans le cas simple d’un corps libre de toute action étrangère. Euler et d’ Alembert , a peu près dans le même temps, et par des méthodes différentes, ont les premiers résolu cette importante et difficile question de la Mécanique : et l’on sait que depuis, l’illustre Lagrange a repris de nouveau ce fameux problème, pour l’approfondir et le développer à sa manière , je veux dire , par une suite de formules et de transformations analytiques qui présentent beaucoup d’ordre et de symétrie.

Mais il faut convenir que, dans toutes ces solutions, on ne voit guère que des calculs, sans aucune image nette de la rotation du corps.

On peut bien , par ces calculs, plus ou moins longs et compliqués, parvenir à déterminer le lieu où se trouvera le corps au bout d’un temps donné : mais on ne voit point du tout comment le corps y arrive ; on le perd entièrement de vue; tandis qu’on voudrait l’observer, et le suivre, pour ainsi dire, des yeux dans tout le cours de sa rotation.

Or, c’est cette idée claire du mouvement de rotation que j’ai tâché de découvrir, afin de mettre sous les yeux ce que personne ne s’était encore représenté.

Il en résulte une solution toute nouvelle du problème de la rotation d’un corps abandonné à lui-même, soit qu’il tourne librement sur son centre de gravité, ou surtout autre point fixe autour duquel il serait forcé de se fnouvoir : véritable solution du problème , en ce qu’elle fait image, et qu’on y voit le mouvement du corps avec autant de clarté que le mouvement d’un point. Et si, de cette démonstration géométrique de la rotation des corps, on veut passer au calcul, pour mesurer toutes les différentes propriétés ou affections de ce mouvement, on n’a plus que des formules directes et toujours claires , parce que chacune d’elles n’y est

que l’expression d’un tb e'orème dy nam ique dont ou a l’idée , et qui tend à son objet. Ainsi , notre analyse présente encore cet avantage, que tout s’y exprime et s’y développe par les seules données immédiates du problème , sans aucun mélange de ces angles ou de ces coordonnées étrangères qui ne tiennent point à la nature de la question , et qui ne viennent que de la méthode indirecte qu’on emploie pour la résoudre. Car c’est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches mathématiques :

ces quantités auxiliaires, ces calculs longs et difficiles où l’on se trouve entraîné, y sont presque toujours la preuve que notre esprit n’a point, dès le commencement, considéré les choses en elles-mêmes et d’une vue assez directe, puisqu’il nous faut tant d’artifices et de détours pour y arriver; tandis que tout s’abrége et se simplifie sitôt qu’on se place au vrai point de vue. •

J’ai donc pensé qu’une solution si simple , et si propre à jeter un nouveau jour sur les questions les plus difficiles de la Dynamique, pouvait servir à l’avancement réel de la Science, et méritait ainsi l’attention des géomètres; et c’est cette considération philosophique qui m’a surtout déterminé à composer le nouveau Mémoire que j’ai l’honneur de présenter aujourd’hui à l’Académie.

Je le divise en trois parties principales. Dans la première, je considère le mouvement du corps en lui-même, et les forces qui seraient capables de le produire. Dans la seconde, je donne la solutiou du problème de la rotation des corps libres ; et dans la troisième, je développe les calculs qui se rapportent à cette solution.

Mais, pour donner une idée plus précise de ce travail , je vais exposer, en peu de mots, les notions simples et les premiers principes de notre théqjie nouvelle , et parcourir ensuite les théorèmes les plus remarquables qui en sont l’objet et le résultat.

DO MOUVEMENT DES CORPS CONSIDÉRÉ EN LUI-MÊME ; ET DES FORCES CAPABLES ü’uN MOUVEMENT DONNÉ.

Idée de la rotation simple et de la vitesse angulaire.

Le seul mouvement de rotation*$lont nous ayons une idée claire est celui d’un corps qui tourne sur un axe immobile. Car on voit clairement toutes les circonfe'rences de cercles que les points du corps décrivent autour de cet axe, et qu’ils peuvent réellement décrire ensemble, c’est-à dire , sans que leur disposition mutuelle , ou ce qu’on peut nommer la figure du corps, en soit en rien changée.

Nous avons également une idée nette de la quantité ou de la mesure de cette rotation :

car, comme tous les points décrivent en même temps des arcs semblables , le rapport de la vitesse d’un point , au rayon du cercle qu’il décrit , est le même pour tous les points du corps ; et c’est ce rapport constant qui fait la mesure, ou ce qu’on appelle la vitesse angulaire de la rotation.

Composition des mouvemens de rotation.

De ces notions simples, et des premiers élémens de la Géométrie, on peut conclure que si , par deux causes quelconques, un corps tendait à tournera la fois autour des deux côtés d’un parallélogramme avec deux vitesses angulaires proportionnelles aux longueurs de ces côtés, le corps tourneraitsurladiagonale avec une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur de cette diagonale.

D’où il résulte que des rotations autour de différens axes qui passent en un même point se composent exactement par la même loi que de simples forces appliquées en ce point.

Et cette similitude de composition n’est pas bornée à des rotations dont les axes se croisent en un même point ; mais ce qui est fort remarquable, elle s’étend à des rotations autour d’axes qui seraient situés d’une manière quelconque dans l’espace.

Ainsi, deux rotations autour de deux axes parallèles se composent en une seule , égale à leur somme, autour d’un axe parallèle, et qui divise la distance des deux premiers en raison inverse des deux rotations composantes. Si ces deux rotations sont de sens contraires, la rotation résultante est égale à leur différence, et la

position de son axe se trouve comme s’il s’agissait de deux forces parallèles qui agissent en sens contraires.

Si ces deux rotations parallèles et contraires sont égales, elles ne peuvent jamais se réduire à une seule. Elles forment alors ce qu’on peut nommer un couple de rotations : c’est pour ainsi dire une rotation suî generis , et qui ne peut jamais être ramenée à une rotation simple autour d’aucun axe quel qu’il soit. Et en effet, il est très aisé de voir que le résultat d’un tel couple serait de donner au corps un pur mouvement de translation dans l’espace , suivant une direction perpendiculaire au plan de ce couple , et mesuré par son moment , c’est-à-dire, par le produit d’une des deux rotations multipliées par la distance quisépare leurs axes parallèles. Uncouple de rotations équivaut donc à une simple force qu’on appliquerait au centre de gravité du corps, suivant unedircction perpendiculaire au plan de ce couple, et qu’on prendrait égale à son moment multiplié par la masse du corps.

De tels couples peuvent se transformer en d’autres équivalons, se tourner et se transporter Comme on voudra dans leurs plans, ou dans d’autres plans parallèles, sans que le mouvement du corps en soit changé : ils se composent et se décomposent exactement par la même loi que les couples ordinaires; et on peut leur appliquer.

sans en rien excepter, tous les théorèmes qui leur correspondent.

Du parallélogramme des rotations simples et du parallélogramme des couples de rotations , résulte la composition de tant de rotations qu’on voudra autour d’axes situés d’une manière quelconque dans l’espace ; et cette composition générale est entièrement semblable à celle des forces.

Ainsi, comme tant de forces qu’on voudra se peuvent toujours réduire à une seule passant par un point quelconque donné, et à un seul couple ; de même tant de rotations qu’on voudra , autour de différens axes situés d’une manière quelconque dans l’espace, peuvent toujours se réduire à une seule rotation autour d’un axe passant par un point pris à volonté, et à un seul couple de deux rotations égales et contraires autour de deux axes parallèles entre eux. Et si, comme pour les forces, on veut une réduction où il n’y ait rien d’arbitraire, on pourra toujours choisir le point dont il s’agit, de manière que le plan du couple de rotations soit perpendiculaire à l’axe de la rotation résultante , lequel devient ainsi ce qu’on pourrait nommer Xaxe central des couples de rotations.

Comme un couple de rotations équivaut à une pure translation du corps suivant la direc-

tion de Taxe de ce couple , on voit que tout le mouvement du corps se réduit en dernière analyse à tourner sur un certain axe déterminé, et à couler en même temps le long de cet axe. Ce qui est, comme nous le verrons plus loin, le mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l’espace absolu.

■ Voilà en peu de mots, tout ce qui regarde l’idée de la rotation simple sur un axe, et la composition de semblables rotations autour de differens axes situés d’une manière quelconque dans l’espace. Mais il faut se faire maintenant une idée de la rotation d’un corps autour d’un point sur lequel il semble pirouetter en tous sens.

Idée de la rotation autour d’un point.

Le mouvement d’un corps qui tourne sur un axe immobile étant le seul dont nous ayons une idée claire, c’est donc à cette idée qu’il faut tâcher de réduire celle du mouvement d’un corps qui pirouette d’une manière quelconque autour d’un point fixe.

Or on fait voir que ce mouvement, quel qu’il soit, si on ne le regarde que durant un instant, n’est autre chose qu’une rotation simple autour d’un certain axe passant par le point fixe , et dont la direction reste immobile pen-

dant cet instant. D’où l’on conclut que, dans l’instant suivant, c’est de même une rotation simple , mais autour d’un autre axe ; et ainsi de suite d’un instant à l’autre : de sorte que le mouvement du corps peut être considéré comme une suite de ces rotations simples et dont chacune ne présente à l’esprit qu’une idée nette. C’est ainsi que pour se faire l’idée du mouvement d’un point en ligne courbe , on se représente ce point comme décrivant les côtés successifs d’un polygone infinitésimal inscrit à à cette courbe. Et il en est de X axe instantané de rotation dans le mouvement des corps, comme de la tangente à la courbe dans le

mouvement du point qui la décrit.

Image sensible de cette rotation.

Quoique l’analyse précédente soit exacte, et que je me sois efforcé de la rendre claire , il me semble que l’idée d’un corps tournantsur un axe qui varie sans cesse, est encore un peu obscure ; je veux dire qu’on ne voit pas bien ce qui arrive au corps , et qu’on a de la peine à le suivre dans cette espèce de rotation changeante. Il faut donc tâcher d’éclaircir encore cette idée, et de présenter à l’esprit quelque image plus nette et plus sensible.

Or, je fais voir de la manière la plus simple, que la rotation d'un corps sur un axe qui

varie sans cesse de position autour d’un même point fixe , n’est autre chose que le mouvement d’un certain cône , dont le sommet est en ce point, et qui roule actuellement , sans glisser , sur la surface d’un autre cône fixe de même sommet.

Je veux dire que le cône mobile, consi- .

déré comme attaché au corps et l’entraînant avec soi , s’il vient à rouler sur l’autre cône qui est fixe dans l’espace absolu, fera décrire à ce corps le mouvement précis dont on le suppose animé. Que la ligne de contact de ces deux cônes sera à chaque instant l’axe autour duquel le corps tourne dans cet instant, ou ce que l’on appellelVz.re instantané; d’où l’on voitcomment cet axe est à la fois mobile dans le coj-ps et dans l’espace absolu, décrivant dans l’espace la surface du cône fixe, et dans l’intérieur du corps, la surface du cône mobile dont on vient de parler.

Tel est , je crois, le plus haut point de clarté où l’on puisse porter l’idée si complexe et si obscure du mouvement d’un corps qui tourne d’une manière quelconque autour d’un centre fixe. Il n’y a point de mouvementde cette nature qu’on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de même sommet; de sorte que si l’on imagine tous les cônes possibles qu’on ferait ainsi rouler l’un sur l’autre , on a l’image fidèle de tous les

mouveniens possibles dont un corps soit.capable autour d’un point sur lequel il a la liberté de pirouetter en tous sens.

Et même, s’il s’agissait d’un mouvement de rotation qui fût discontinu, c’est-à-dire, où l’axe de rotation, au lieu de varier de position par degrés insensibles, sauterait brusquement d’une position à la suivante par un angle fini, on pourrait également imiter le mouvement du corps en prenant, au lieu de deux cônes, deux pyramides de même sommet, et de faces respectivement égales, et faisant rouler l’une sur l’autre, de manière que la pyramide mobile, tournant sur la commune arête, vint appliquer, l’une après l’autre, toutes ses differentes faces sur les faces respectivement égales de la pyramide fixe.

Si le mouvement du corps est donné , il est clair que ces deux cônes , ou pyramides , sont aussi donnés, aussi bien que la vitesse angulaire de rotation sur la ligne de contact, et par conséquent , la vitesse avec laquelle l’axe instantané trace à la fois les deux surfaces. Et réciproquement, si de ces différentes choses qu’on peut considérer dans l’étude de ce mouvement , trois quelconques sont connues , on peut dire gue la quatrième l’est aussi , et le mouvement du corps entièrement déterminé.

Ainsi , la Terre tourne en un jour sur son

axe, tandis que cet axe décrit, en sens contraire, un cône droit autour de l’axe de l’écliptique, et avec une vitesse mesurée par le mouvement rétrograde des équinoxes , et qui est d’environ quarante-deux tierces centésimales par jour; on peut donc déterminer dans la Terre le cône qui roulant sur le premier, et dans l’intérieur de sa surface, ferait décrire à la Terre le mouvement précis qu’on y observe. Et il est facile de voir que, sur le globe, la circonférence du cercle qui sert de base à ce petit cône mobile, est à celle du cercle qui sert de base au cône fixe , comme ujj jour est au temps de la révolution complète des équinoxes : ce qui ne donne que quelques pieds de longueur (i) à la petite circonférence que le pôle instantané de rotation de la Terre décrit chaque jour à sa sur-» face..( Tout ceci dans l’hypothèse d’une précession diurne uniforme. ) . «

Idée du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l’espace absolu.

De l’idée simple d’un pur mouvement de translation qui emporte à chaque instant toutes les molécules égales du corps par de petites lignes égales et parallèles dans l'espace, et de l’idée simple de la rotation du drops autour

(i) 5 pieds a pouces environ.

d’un axe qui reste immobile pendant cet instant, résulte l’idée complexe du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l’espace absolu. Il n’y a rien de plus clair que cette résolution d’un mouvement quelconque en deux autres que l’on conçoit parfaitement, et qu’on peut même considérer à part , parce qu’ils sont tels que si, à chaque instant, on les exécutait l’un après l’autre, on amènerait chaque point du corps au même lieu où il arrive par son mouvement naturel au bout de l’instant que l’on considère.

Mais on pourrait être curieux de se faire une image de ce mouvement réel et unique qui anime le corps , afin de voir en quelque sorte la nature des courbes simultanées que les dif— férens points décrivent, et peuvent réellement décrire ensemble sans que la figure du corps en soit changée.

Or, puisqu’un mouvement de translation peut toujours être considéré comme un couple de rotations égales parallèles et contraires, il s’ensuit que le mouvement d’un corps, quel qu’il soit, peut toujours être réduit à une simple rotation autour d’un axe passant par un point pris à volonté dans l’espace, et à un certain couple de rotations dont le plan sera généralement incliné à cet axe. Mais au lieu de prendre le point à volonté, on peut toujours le

choisir de manière que le plan du couple soit perpendiculaire à la direction de l’axe de la rotation simple ; et alors tout le mouvement est réduit à une rotation sur un certain axe déterminé et à une translation le long de cet axe. D’où il résulte que ce mouvement est exactement le même que celui d’une vis qui tourne dans son écrou. Tous les points du corps décrivent donc, sur des cylindres concentriques, de petits arcs d ’ hélices qui ont toutes le même pas. Dans l’instant suivant, c’est une autre vis, d’un autre axe et d’un pas différent; et ainsi de suite : d’où l’on voit comment se forment les courbes simultanées que tous ces points décrivent dans l’espace, et le long desquelles ils se meuvent comme dans autant de canaux curvilignes où ils seraient enfermés.

Quelquefois le pas de cette vis est nul , et alors tout le mouvement se réduit à une simple rotation autour de l’axe de cette vis, lequel devient ce qu’on appelle un axe spontané de rotation.

Mais, *gn général , le pas de la vis n’est pas nul, et il n’y a point d’axe spontané proprement dit : c’est-à-dire que dans le corps il n’y a pas de ligne droite dont tous les points demeurent immobiles pendant un instant. Mais il y a toujours ce qu’on pourrait nommer un axe spontané glissant; c’est-à-dire, une suite

de points, tombant en ligne droite, qui n’ont d’autre mouvement qu’une simple translation le long de cette droite.

Telles sont les notions les plus simples et les images les plus claires qu’on puisse se former du mouvement des corps. Le pur mouvement de translation, et le pur mouvement de rotation sur un axe, se conçoivent d’eux-mêmes.

Un mouvement quelconque se peut toujours réduire, et cela d’une infinité de manières, à deux pareils mouvemens. Or, parmi cette infinité de réductions, il y en a toujours une qui nous présente l’axe de la rotation dans la direction même de la translation : de sorte que le mouvement le plus général d’un corps est , comme on l’a dit , celui dune certaine vis qui tourne actuellement dans son écrou.

Après avoir considéré le mouvement des corps en lui-même, et sous un point de vue purement géométrique, je vais chercher les forces capables de le produire, afin de voir réciproquement quel est le mouvement que doit prendre un corps en vertu de forces quelconques données; ce qui est le problème naturel de la Dynamique.

Des forces capables dun mouvement donné.

Quel que soit le mouvement d'un corps, il existe toujoursdes forces capablesde le produire.

Car, dans ic mouvement du corps, on peut considérer chaque molécule comme si elle était en repos, mais animée par une force capable de lui donner la vitesse actuelle qu’on lui suppose. Donc l’infinité des forces semblables, appliquées individuellement à toutes les molécules égales du corps , sont capables d’y produire le mouvement qu’on y observe ; et cela même d’une manière spontanée , je veux dire quand bien même ces molécules ne seraient pas liées entre elles, et par conséquent sans exciter, dansles liens qui les unissent, aucune trac 1 tion brusque qui tendit à les rompre.

Telles sont les forces élémentaires capables d’un mouvement donné sur un système de molécules libres/ ou liées entre elles comme on voudra.

Mais si ces molécules forment , comme je le suppose ici , un système invariable de figure, il est permis de composer entre elles toutes ces forces élémentaires , et de les remplacer ainsi par une seule force et un seul couple, lesquels seront également capables du mouvement donné sur le corps solide dont il s’agit.

Voyons donc quelle est cette force et quel est ce couple dont l’ensemble répond à un mouvement donné.

Et d’abord , si le corps n’a dans l’espace qu’un pur mouvement de translation , de manière que

toutes les molécules égales aient des vitesses égales, parallèles et de même sens, il est manifeste que toutes les forces élémentaires capables de produire ces vitesses, sont aussi égales , parallèles et de même sens , et par conséquent réductibles à une seule force parallèle et de même sens, égale à leur somme, et qui passe par le centre de gravité du corps. D’où l’on voit., réciproquement, que V effet dune force quelconque appliquée comme on voudra au centre de gravité d’un corps , est den transporter toutes les parties dans sa propre direction , et avec une vitesse mesurée par la grandeur de cette force divisée par la masse entière du corps. Ce qui est , pour ainsi dire , évident de soi-même.

En second lieu, si le corps n’a qu’un pur mouvement de rotation sur un axe quelconque, il est évident que les vitesses et par conséquent les forces dont les molécules sont individuellement animées, sont toutes proportionnelles aux distauces des molécules à cet axe, et de directions tout-à-la-fois perpendiculaires à ces distances et à l’axe dont il s’agit. Or ces forces élémentaires sont toujours réductibles à une seule et à un couple. Mais si l’axe passe par le centre de gravité du corps, la force est nulle, et tout se réduit à un couple, dont le plan est en général incliné à cet axe. Si de plus l’axe

est un de ces trois axes rectangulaires qui existent dans lous les corps, et qu’on appelle les trois axes principaux , on trouve que le couple est perpendiculaire à cet axe, et qu’il a pour mesure le produit de la vitesse angulaire par le moment d’inertie du corps autour de cet axe principal. D’où l'on conclut réciproquement , que l’effet d’un couple appliqué sur un corps dans un plan perpendiculaire à l’un de ses trois axes principaux , est de faire tourner le corps sur cet axe lui-même , avec une vitesse angulaire égale au moment du couple divisé par le moment d’inertie du corps autour de cet axe. Or, ce seul théorème particulier donne surle-champ l’effet d’un couple appliqué sur un corps dans tel plan qu’on voudra.

Et en effet quel que soit ce couple, on peut toujours le décomposer en trois autres respectivement perpendiculaires aux trois axes principaux du corps : ■et divisant chacun d’eux par. le moment d’inertie relatif à son axe, on aura les trois vitesses angulaires respectives avec lesquelles ces trois couples tendraient à faire tourner sur leurs axes. Si donc, à partir du centre, on porte sur ces directions trois lignes pour représenter à la fois les axes et les grandeurs de ces trois rotations, et qu’on achève le parallélépipède, on aura , dans la diagonale, l’axe et la grandeur de la rotation à laquelle

le couple proposé donne naissance au premier instant; ce qui est, comme on le voit, de la plus grande simplicité.

Du mouvement que prend un corps en vertu de forces quelconques données.

Quelles que soient ces forces, on peut toujours les réduire à une seule passant par le centre de gravité du corps , et à un seul couple. Or, l’effet de la force est un pur mouvement de translation suivant la direction même de cette force, et l’effet du couple est d’imprimer au corps une rotation autour d’un certain axe, passant par le centre de gravité, et dont la direction est déterminée par ce qu’on vient de dire tout à l’heure.

Mais on peut avoir une expression bien plus claire de ce qui regarde la direction que prend l’axe instantané par rapport au plan du couple qui lui donne naissance ; et c’est ce que l’on va voir dans l’article suivant.

De l’ellipsoïde central des corps. '

Si l’on observe que les trois composantes du couple proposé donnent trois rotations qui sont proportionnelles à ces couples et réciproques aux momens d’inertie autour des trois axes, on reconnaît par la Géométrie , que l’axe de la rotation résultante se dirige suivant le diamètre qui

serait conjugué au plan du couple dans un ellipsoïde dont les axes seraient de longueurs réciproques aux racines carrées des momens d’inertie du corps autour des mêmes axes.

J’imagine donc qu’autour du ceutre de gravité du cor^s, etsur les direction s de ses trois axes principaux , on construise un ellipsoïde avec des axes dont les carrés soient réciproques aux trois momens d inertie du corps autour des mêmes axes : et j’observe en passant que cet el* lipsoïde jouira, dans toute son étendue, de cette propriété remarquable, que le moment d’inertie du corps autour de l’un quelconque de ses diamètres y sera réciproque au carré de la longueur de ce diamètre.

Or, quelles que soient la figure et la constitution d’un corps , il y a toujours dans ce corps un centre de gravité et trois axes principaux aussi nettement déterminés que dans le corps le plus homogène et le plus régulier. On peut donc toujours y concevoir décrit un ellipsoïde tel que je viens de le définir, et qui a ce triple avantage , de mettre à la fois sous nos yeux le centre et les axes principaux du corps j de nous donner tous les momens d’inertie qu’on pourrait avoir à considérer, en montrant chacun d’eux , autour d’un axe ou diamètre quelconque , comme exprimé par une même fonction simple de

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la longueur de ce diamètre ; et enfin de nous offrir une expression facile de ce qui regarde la position de l’axe instantané , par rapport à celle du couple d’impulsion. 0r> c’est cet ellipsoïde, dpnt la considération va jeter le plus grand jour sur la théorie de la rotation des corps, que je nommerai désormais Y ellipsoïde central. ,

Expression claire du mouvement que prend un corps en vertu d'un couple quelconque.

Supposons qu’un corps en repos soit frappé par un couple dans un plan quelconque, mené par le centre de gravité, et qu’on peut regarder comme un plan diamétral de l’ellipsoïde central du corps : on vient de voir que l’axe instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance n’est autre chose que le diamètre conjugué au plan de ce couple dans l’ellipsoïde que l’on considère; et il est clair d’ailleurs que la vitesse angulaire sera mesurée par le moment du couple estimé perpendiculairement à ce diamètre, et divisé par le moment d’inertie du corps autour du même diamètre.

Comme un couple peut toujours être transporté dans un plan quelconque parallèle au sien , sans que soji effet sur le corps en soit changé , o,n peut toujours supposer que le

plan du couple d’impulsion, au lieu d’étre ; conduit par le centre , soit mené tangent à la surface de notre ellipsoïde; et alors on peut dire : *

Que si un corps est frappé par un couple situé dans un plan quelconque tangent à l’ellipsoïde ç entrai de ce corps , le pôle instantané de la rotation, à laquelle ce couple donne naissance , est précisément au point de contact.

Et réciproquement, que si un corps tourne sur un diamètre quelconque de son ellipsoïde central } le couple actuel qui l’anime est dans le plan tangent au pôle.

Ce qui nous parait un des théorèmes les plus simples qu’on puisse offrir en Dynamique sur la théorie si difficile et si obscure de la rotation des corps.

On voit toutes les conséquences claires et faciles qui découlent de cette élégante proposition : mais je ne veux point ici m’y arrêter; il faut que j’avance, et que, par le seul raisonnement, j’arrive de suite à la solution complète du problème qu’on se propose : car il ne s’agit pas seulement de déterminer la rotation du corps au premier instant, mais de voir encore comment cette rotation change d’un instant à l’autre, et de peindre, pour ainsi dire, le mouvement du corps dans toute la suite de son cours. •