DÉVELOPPEMENT DE LA SOLDTJON

Des deux courbes décrites par le pôle instant tané de rotation.

Dans cette image si claire que nous avons donnée de la rotation des corps , on voit surle-champ toutes les circonstances et toutes les variétés que ce mouvement peut offrir, et l’on est conduit, comme par la main, aux opérations et aux calculs qu’il faut faire , si l’on veut en mesurer toutes les différentes affections.

Et d’abord, cette suite de points par lesquels l’ellipsoïde central du corps vient se mettre en contact avec le plan fixe du couple d’impulsion, étant considérée sur la surface de l’ellipsoïde, y marque la route du pôle instantané dans l’intérieur du corps ; et ces mêmes points étant considérés sur le plan fixe, y marquent sa route dans l’espace absolu. On peut donc détermi-

lier sur-le-champ ces deux lignes courbes, et les considérer comme les bases de deux surfaces coniques de même sommet, dont l’une, mobile avec le corps, roulant sur l’autre qui est fixe dans l’espace absolu , donnerait à ce corps le mouvement précis qui l’anime.

Pour trouver la première courbe , il n’y a donc qu’à chercher la suite des points où l’ellipsoïde serait touché par un plan mobile qui resterait toujours à la même distance du centre de cet ellipsoïde; ou, ce qui est la même chose, qui toucherait à la fois cet ellipsoïde et une sphère concentrique d’un rayon égal à la distance donnée.

Tandis que ce plan trace sur l’ellipsoïde ia route du pôle instantané, on pourrait remarquer qu’il trace sur la sphère la route que le pôle du couple, qui est fixe dans l’es- 1 pace, parait décrire dans l’intérieur du mobile ; c’est une autre courbe du même genre et que nous aurons aussi l’occasion de considérer.

Mais , pour ne parler ici que de la première, on voit donc que cette courbe est un orbe fermé , à double courbure , qui a comme l’ellipse, quatre sommets principaux où elle est divisée en quatre partieségales et symétriques : espèce de roue elliptique, dont l’axe ou Y essieu est toujours, ou le rayon majeur, ou le rayon mineur de l’ellipsoïde central , selon que le

rayon de la sphère est donné plus grand ou plus petit que le rayon moyen de cet ellipsoïde. Cet orbe à double courbure se projette en une ellipse entière sur le plan perpendiculaire à celui des deux axes qui lui sert d’essieu ; en un arc d’ellipse, sur l’autre plan ; et toujours en un arc d’hyperbole , sur le plan perpendiculaire à Yaxe moyen.

Les quatre sommets de cet orbe sont les points où le rayon vecteur, et par conséquent la vitesse angulaire de rotation , atteint ses valeurs maxitna ou minima ; et l’on peut remarquer que le maximum a toujours lieu quand le pôle instantané passe aux deux sommets qui tombent dans le plan principal moyen de l’ellipsoïde ; et le minimum, quand il passe aux deux autres sommets de la courbe.

Le seconde courbe, pouvant être considérée comme tracée par celle-ci qu’on ferait rouler, autour du centre, sur le plan fixe du couple, est donc une courbe plane, qui circule autour de la projection de ce centre, en formant des ondes égales et régulières , correspondantes aux arcs égaux et symétriques de l’orbite roulante qui la produit : c’est une espèce de courbe circulaire , mais d’un rayon variable et périodique, et qui serpente ainsi à l’infini entre deux cercles concentriques dont elle va toucher alternativement l’une et l’autre circonférence.

Si l’angle au centre , qui répond à deux sommets consécutifs de ces ondes équidistantes , est commensurable avec quatre angles droits, la courbe se ferme après un certain nombre de révolutions; et le pâle instantané qui la déprit revient au même lieu et dans le corps et dans l’espace tout-à-la-fois. Mais dans le cas contraire, la courbe ne se ferme point, 'et le pôle, qui revient toujours périodiquement au même lieu dans le corps, ne peut jamais revenir en même temps au même lieu dans l’espace.

Telles sont les dpux courbes décrites par le pôle instantané, l'une dans l’intérieur dq corps, et l’autre dans l’espace absolu. Et quoique ces courbes soient de formes si différentes, comme c’est un seul et même point qui décrit à la fois l’une et l'autre, leurs équations prises entre le rayon vecteur et la longueur de l’arc décrit, sont exactement une seule et même équation.

Le cône roulant , à la surface duquel la première courbe sert de base , est simplement un cône droit du second degré; mais le cône fixe sur lequel il roule est un cône transcendant dont la surface ondule à l’infini autour de l’axe fixe du couple : c’est aussi une espèce de cône droit et circulaire, mais dont la suéface serait, pour ainsi dire, cannelée suivant le contour régulièrement ondulé de la courbe qui lui sert de base.

Des noms qu’on pourrait donner à ces deux » •* courbes.

On sait qu’un corps pesant, projeté comme • on voudra dans l’espace, tourne sur son centre de gravité, exactement de la même manière que s’il était libre de toute pesanteur. On voit donc que les courbes remarquables dont il ' s’agit, sont deux courbes que la nature nous offre à chaque instant dans le mouvement des projectiles, et qu’ainsi chacune d’elles mériterait d’avoir un nom , aussi bien que la courbe qui est décrite par le centre de gravité, et qu’on appelle la parabole.

Je proposerais donc de donner à ces deux courbes le nom de Poloïdes , en appelant la première, qui est décrite dans l’intérieur du corps, la poloïde relative ; et la seconde qui est décrite dans l’espace , la poloïde absolue : ou , si l’on aimait mieux les distinguer par leur forme particulière, on donnerait à la première courbe , qui est un orbe elliptique et fermé , le simple nom de poloïde; et à l’autre qui est plane et ondulée, celui de serpoloïde, afin de rappeler, avec l’idée du pôle qui la décrit , la propriété qu’elle a de serpenter en circulant autour d’un même centre fixe.

Variétés que ces deux courbes peuvent offrir dans certains eas particuliers.

Ces deux courbes ne dépendent , comme on voit, que de quatre données, savoir : les trois demi-axes ou rayons principaux de l’ellipsoïde central, lesquels sont totfjours donnés par la nature du corps; et ensuite la hauteur du centre au-dessus du plan langent du couple , laquelle est donnée par la direction du couple d’impulsion.

Cas singulier où lapoloïde devient une ellipse, et la serpoloïde. une spirale.

Dans le cas singulier où cette hauteur serait donnée précisément égale à la longueur du rayon moyen de l’ellipsoïde , la poloïde devient une ellipse dont le plan passe par ce rayon moyen ; et alors la serpoloïde devient une spirale , laquelle , considérée dans toute son étendue, est en quelque sorte une spirale double; je veux dire quelle a un sommet, à gauche et à droite duquel elle jete deux branches égales qui vont en sens contraires tourner en spirales autour d’un même centre fixe : centre dont elles s'approchent sans cesse , et de plus près que tout

ce qu’on voudra, comme d’un point asymptotique qu’elles ne peuvent jamais atteindre Dans ce cas singulier du mouvement des corps, le pôle instantané de la rotation est donc un point toujours nouveau et dans le corps et dans l’espace absolu , quoique la longueur de la spirale décrite soit finie et tout au plus égale à la demi-circonférence de l’ellipse roulante qui la produit.

Cas particuliers où elles se réduisent à an point.

Si la distance du centre au plan tangent est donnée égale à l’un des deux rayons extrêmes de l’ellipsoïde ; comme cela ne peut arriver qu’en un seul point de la surface, la poloïde et la serpoloïde se réduisent toutes deux à un seul et même point, et le pôle instantané reste immobile et dans le corps et dans l’espace pendant tout le cours du mouvement ; et la même chose aurait encore lieu dans un cas unique (appartenant au cas singulier qui précède), celui où le plan du couple serait donné tangent au point précis qui fait le pôle moyen de l’ellipsoïde central du corps.

Cas particulier relatif à l’espèce du corps, et où

les deux courbes deviennent des cercles.

Enfin , si le corps est de l’espèce de ceux qui ont deux de leurs momens principaux d’inertie égaux entre eux, auquel cas l’ellipsoïde central est de révolution, la poloïde devient un cercle autour de l’axe de ce sphéroïde, et la serpoloïde est un autre cerc/eautourdel’axe fixedu couple. Dans tous les corps de cette espèce, le mouvement est celui d’un cône droit à base circulaire qui roule uniformément sur un autre cône fixe également droitet circulaire. C’est un des cas les plus simples dumouvemeutde rotation, mais où il faut pourtant remarquer que, si les deux circonférences des cercles dont il s’agit ne sont point commensurables entre elles , ce qui arrive le plus généralement, le pôle instantané ne peut jamais revenir en un point qui tombe à la fois au même lieu dans le corps et au même lieu dans l’espace absolu.

II est inutile de parler du cas le plus simple de tous , de celui où l'ellipsoïde central du corps est une sphère parfaite : car, de quelque manière que le couple soit appliqué, l’axe de la rotation et l’axe du couple se confondent , et le pôle instantané reste immobile dans le corps et dans l’espace absolu.

Vitesses du pôle , soit pour décrire ces deux courbes , soit pour s’approcher ou s’éloigner du centre, soit pour circuler autour de l’axe fixe du couple , etc.

Après avoir examiné la nature de ces deux courbes décrites par le pôle, et dont l’équation différentielle est la même entre l’arc et le rayon vecteur émané du centre de l'ellipsoïde, on peut considérer la vitesse avec laquelle ce pôle instantané décrit à la fois l’une et l’autre ; la vitesse qu’il a pour s’éloigner ou se rapprocher du centre , ce qui est la fluxion du rayon vecteur, et par conséquent de la vitesse angulaire de rotation ; on peut chercher le mouvement angulaire du pôle autour de l’axe fixe du couple d’impulsion. Il est donc facile de déterminer les points remarquables où ces différentes vitesses passent à leur maximum ou minimum ; ce qui arrive aux sommets alternatifs des ondes de la serpoloïde. Mais on pourra faire une remarque curieuse sur la vitesse du pôle le long de cette courbe ; c’est que, dans certains cas, elle peut être un minimum au sommet supérieur de l’onde , et encore un minimum au sommet inférieur ; et par conséquent elle a un maximum dans un troisième point intermédiaire , ce qui n’a pas lieu pour les autres vitesses , qui n’ont

de maximum ou de minimum qu’aux sommets de la courbe décrite par le pôle.

On pourra simplifier ensuite l’équation de la serpoloïde , en la rapportant à un rayon vecteur émané de son propre centre pris dans le plan même de la courbe, et à l’angle que ce rayon décrit autour du même centre, etc., etc. Et toutes ces expressions n’auront aucune difficulté.

Détermination du lieu du corps au bout d’un temps donné.

Enfin , si l’on veut trouver les formules par lesquelles on puisse calculer le lieu du corps au bout d’un temps donné, on commencera par déterminer la vitesse angulaire de rotation en fonction du temps, ce qui se fera par une première intégration, et donnera le lieu du pôle instantané à la surface de l'ellipsoïde central. Ensuite on intégrera l’équation précédente de la serpoloïde, ce qui donnera le lieu du pôle sur le plan fixe du couple. Et par ces deux quadratures , qui se rapportent naturellement aux transcendantes elliptiques , on pourra dire que le problème proposé est entièrement résolu j je veux dire qu’on sera en état d’assigner actuellement le lieu de l’espace oit doit se trouver le corps au bout d’un temps quelconque donné. En effet, on n’aura qu’à supposer Tel-

iip 90 Ïde mis eu contact avec le plan fixe , de manière qu’il touche par le point qu’on vient de déterminer à sa surface , et au poiut qu’on vient de déterminer sur le plan dont il s’agit ; et par cette operation , l’ellipsoïde central , et par conséquent le corps lui-même , se trouvera posé dans le lieu précis de l’espace où il arrive par son mouvement naturel au bout du temps donné.

On peut varier ces déterminations de plusieurs manières, en prenant d’autres inconnues relatives à la position du corps ; mais quelles que soient les coordonnées qu’on emploie, l’expression de ces quantités en fonction du temps, demandera toujours deux intégrations qui dépendent essentiellement des transcendantes elliptiques.

Dans le cas singulier où la hauteur du centre au-dessus du plan fixe, est égale au rayon moyen de l’ellipsoïde, et où par conséquent la poloïde devient une simple ellipse , et la serpoloïde une spirale, la difficulté s’abaisse ; tout se réduit aux règles ordinaires, et ne dépend que des exponentielles ou des logarithmes.

Enfin, pour tous les corps où l’ellipsoïde central est de révolution , et où par conséquent Août devient uniforme et circulaire, on n’a besoin d’aucune intégration pour déterminer le beu du corps au bout d’un temps donné.

Propriétés des trois axes principaux du corps, relatives à la stabilité de la rotation.

Quand le plan du couple d’impulsion est tel que le pôle instautané tombe sur l’un des pôles principaux de l’ellipsoïde central , il y reste toujours ; de manière que l’axe instantané, l’axe du corps et celui du couple ne cessent de se confondre en une seule et même droite immobile dans tout le cours du mouvement. lies axes principaux du corps sont donc tous trois des axes permanens de rotation.

Mais il y a entre eux , comme on le sait, une différence remarquable sous le point de vue de la stabilité que chacun de ces axes peut offrir dans la rotation du corps.

Si le pôle instantané tombe actuellement au pôle majeur , ou au pôle mineur de l’ellipsoïde, et que par l’impulsion de quelque petit couple étranger, il vienne à en être écarté à une petite distance, il ne s’en éloignera guère davantage, parce qu’il décrira sa poloide autourde ce pôle même du corps d’où il a été écarté. Mais il n’en est pas de même quand le pôle instantané tombe au pôle moyen de l’ellipsoïde; car , pour peu que l’on dérange , il s’en éloignera davantage, s’en allant alors décrire sa poloïde , soit autour du pôle majeur, soit autour du pôlemi-

neur, selon que ce dérangement accidentel du pôle instantané aura fait augmenter ou diminuer la distance du plan tangent du couple au centre de l’ellipsoïde. Et si ce dérangemeut est tel que cette distance n’ait pas variée ce qui arrive à la surface le long de deux ellipses singulières qui se croisent au pôle moyen , le pôle instantané ira décrire l’ellipse singulière sur laquelle on l’aura porté, ou plutôt la moitié de cette ellipse, pour aller retomber sur le pôle moyen oppose' de l’ellipsoïde , ce qui est le plus grand dérangement qui puisse arriver au corps : ou bien , si le pôle instantané était porté sur l’autre moitié de la même ellipse , il reviendrait aussitôt au pôle moyen d’où il est parti ; ce qui est le plus petit dérangement possible de la rotation du corps. Il y a donc ici un cas unique où l’axe instantané de rotation étant écarté de l’axe moyen , où il était d’abord, non-seulement ne s’en éloigne pas davantage, mais même s’en rapproche aussitôt, et de plus près que tout ce qu’on voudra. Mais, dans tous les autres cas, il va décrire un cône elliptique , soit autour de l’axe majeur, soit autour de l’axe mineur, ou tracer le plan de l’une ou de l’autre des deux ellipses singulières dont j’ai parlé : et l’on peut dire que la rotation du corps autour de son axe moyen n’a point de stabilité.

La rotation n’est donc stable qu’autour de

l’axe du plus grand, ou du plus petit moment d’inerrie du corps : mais il n’en faut pas conclure qu’elle soit également stable pour ces deux axes; car, si lun d’eux .diffère peu de l’axe moyen , il n’aura guère plus de stabilité que l’axe moyen lui-même, comme on va le voir tout à l’heure.

De ce qui fait la mesure de la stabilité pour chacun des deux axes extrêmes de l’ellipsoïde central.

Pour se faire une idée nette de cette stabilité, et de ce qui en fait en quelque sorte la mesure pour chacun de ces deux axes, imaginez la surface de l’ellipsoïde comme coupée en quatre parties ou> fuseaux elliptiques par les deux ellipses que j’ai considérées et dont les plans se coupent suivant l’axe moyen. Le pôle moyen est donc à l’intersection de ces deux ellipses; le pôle majeur est au centre de l’un des deux fuseaux, et le pôle mineur au centre du fuseau supplémentaire.

Or, en premier lieu, si le pôle instantané de la rotation tombe au pôle moyen de l’ellipsoïde, il est clair que, pour peu qu’on le déplace, il va tomber dans l’un ou l’autre des deux fuseaux dont il s’agit, et décrire son orbe ou sa poloïde

autour de l’un ou de l’autre pôlé principal de l’ellipsoïde : ou bien , si on le déplacé sur une des deux ellipses mêmes, il va décrire la moitié de cetteellipse pour retomber su rie pôle moyen opposé ; ou, s’il est porté sur l’autre moitié de la même ellipse, il revient aussitôt au pôle moyen même d’où on l’a écarté. D’où il résulte, comme on la dit ci-dessus, que, hors de ce cas unique de déplacement, l’axe moyen du corps n’a aucune stabilité.

Actuellement, si le pôle instantané tombe sur le pôle majeur de l’ellipsoïde, il peut être déplacé, comme on voudra , dans toute l’étendue du fuseau environnant , sans cesser de décrire sa poloïde autour du même pôle majeur:

et si c’est en cela qu’on fait consister la stabir lité de l’axe majeur, on peut dire que la grandeur de ce fuseau en est en quelque sorte la mesure. Et l’on voit de même que l’étendue du fuseau supplémentaire est la mesure de la stabilité de la rotation autour de l’axe mineur. Or, si l’un de ces deux axes diffère peu de l’axe moyen, le fuseau qui lui répond est très petit, et le fuseau supplémentaire est très grand. L’axe peu différent de l’axe moyen a donc très peu de Stabilité , et l’autre axe en a beaucoup. Il n’est donc point exact de dire, comme on le fait d’ordinaire , que si l’axe instantané est un peu écarté de l’axe principal qui répond au plus

petit , ou au plus grand moment d’inertie du corps , il s’en éloigne très peu et ne fait que de petites oscillations pendant toute la durée du mouvement : car si le moment d’inertie relatif à cet axe diffère peu du moment moyen , le pôle instantané , par un petit dérangement , peut sortir du petit fuseau où il est actuellement , pour tomber dans le fuseau voisin et y aller décrire sa poloïde autour de l’autre axe ; ou même , s’il n’est déplacé que dans l’intérieur du petit fuseau qui lui répond , il peut y décrire une poloïde étroite et fort allongée, et par conséquent faire de très grandes oscillations autour du pôle principal d’où on l’a écarté.

Dans les corps où l’un des momens extrêmes d’inertie diffère peu du moment moyen , et par conséquent où l’ellipsoïde central du corps est presque de révolution autour de l’un de ses axes, la stabilité de la rotation n’est donc vraiment a ;surée que pour cet axe. C’est le cas de la Terre, dont la rotation est très stable autour de son axe actuel , et le serait très peu autour du troisième axe qui , comme on le sait , diffère très peu de l’axe moyen.

Mouvemens des axes principaux du corps dans l’espace absolu.

Nous avons considéré le mouvement du pôle instantané de rotation , et dans le corps et

dans l’espace : mais on pourrait demander quels sont les mouyemens des pôles mêmes de l’ellipsoïde central ; leurs vitesses pour • circuler autour de l’axe fixe du couple d’impulsion , pour s’abaisser ou se relever sur le plan perpendiculaire à cet axe , ce qui donne leurs mouvemens de précession et de nutation : on peut examiner la nature et les propriétés des trois courbes, ou serpoloïdes , que les projections de ces trois pôles principaux tracent en même temps sur le plan fixe, etc., etc. : et l’on trouvera de la manière la plus facile beaucoup de propriétés curieuses sur le mouvement des corps.

Et , par exemple, Je suppose qu 3 on prenne sur les trois axes principaux du corps, et à partir du centre , trois lignes de même longueur; si, pendant le mouvement du corps , on regarde les trois secteurs que leurs projections décrivent sur le plan du couple , on trouvera que la somme de ces trois aires variables est proportionnelle au temps.

Que si, au lieu de prendre , sur les axes principaux , trois lignes égales , on prend trois lignes proportionnelles aux racines carrées des momens d’inertie , ou à ce que je nomme les bras de l’inertie du corps autour des mêmes axes, on trouvera que la somme des aires tracées par les projections de ces lignes

inégales est aussi proportionnelle au temps.

Théorèmes simples et en quelque sorte géométriques, qu’il faut distinguer du théorèmedynamique sur les aires tracées par tous les rayons vecteurs menés aux molécules du corps , quoiqu’il soit facile de rapprocher ces expressions qui viennent au fond du même principe.

On trouvera des théorèmes analogues relatifs aux mouvemens de nutation des trois axes principaux du corps, vers le plan fixe du couple d’impulsion. Et en effet, si l’on considère les trois pôles principaux de V ellipsoïde central, on verra que la somme des carrés de leurs distances à l’axe du couple est constante :

Et que , la somme de ces carrés multipliés respectivement par les momens d’inertie du corps , est aussi constante dans tout le cours du mouvement. *

Enfin, si l’on considère les courbes décrites par les projections de ces pôles sur le même plan fixe, on verra que ces courbes sont du même genre que la serpoloïde décrite par le pôle instantané de rotation.

Dans le cas général, celui des deux pôles, majeur ou mineur, qui fait le centre de la poloïde , décrit une courbe qui forme , comme la serpoloïde, des ondes égales et régulières autour du même centre ; les sommets supérieurs de l’une répondent aux sommets supérieurs de

l’autre, et les inferieurs aux inférieurs. Pendant ce temps les deux autres pôles décrivent aussi des courbes régulièrement ondulées: mais quand l’un passe aux sommets supérieurs de sa courbe, l’autre passe aux sommets inférieurs delà sienne; et cela, à un angle droit de distance l’un de l’autre.

Dans le cas singulier où la poloïde est une ellipse et la serpoloïde une spirale, le pôle moyen du corps décrit aussi une spirale qui va sans cesse en se rapprochant du centre, et de plus près que tout ce qu’on voudra, sans pouvoir jamais l’atteindre : les deux autres pôles décrivent aussi des spirales, mais en quelque sorte d’une autre espèce; car chacune de ces spirales, au lieu de s’approcher du centre, s’en éloigne depuis une certaine distance minimum jusqu’à une distance maximum qu’elle ne peut jamais atteindre; de sorte qu’elle va sans cesse en s’épanouissant vers une circonférence de cercle qui en est comme l'asymptote.

On peut faire encore une remarque curieuse sur ce cas singulier du mouvement des corps.

C’est qu’il y a dans le plan moyen de l’ellipsoïde central un certain diamètre, quia cette propriété remarquable de rester toujours perpendiculaire à l’axe fixe du couple d’impulsion, de décrire ainsi le plan même de ce couple, et de le décrire d’un mouvement uniforme. De sorte

que tout le mouvement du corps consiste à tourner sur ce diamètre singulier avec une vi*~ tesse variable, tandis que ce diamètre décrit uniformément un cercle dans l’espace.

Quand l’ellipsoïde central est de révolution, le pôle de la figure décrit un cercle, comme le pôle instantané. Dans ce cas , il n’y a , à proprement parler, d’autre pôle que celui qui fait l’extrémité de l’axe du sphéroïde: mais si l’on voulait en marquer arbitrairement deux autres sur l’équateur, à un angle droit de distance, et considérer les deux courbes que leurs projections décrivent, on aurait deux courbes parfaitement égales, mais non point circulaires : ce seraient deux serpoloïdes égales autour du même centre, et dont les sommets de noms différens seraient toujours à un angle droit de distance l’un de l’autre.

Nous aurions encore à présenter de nouvelles propriétés et de nouvelles images de la rotation des corps. Et par exemple, il est aisé de voir que ce mouvement\est de telle nature que V ellipsoïde central se trouve coupé sans cesse par le plan fixe du couple d'impulsion suivant une ellipse dont la forme varie , mais dont la surface demeure constante dans tout le cours du mouvement.

De sorte que , si l’on se représentait l’ellipsoïde central du corps comme plongé dans un fluide sans résistance , dont ce plan fixe serait

le niveau, en pourrait dire que, pendant le mouvement du corps, la section à fleur d’eau reste toujours de même grandeur.

’ Et de là on peut passer à une nouvelle image du mouvement du corps , et le représenter par celui d’un cône elliptique qui roule sur le plan niéme du couple avec une vitesse variable , et qui glisse sur ce plan avec une vitesse uniforme ; etc. , etc. Mais toutes ces propriétés seront développées dans le Mémoire.

On voit combien ces images éclaircissent et rectifient les idées, même dans les points les plus élémentaires de la théorie de la rotation des corps. Ceux qui cultivent la géométrie des surfaces du second ordre, en tireront sans peine une foule de propriétés curieuses sur ce mouvement; car chaque proposition de Géométrie pourra leur donner un théorème correspondant en Dynamique. Mais le grand avantage de nos principes est d’offrir des démonstrations faciles de ces mouvemens de précession et de nutation des équateurs des corps célestes, du mouvement des nœuds de leurs orbites, etc. ; de simplifier ainsi, et quelquefois de rectifier ces théories difficiles , comme on en a déjà vu un exemple dans la détermination de ce plan unique et invariable des aires que j’ai nommé l’équateur du système du Monde.