T ^TT Q

-H Bi sin -(x + c)+ B2 sin ~- (a; + c) + B3 cos ~ (a -f- c) + etc. (12)

on a

/■2? ntz

J 0 y C0S T {X + c)cte = A" /f

I y sin — (œ-f c)t/a: = B /.

En faisant c = ^, tous les B s'annulent parce que y a la même valeur

an a%

P0lir 2^ + 5 et 2m — *» et on Peut choisir arbitrairement les limites de

l'intégrale, pourvu qu'elles soient séparées l'une de l'autre par une distance de 2/. En revanche, on a

. 2#Aw?/2 . /niz \ /rnz an\ ... .

A?* = ô : a a a STT Sin I -r Xn COS ( —r • • (12 fl)

Sw7i(n27c2a2 — m2/2) \ / °J \ l 2mJ

Cette équation donne les amplitudes An des harmoniques du son de la corde frappée. Si l'attaque se fait en un point nodal du nme son partiel, le facteur sin ~ x0 devient nul, et il manque par conséquent tous

les sons partiels qui ont un nœud au point d'attaque. C'est d'après cette équation qu'a été calculé le tableau donné à la page \ï\.

Si on veut déterminer d'une manière complète le mouvement de la corde, on n'a qu'à changer dans l'équation (2) pour y{, x en x + <*t. L'expression correspondante de y1 devient alors

2tt

y1 = — A0 — At cos - (x + at — c) — A2 cos — (x — at — c) -\- etc.

et définitivement

V = 2/i + y1 = 2Aj cos - x cos j (at + c) + 2A2 cos — x cos y (at -f- c) + etc., ce qui résout le problème.

Si Ton fait croître m indéfiniment, c'est-à-dire si le marteau devient tout à fait dur, l'expression de An tirée de l'équation (12 a) se change en celle de Bm dans l'équation (10).

Dans (10) Y m est identique avec Yn de (12 a).

Si m n'est pas infini, les coefficients An diminuent, pour les valeurs

croissantes de n, comme i- ; si m est infini, comme -; dans le cas où la corde est tirée de côté, comme dans la harpe, ces coefficients diminuent comme — . Cela est d'accord avec le théorème que Stokes (1) a

établi, touchant l'influence de la discontinuité d'une fonction développée suivant la série de Fourier sur la grandeur des termes d'un numéro d'ordre élevé. Si y est la fonction qui doit être développée en série :

y = A0 + AA sin {mx + Cj) -f- A2 sin (2mn + c2), etc.

le coefficient An , pour les valeurs très-grandes de n est : 1° De l'ordre de -, si y lui-même éprouve une brusque variation ; 2° De l'ordre de —, si la dérivée j- varie brusquement;

3° De l'ordre de ^, si la discontinuité ne commence qu'à ~j[ ;

4° Tout au plus de l'ordre é~n, si toutes les dérivées et la fonction elle-même sont continues.

Il en résulte, par conséquent, pour les sons musicaux, la loi plusieurs fois invoquée dans le texte de l'ouvrage, à savoir qu'en général les harmoniques aigus sont d'autant plus forts, que le mouvement correspondant du corps sonore est plus discontinu.