COMPOSITION DES COURBES

donc égales, conformément à la règle de la composition des vibrations, à la somme (algébrique) des hauteurs, correspondantes de A et de B. Ainsi, l'ordonnée ci de G est la somme des ordonnées al etbl de A et de B; la portion inférieure de cette ordonnée cn jusqu'à la courbe ponctuée, est égale à ai et le surplus à bK. Par contre, l'ordonnée c2 est égale à la hauteur <?2 diminuée de la hauteur négative b2 ; on trouve de la même manière toutes les hauteurs de la courbe C.

Le mouvement figuré par la courbe G est donc périodique et a la même longueur de période que A, cela est évident. Par le fait, l'addition de la division d0o de A et es de B donnera les mêmes résultats que l'addition des portions exactement égales SSt et &4, et si on suppose les deux courbes prolongées, il en sera de même de toutes les divisions suivantes.

Mais il est évident aussi que, pour se superposer dans l'addition par portions toujours égales, les deux courbes devront pouvoir se partager en parties congruentes d'une longueur de période exactement égale; c'est le cas de la figure 1 1 où deux périodes de B valent exactement une période de A. Les longueurs horizontales de notre figure représentent les temps, et, en remontant des courbes aux mouvements réels, on voit que le mouvement aérien résultant des sons A et B est périodique, malgré sa complexité, parce que l'un des sons fait, dans le même temps, deux fois autant de vibrations que le second.

Il résulte aussi de l'exemple précédent, que la forme particulière des deux courbes A et B n'entre pour rien dans ce fait que leur somme G est aussi une courbe exactement périodique. Quelle que soit la forme de A et de B, pourvu seulement que chacune puisse être partagée en portions congruentes de même longueur que les divisions de l'autre, c'est-à-dire que ces portions embrassent une, deux, trois périodes des courbes, une division de A, composée avec une division de B, donnera toujours une division de G, exactement égale à toutes celles qu'on peut former avec les divisions correspondantes de A et de B.

Si une pareille division de G embrasse plusieurs périodes des courbes considérées, comme dans la figure 11 , les portions es et ^l} embrassent deux périodes du son B, B sera, selon sa hauteur, l'un des harmoniques du son fondamental dont la période a la longueur de chacune des divisions principales (dans la fig. 11, du son A), conformément à la règle énoncée plus naut.

Pour donner une idée de la multiplicité des formes qui peuvent résulter de compositions relativement simples, je ferai remarquer qu'on obtient déjà une forme différente pour la courbe composée, en se bornant à déplacer un peu B sur A, avant de procéder à l'addition. Déplaçons B de manière à faire coïncider le pointe avec d^ nous ob-

tiendrons la courbe 11-D présentant d'étroites éminences et de larges dépressions, mais les versants des éminences ont la même pente, tandis que dans la courbe C l'un des versants est plus incliné que l'autre. Déplaçons encore B de manière à faire coïncider e avec d2y la courbe composée sera symétrique de C (comme l'image d'un objet dans un miroir), c'est-à-dire, que la forme sera la même, mais que la droite sera devenue la gauche. Le versant le plus incliné, situé à gauche dans G, sera à droite dans D. Enfin, si nous faisons coïncider e avec d0, nous obtenons une courbe semblable à D renversée, comme on l'obtiendrait en retournant le livre, de manière à placer les dépressions en haut et les éminences en bas.

Toutes ces courbes et leurs dérivées sontpériodiques. La figure 12-£ présente d'autres courbes composées périodiques G et D, résultant

Fis. 12.

des mêmes courbes A et B, dont les périodes sont dans le rapport de 1 à 3. Les lignes ponctuées sont encore la copie de la première vibration de A, pour permettre au lecteur de s'assurer que la courbe comptée s'élève ou s'abaisse partout, au-dessus ou au-dessous de A, de quantités égales à celles dont B s'écarte au-dessus ou au-dessous de la ligne horizontale. Dans C, A et B sont ajoutées, délies qu'elles se trouvent l'une au-dessous de l'autre; dans D, on a d'abord déplacé B d'une demi-longueur d'onde à droite, avant de l'additionner avec A. Les deux formes diffèrent entre elles, et diffèrent aussi de toutes celles