TT
Divisons par ET les deux membres des égalités (118); multi-
dT plions-les respectivement par a'dt, b'dt, ..., Vdt, -rzdt et
ajoutons membre à membre les résultats obtenus, en tenant compte des égalités (104) et (105**); nous trouvons
(U9) ^ + dS = ~ Ëf ^* a ' + * bb ' * •" + 9l ^ dt
~ et \ 9a W\ + 9b W\ * * * * + 9l ]7| ) dt
L'expression (91 6 ")
(?««' + y h V -+• ... + <?il') dt
est le travail accompli par la viscosité, durant la modification réelle éprouvée par le système pendant le temps dt ; ce travail est négatif en général, et nul dans certains cas exceptionnels. L'expression
est le travail accompli par le frottement durant le temps dt; ce travail est négatif en général ; il est nul dans certains cas particuliers.
L'égalité (119) entraîne donc l'inégalité, vraie pour toute modification réelle,
(120) y + dS ^ 0,
le signe d'égalité étant réservé au cas où aucun travail n'est accompli, durant la modification considérée, ni par la viscosité, ni par le frottement* Si, avec Glausius, on donne le nom de transformation totale
correspondant à la modification considérée, au quotient y; le
nom de transformation compensée à la quantité (— dS); enfin, le nom de transformation non compensée à l'excès de
Sï P. DUHEM.
la transformation totale sur la transformation compensée, on voit que Ton peut énoncer la proposition suivante :
La transformation non compensée qui accompagne une modification réelle ne peut jamais être négative; en général elle est positive.
À cette proposition de Clausius, l'analyse précédente ajoute quelque chose ; elle nous renseigne sur la nature de la trans* formation non compensée; elle nous montre que celle-ci se compose de deux parties : l'une est le quotient par ( — ET) du travail de la viscosité; l'autre est le quotient par ( — ET) du travail du frottement.
Si nous intégrons la condition (120) pour un cycle fermé, nous trouvons que, pour tout cycle réel, on a
le signe d'égalité étant relatif au cas particulier où le frottement et la viscosité n'accomplissent aucun travail durant le parcours du cycle.
On retrouve ainsi la célèbre inégalité de Clausius.
§ 4. Système formé de parties indépendantes portées à des températures différentes.
Considérons maintenant un système formé de plusieurs parties indépendantes; pour fixer les idées, nous supposerons qu'il existe seulement deux telles parties et nous les désignerons par les indices 1 et 2.
Nous supposerons que ces parties soient portées à des températures différentes, que nous désignerons par T„ T,; soient <x„ $ lf ..., \ les variables normales qui définissent l'état de la première partie; a f , (}„ ..., X f , les variables normales qui définissent l'état de la seconde partie.
L'énergie interne U du système formé par les parties 1 et 2 pourra s'écrire
U„ U„ étant les énergies internes des parties 1 et 2 considérées isolément, et W une fonction des variables a„ p„ ..., X„ a s , p„ ..., X„ mais point de T t , T t .
Les quantités
sont, par définition, les actions exercées par le corps 2 sur le corps 1 .
Les quantités
sont, par définition, les actions exercées par le corps 1 sur le corps 2.
Soient <Ja t , 86„ ..., 8Z, la modification principale du corps 1, cette modification étant définie par les égalités (82) ou (82*"), où 8a, 8p, ..., 8X sont remplacés par Sa n 8(J t , ..., 8X r
Posons
Wa < = ^ ^ + *■ si; + - + *• 5v
(124) J ^ - hi ^; + ** js + - + ^ Jx; •
Écrivons, pour le système 1, des égalités analogues aux égalités (13) ; nous aurons
Jb t — EW 0l — *„, + J« t + ?«, + £«, 7-7: = 0,
l fl il
(125) J ^i — EWi * — *». + J ». + ?». + ^ îé = °'
