Montrons que I est nul

D'abord I ne peut être positif. En effet, s'il en était ainsi, la demi-force vive augmenterait de I lorsque le point matériel décrit la courbe C; en lui faisant parcourir x fois cette courbe l’augmentation serait 21. On pourrait donc faire croître indéfiniment la force vive et, si on l'employait à accomplir un travail, on obtiendrait le mouvement perpétuel, ce qui est contraire au principe de Galilée.

D'autre part, I ne peut être négatif, En effet, si nous assujettisons le point mobile à décrire la courbe G en sens inverse du précédent, les composantes X, Y, Z de la force reprennent en chaque point les mêmes valeurs que dans le sens primitif, puisque par hypothèse X, Y, Z ne dépendent que de la position de leur point d'application ; mais dx, dy, dz changent

de signe ; par suite l'élément différentiel Xdæ + Ydy + Zdz

change également de signe. La variation de force vive lorsque le point matériel revient à sa posion initiale est done alors — I, c'est-à-dire positive. Or, d'aprèsce qui précède, cette variation posilive entrainerait la possibilité du mouvement perpétuel. Par conséquent —I ne peut être positif, c’'est-àdire que I ne peut être négatif.

Gette quantité ne pouvant être ni positive ni négative est

donc nécessairement nulle.

12. I! résulte immédiatement de là que la variation de force vive lorsque le point passe de la position M, à la position M est indépendante du chemin décrit pour passer de l’une à l'autre de ces positions.

Soient en effet deux chemins quelconques M, P,MetM, P, M (fig. 1) pour lesquelles les variations de force vive sont respective-

ment 1, et 1,. Appelons [” celte variation

quand le point passe de M en M, par le chemin MP" M,.

Nous aurons, d’après ce qui précède,

I, +l —o et LE, + T—o, d’où

Mais I, et I, sont les valeurs de l'intégrale J Xdæ + Ydy + Zdz

prise suivant les courbes M, P, Met M, P, M. Puisqu’elles sont égales la valeur de l'intégrale ne dépend que de ses limites. Or c’est une condition suffisante pour que la quantité placée sous le signe d'intégration soit une différentielle exacte Il y a donc bien une fonction des forces et, par suite, conserva -

tion de l'énergie.

43. Considérons maintenant le cas où la force dépend non seulement de la fonction de son point d'application, mais aussi de la vitesse de ce point.

En répétant le raisonnement du $ 11 on trouverait que [ ne

peut être positif. Mais on ne peut affirmer que cette quantité n’est pas négalive, car la démonstration donnée précédemment ne s'applique plus. En effet quand on change le sens du mouvement du point matériel sur la courbe fermée, on change en même temps celui de la vitesse ; comme X, Y,Z dépendent de cette vitesse on ne peut plus dire que ces composantes possèdent, au même point de la courbe, la même valeur quel que soit le <ens du mouvement; par suite la variation [ de la force vive peut non seulement changer de signe, mais aussi de valeur absolue quand on intervertit le sens du mouvement. La valeur de l'intégrale du travail peut donc dépendre du chemin décrit par le point d'application et et il n'y a pas de fonction des forces. On ne peut alors affirmer

qu'il y ait conservation de l'énergie dans le système.