TRANSMISSION PAR LES MILIEUX REFRINGENTS

LENTILLES

454. Définitions. — On appelle lentilles des milieux transparents, limités par des surfaces courbes de révolution. Suivant que les méridiennes des surfaces terminales sont des lignes droites, des cercles, des ellipses ou des paraboles, les lentilles sont dites cylindriques, sphériques, elliptiques ou paraboliques.

Lentilles sphériques concaves et convexes. — Les lentilles sphériques sont les seules en usage dans les instruments d'optique. Elles sont généralement faites en crown-glass, verre qui contient peu de plomb, ou en flint-glass, verre qui en contient beaucoup et est plus réfringent que le crown.

GANOT. 41

En combinant des surfaces sphériques soit entre elles, soit avec des surfaces planes, on obtient six espèces de lentilles (représentées en coupe, fig. 512); quatre d'entre elles sont formées chacune par deux surfaces sphériques, et deux par une surface plane et une surface sphérique.La première, A, est dite biconvexe;

Fig. 512.

la seconde, B, plan-convexe; la troisième, C, concave-convexe; la quatrième, D, biconcave; la cinquième, E, plan-concave ; et la dernière, F, convexe-concave. La lentille C s'appelle aussi ménisque convergent, et la lentille F ménisque divergent.

Lentilles convergentes et divergentes. — Les trois premières, qui sont plus épaisses au centre que sur les bords, sont convergentes; les dernières, qui sont plus minces au centre, sont divergentes. Dans le premier groupe, il suffit de considérer la lentille biconvexe, et dans le second la lentille biconcave ; les propriétés de chacune de ces lentilles s'appliquent à toutes celles du même groupe.

Axe principal. — Dans les lentilles à faces sphériques, les centres de ces sphères sont appelés centres de courbure et la droite menée par les deux centres est Yaxe principal. Dans une lentille plan-concave ou plan-convexe, l'axe principal est la perpendiculaire abaissée du centre de la face sphérique sur la face plane.

Section principale. — On nomme section principale d'une lentille toute section faite par un plan passant par l'axe principal. Dans la théorie géométrique élémentaire des lentilles, on ne considère que le cas des rayons lumineux situés dans une même section principale.

455. Analogie physique d'une lentille et d'un prisme. — On peut assimiler la réfraction de la lumière dans les lentilles à la réfraction dans les prismes en faisant la même hypothèse que pour les miroirs courbes, c'est-à-dire en supposant que leurs surfaces courbes soient formées d'une infinité d'éléments plans infiniment petits. La normale en un point quelconque est alors la perpendiculaire au plan tangent qui contient l'élément correspondant, et

LENTILLES

l'on sait, en géométrie, que toutes les normales à une même surface sphérique vont passer par son centre. Dans cette hypothèse, on peut concevoir, aux points d'incidence et d'émergence I et F, deux surfaces planes plus ou moins inclinées entre elles, produisant l'effet d'un prisme t d'angle A (fig. 515). A^ On peut alors assimiler j\\ chacune des lentilles / j \ A, B, C à un ensemble / I \ de prismes ayant leurs bases réunies et tournées vers l'axe principal 00' et les lentilles D, E, F à une suite de prismes tournés en sens contraire. Cela montre pourquoi les premières doivent faire converger les rayons vers l'axe et les dernières les faire diverger , puisqu'on a vu qu'un rayon lumineux qui traverse un prisme est dévié vers la base. C'est pourquoi toutes les lentilles convexes sont convergentes, et toutes les lentilles concaves divergentes (467, 2°).

456. Lentilles minces convergentes : Etude géométrique et expérimentale. — L'étude des lentilles convergentes (ou divergentes) sphériques peut se faire de la même manière que celle des miroirs sphériques, c'est-à-dire par l'expérience et par l'application géométrique des lois de la réfraction combinées avec certaines hypothèses. On suppose d'abord que les lentilles sont minces, c'est-àdire que leur épaisseur est négligeable et n'intervient pas dans la réfraction. On suppose, en outre, qu'elles ont une faible ouverture (10 à 12 degrés), ou du moins qu'elles n'admettent que des rayons centraux, c'est-à-dire des rayons peu éloignés de l'axe géométrique, parallèles à cet axe ou peu inclinés sur sa direction. Enfin, comme

Fig. 513.

les surfaces terminales des lentilles sont sphériques, lorsque l'objet lumineux est placé symétriquement par rapport à l'axe commun des deux surfaces, tous les phénomènes lumineux sont eux-mêmes symétriques par rapport à cet axe. Par conséquent, toutes les constructions dans l'espace pourront être remplacées par des constructions planes, faites dans le plan de la section principale qui contient le point lumineux ou le centre de l'objet lumineux.

457. Foyers : Définition et détermination. — Dans les lentilles, de même que dans les miroirs, on nomme foyers les points où vont concourir les rayons réfractés ou leurs prolongements. Il y a lieu de distinguer le foyer principal et les foyers conjugués, suivant la position du point lumineux par rapport à l'axe principal.

1° Foyer principal. — Dans le cas d'un faisceau lumineux qui tombe sur la lentille parallèlement à son axe principal (fig. 514),

Fig. 514.

— ce qui suppose le point lumineux placé à une distance infinie sur l'axe principal, — Y expérience prouve que tous les rayons, tels queW, parallèles à Taxe vont très sensiblement concourir en F (tant que \Y ouverture de la lentille, c'est-à-dire l'arc DE, ne dépasse pas 10 à 12 degrés).

Ce!^ point est le foyer principal, et la distance AF est la distance focale principale. Elle est constante pour une même lentille, mais elle varie avec le rayon de courbure et l'indice de réfraction.

Réciproquement, si le point lumineux est placé au foyer principal, les rayons émergents sortent parallèles à l'axe.

Remarque. — Dans le cas précédent, le faisceau incident parallèle était transformé par la lentille en faisceau convergent. Ici, un faisceau divergent du foyer est transformé en faisceau parallèle, dont l'intensité ne décroît plus que très lentement (et par suite de l'absorption par l'air).

2° Foyers conjugués. — Soit un point lumineux L, placé sur l'axe au delà du foyer principal, et assez rapproché pour que les rayons incidents sur la lentille soient divergents (fig. 515).

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Si l'on compare un rayon incident quelconque LB au rayon SB parallèle à l'axe, on reconnaît que le premier fait avec la normale un angle d'incidence LBrc plus grand que l'angle SBn ; il doit donc aussi faire un angle de réfraction plus grand. Par suite,

Fig. 515.

après avoir traversé la lentille, il rencontre l'axe en un point / plus éloigné que le foyer principal F. V expérience prouve, en effet, que tous les rayons partis du point L viennent concourir sensiblement en un même point / : ce point est le foyer conjugué du point L.

Réciproquement, si le point lumineux était porté en /, son foyer conjugué serait en L.

A mesure que le point L s'approche de la lentille, la divergence des rayons incidents et celle des rayons émergents augmentent, et le foyer conjugué / s'éloigne. Si L coïncide avec le foyer principal, les rayons émergents sortent parallèles à l'axe, et alors

il n'y a plus de foyer, ou, comme on dit, le foyer est rejeté à l'infini dans la direction de Vaxe principal.

3° Foyer virtuel. — Dans le cas où le point lumineux L est placé entre la lentille et son foyer principal (fig. 516) , Y expérience prouve que le foyer conjugué est virtuel.

Et en effet, tout rayon incident Lï faisant un angle d'incidence Lin plus grand que l'angle d'incidence Fin d'un rayon tel que FI émané du foyer principal, le premier rayon, à l'émergence, s'éloignera de l'axe principal nécessairement plus que le second ; il sort, par exemple, en divergeant suivant HK. Le faisceau divergent KHGM ainsi formé ne peut donc donner aucun foyer réel; mais, ses rayons prolongés allant concourir au point / situé sur l'axe, ce point est le foyer virtuel de L.

Plus L se rapproche de la lentille, plus le foyer virtuel / s'en rapproche aussi.

458. Centre optique. — Axes secondaires. — Dans toute lentille il existe un point nommé centre optique, situé sur Taxe principal et tel que tout rayon passant par ce point n'éprouve pas de déviation angulaire, et sort plus ou moins déplacé latéralement, mais parallèle à sa direction d'incidence.

Démonstration géométrique. — h" expérience prouve l'existence de ce point ; mais on peut s'en rendre compte géométriquement. Menons, en effet, deux rayons de courbure parallèles CA et C'A' (fig. 517). Les deux éléments plans qui appartiennent à la surface de la lentille en A et A' étant parallèles entre eux, comme perpendiculaires à deux droites parallèles, tout rayon KA, qui se propage dans la lentille suivant AA', traverse en réalité un milieu à faces parallèles, et par conséquent sort sans déviation, c'est-à-dire sui-

Fig. 517. Fig. 518.

vant une direction A'K' parallèle à AK (444). Le point 0, où ce rayon coupe l'axe, est toujours le même quels que soient les éléments A, A'. En effet, si les rayons CA et C'A' sont égaux, ce qui est le cas général, les triangles CAO et CAD le sont aussi, et Ton a CO = C'O : ce qui fait voir que, dans ce cas, le point 0 est le milieu de CC. Si les rayons CA et C'A' sont inégaux, les

triangles COA et C'OA' sont semblables, et l'on a r^-p = r^r* Or, le

LENTILLES. 647

" rapport -r— étant constant quels que soient les deux éléments

CO

parallèles A, A', on voit qu'il en est de même du rapport ^r» —

ce qui exige que la position du point 0 soit invariable et indépendante du rayon considéré.

Détermination du centre optique. — Le point 0 ainsi obtenu est le centre optique de la lentille. On peut le déterminer géométriquement en tirant deux rayons de courbure parallèles CA et C'A', et en joignant leurs deux extrémités par une droite AA'.

Nous verrons que dans les lentilles biconcaves ou concavesconvexes le centre optique se détermine de la même manière. Dans les lentilles qui ont une face plane, ce point est à l'intersection même de Taxe par la face courbe.

Axes secondaires. — Toute droite PP' (fig. 518) qui passe par le centre optique 0 et par un point lumineux P est ïaxe secondaire de ce point. D'après la propriété du centre optique, tout rayon qui tombe suivant l'axe secondaire PO émerge suivant la même direction OP'; car, dans le cas des lentilles minces, on peut considérer comme négligeable le déplacement latéral subi par le rayon PO.

De plus, si Ton ne considère que les axes secondaires ne faisant avec l'axe principal qu'un petit angle, on peut leur appliquer tout ce qui a été dit jusqu'ici de l'axe principal : c'est-à-dire que les rayons émis d'un point P (fig. 518), situé sur un axe secondaire PP', doivent tous concourir en un même point P' de cet axe, où ils forment un foyer qu'on désigne encore sous le nom de foyer conjugué. C'est ce que l'expérience vérifie.

459. Détermination expérimentale des foyers. — Dans les lentilles convergentes, comme dans les miroirs concaves, on peut déterminer expérimentalement le foyer principal. On reçoit sur la lentille un faisceau solaire parallèle à l'axe principal; puis on cherche avec un écran, de l'autre côté de la lentille, le point où va se concentrer le faisceau; c'est là le foyer principal. .

De même, pour avoir le foyer conjugué d'un point pris sur Taxe principal au delà du foyer, on place au point donné la flamme d'une bougie, et l'on cherche avec un écran, de l'autre côté de la lentille, le point où vont concourir les rayons lumineux.

460. Détermination graphique des foyers. — 1° Foyer principal. — I. Construction rigoureuse. — Soit un rayon incident PI parallèle à l'axe principal (fig. 519) ; on mène au point 1 la normale CB,

l'angle d'incidence PIB se trouve déterminé, et la formule -: — == n

sin r

fait ensuite connaître l'angle de réfraction CIE, c'est-à-dire la di-

rection du rayon réfracté 1E. Tirant la normale CD, on a au point E

l'angle d'incidence IEC, et la formule -: — - = - fait trouver l'an- ° sin r' n

gle d'émergence DEF, etpar suite le foyer principal F.

Fig. 519.

lin second foyer principal F' existe a la même distance (457, 1°) de l'autre côté de la lentille.

2° Foyers conjugués. — Le foyer conjugué d'un point situé sur l'axe principal se déterminera cde la même manière que le foyer principal.

Pour un point situé en dehors de l'axe, en supposant connu le

Fig. 520.

foyer principal, on peut simplifier la construction, ainsi qu'on l'a déjà fait pour les miroirs. On mène d'abord un rayon PI, parallèle à

l'axe : il se réfracte de manière à passer par le foyer principal (fig. 520).

On a ainsi une ligne sur laquelle se trouve nécessairement le foyer conjugué, puisque ce point est, par définition, le Fig. 521. point de concours de

tous les rayons réfractés. Ce point, devant se trouver aussi sur l'axe secondaire PO, est à l'intersection p de ces deux droites.

5° Cas d'un foyer virtuel. — Supposons le point lumineux placé

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à une distance de la lentille moindre que la distance locale principale. Si l'on répète la même construction (fig. 521), on voit que la ligure P1EF0 (en supposant que IEF soit une ligne droite) est un trapèze dont PI est la petite base : par suite, les deux rayons réfractés qui sont les côtés non parallèles du trapèze, iront se couper en deçà de la lentille et non au delà. Le point p d'intersection des prolongements des rayons est donc un foyer virtuel.

II. Construction simplifiée. — Dans cette construction et dans les suivantes, le rayon IE ne pourrait être déterminé rigoureusement que par l'emploi de la formule —. — = n. ^ r sin r

On supprime ordinairement cette incertitude et l'on simplifie la construction en réunissant les deux réfractions en une seule,

Fig. 522.

comme le montre la ligure 522. Le rayon parallèle est alors prolongé jusqu'à sa rencontre en I avec la droite MN; puis, enjoignant le point I au foyer principal F, on a le rayon réfracté. Cette droite MN est la trace du plan perpendiculaire à l'axe principal qui contient le centre optique. On suppose la lentille réduite à ce plan, ce qui revient à supposer son épaisseur négligeable l.

Fig. 523.

Remarque. — Au lieu de faire usage d'un rayon parallèle à l'axe principal, on peut choisir le rayon PFI, qui passe par le foyer prin-

1. On peut même figurer la lentille uniquement par ce plan central MN et ne considérer que les rayons tombant aux extrémités M ou N (fig. 531, 532, etc.).

cipal F; le rayon réfracté correspondant est facile à construire, car on sait qu'il doit sortir de la lentille parallèlement à l'axe principal (fig. 525). Le point p où il coupe l'axe secondaire PO est le foyer conjugué cherché.

461. Construction des images réelles. — Les images sont réelles dans le cas àhin objet lumineux AB placé' à une distance plus grande que la distance focale principale (fig. 524) .

On réduit la construction à celle des foyers conjugués des points A et B : on mène les axes secondaires AO et BO, puis, des points

Fig. 524.

A et B, des rayons AI et BP parallèles à l'axe principal. Ces rayons, après avoir traversé la lentille, passent par le foyer principal F et vont former en a et en b les images des points A et B.

Cette image est réelle et renversée. Pour la voir, il faut la recevoir sur un écran blanc qui la réfléchit dans toutes les directions, ou placer l'œil sur le prolongement des rayons émergents : on aper-

S^Fig. 525.

çoit ainsi, dans l'espace, une image qui, de même que dans les miroirs concaves, est une image aérienne.

Remarque. — Lorsque l'objet coïncide avec le foyer principal, Y image est rejetée à Vin fini, c'est-à-dire qu'il n'y a plus d'image. En effet, les rayons émis de A (fig. 525) donnant, à l'émergence,

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un faisceau parallèle à Taxe secondaire AO, et ceux émis de B un faisceau parallèle à BO, il n'y a plus concours de rayons à aucune distance et par suite pas d'image.

462. Relation entre la grandeur de l'image et celle de l'objet. —

En appliquant ces règles de construction de l'image dans certains cas particuliers, on trouve des relations géométriques simples entre la grandeur de l'image réelle, celle de l'objet, et leurs dislances à la lentille.

1° Lorsque l'objet est à une distance de la lentille égale au double de la distance focale, l'image est à la même dislance de Vautre côté, et de même grandeur que l'objet ; 2° si l'objet est à une distance pins grande que le double de la distance focale, l'image est plus petite que l'objet; elle est plus grande dans le cas contraire.

Remarque. — Pour les lentilles convergentes, comme pour les miroirs concaves, la position de l'image est toujours réciproque de celle de l'objet, c'est-à-dire que, si celui-ci passait en ab, son image se formerait en AB (fig. 524).

463. Construction des images virtuelles. — L'image étant formée des foyers conjugués des points de l'objet, elle sera virtuelle dans tous les cas où ces foyers conjugués seront virtuels : or nous avons vu que cela a lieu pour les points lumineux situés entre le foyer principal et la lentille.

Soit donc un objet AB placé dans cette position : si l'on répète la construction donnée ci-dessus, on voit que ce ne sont plus les rayons réfractés DF' et MF' qui vont couper les axes secondaires correspondants, mais que ce sont leurs prolongements (fig. 526).

Fig. 526.

Les foyers a et b sont donc virtuels ; il en est de même de tous les points de l'image. On obtient celle-ci, comme précédemment, en joignant ab. Cette image virtuelle est droite et plus grande que V objet.

464. Lentilles minces divergentes : Étude géométrique et expérimentale. — Nous avons vu que les divers éléments des lentilles concaves, à savoir centres de courbure, faces, etc., se définissent de la même manière que pour les lentilles convexes. L'étude expérimentale des lentilles divergentes peut se faire de la même manière que celle des lentilles convergentes, en admettant les mêmes hypotKèses fondamentales.

La différence de forme des surfaces terminales provoque un changement radical clans la direction des rayons réfractés. Lorsqu'un faisceau lumineux divergent, émané d'un point lumineux situé à une distance quelconque, vient tomber sur une lentille concave, celle-ci le transforme en un faisceau encore plus divergent. (Gela s'explique aisément en assimilant une lentille biconcave à un assemblage de prismes qui auraient leurs bases opposées à l'axe principal.) Il en résulte que le foyer conjugué est nécessairement du même côté de la lentille que le point lumineux : c'est un foyer virtuel.

465. Foyers virtuels : Construction et détermination. — 1° Foyer principal. — Soit d'abord un faisceau SS' de rayons parallèles à l'axe (fig. 527) : le rayon SI se réfracte au point d'incidence I en se rapprochant de la normale CI. Au point d'émergence G, il se réfracte de nouveau, mais en s'écartant de

Fig. 527.

Fig. 528.

la normale GC', en sorte qu'il se brise deux fois dans le même sens pour s'éloigner de l'axe CC\ La même chose ayant lieu pour le rayon S'K, les rayons, après avoir traversé la lentille, forment un faisceau divergent GHMN. Les prolongements de ces rayons se rencontrent sur l'axe principal, en un point F, qui est le foyer virtuel principal.

Dans le cas où les rayons partent d'un point L (fig. 528) situé sur l'axe, on

trouve, par la même construction, qu'il se forme un foyer virtuel en Z, entre le

foyer principal et la lentille.

Remarque. — Comme dans le cas des lentilles convergentes, on peut simplifier

les constructions, en appliquant l'hypothèse des faibles épaisseurs, c'est-à-dire en réduisant la lentille au plan qui passe par son centre optique Détermination expérimentale. — On recouvre l'une des faces de la lentille biconcave de noir de fumée, en réservant, dans une même section .principale et à égale distance de l'axe, en a et en b (fig. 529), deux petits cercles non noircis, qui laissent passer la lupuis, recevant sur l'autre face, parallèlement à l'axe, un faisceau de

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lumière solaire SS', on avance ou l'on recule un écran P jusqu'à ce que les rayons émergents viennent y projeter deux images A et B dont la distance soit double de ab. Si l'on néglige l'épaisseur de la lentille, on voit, d'après la similitude des triangles Fab et FAB, que l'intervalle DI est alors égal à la distance

FD ab 1 focale FD. On a, en effet, --- =a — = - .

466. Construction des images. —Les lentilles concaves, comme les miroirs convexes, ne donnent que des images virtuelles, quelle que soit la distance de l'objet lumineux, pourvu que cet objet soit lui-même réel.

Soit, en effet, un objet AB (fig. 530) placé devant une lentille biconcave, et à une distance quelconque.

Menons les axes secondaires AO et BO, puis un rayon Al parallèle à l'axe principal qui se réfracte deux fois, en I et en E, en s'écartant de cet axe de manière que le rayon émergent ED prolongé aille passer par le foyer principal. Le pointa, où il coupe l'axe secondaire pjg, jjjq

AO, est l'image virtuelle du

point A. L'image du point B se construisant de la même manière en b, on a en ab l'image de AB : elle est toujours virtuelle, droite et plus petite que l'objet. On ne peut la voir qu'en plaçant l'œil dans la direction du faisceau émergent.

467. Formules relatives aux lentilles minces. — Théorie des rayons centraux. — 1° Hypothèses. — Toutes les formules relatives aux lentilles convergentes ou divergentes qui sont appliquées dans la construction et la théorie des instruments d'optique, peuvent se trouver très aisément, en faisant tout d'abord les hypothèses que nous avons énumérées ci-dessus.

I. Les lentilles ont une épaisseur assez faible pour être négligeable (e = 0).

II. Les rayons incidents sont centraux, c'est-à-dire qu'ils sont tous compris dans une région peu étendue autour de l'axe principal. Il en résulte que les angles des faisceaux divergents qui tombent sur la lentille, ainsi que leurs angles d'incidence et de réfraction, sont de petits angles. On sait que le caractère des petits angles, c'est qu'on peut confondre les arcs qui les sous-tendent avec leurs sinus et avec leurs tangentes trigonométriques. L'ensemble de ces hypothèses, combinées avec les

lois de la réfraction et les consé- A

quences géométriques qu'on en déduit par le calcul, constitue la théorie des rayons centraux. Elle s'applique d'une manière très approchée aux instruments d'optique, dans lesquels les hypothèses précédentes sont suffisamment réalisées.

2° Déviation par les lentilles convergentes ou divergentes. — Tout rayon SII'R qui traverse une lentille convergente ou divergente est dans le même cas que s'il traversait un prisme A, de même substance, ayant pour laces les plans tangents en I et en I' (fig. 531 et 532 Dans le cas des rayons centraux, ce prisme est toujours de petite ouverture

quelle que soit la position des points I et V. La déviation d est précisément égale à celle que produit ce prisme et elle est donnée par les formules du prisme. Celles-ci sont notablement simplifiées quand on y introduit l'hypothèse des petits angles, ce qui consiste à y faire i = sin ?, sin ï = /', etc. Elles deviennent

[1] i = nr,

[2] i' = nr\ m

En appelant A l'angle du prisme de petite ouverture qu'on peut substituer à

la lentille [soit dans le cas de la convergence (fig. 531), soit dans le cas de la divergence (fig. 532)], on a pour la déviation d'un rayon lumineux tel que SUT»

3° Distance focale principale.

— Équation au pouvoir convergent. — Soit un faisceau lumineux tombant sur la lentille parallèlement à l'axe principal1.

Soit SA l'un de ces rayons (fig. 533) ; il est réfracté suivant

Fig. 532.

AF, après avoir subi la déviation d, donnée par la formule

Nous allons évaluer A en fonction des éléments de la lentille, c'est-à-dire

de son indice n et de ses

S A rayons de courbure R et R'.

^"7rf " L'angle d est égal à l'angle

AFO du triangle AOF (angles alternes-internes); on peut donc prendre tang AFO pour mesure de d (hypothèse des petits angles), et écrire

Fig. 533.

d = tang AFO :

AO ÔF*

D'un autre côté, l'angle au sommet du prisme A est égal a la somme des angles MAO et NAO ; or MAO = ACO et NAO = AC'O (côtés perpendiculaires). En prenant pour mesure de ces angles leurs tangentes trigonométriques, on a

tan