Première Partie. Livre II

(32,0,2,1,0,3) ^'•y"(-v')___i,Y2/g-.(i'-«H.[c..+i)v-«v-,-,.'-,vj

■ ^ '2jg-2i(,r'-/")-((C-H) + .[(tl+l)v-(>i-2)V-mV-5]

i • '2Jg2,(T-/"i-i(l'-rt) + .[tn + l)v-(« + 2)V-«,i-5j

1 \ ^- '2jg-2i(:r-/") + .(l'-fi) + ([(n-l)v-(«-2)V-«<J'+rVl I 1 ,,• '22g2,(;r-/")+,(l'-H)+i[(n-l)v-(n + 2)V-n,l+,V] (32,0,2,0,1,3) ^' Ye"'*^-^''=— ^ •^,2j,g-,(l.-«',+ ,[„v-(.-l)V-(«l),ï--5']

' jyi' ' 7'-,~2<'(!r'->")-î(l'-«') + i[«v~(n-3)V-(n-l),l'-,r]

I 1^ '2jr'g'-2i(n-'-r) + iC//-ff') + i[>iT-(«-l)V-(n-rl).;'+5'l I ' • '2y'g2,C;r---r) + i{l''-rt') + i[nv-(,i + 3)V-C,i + l).;' + ,r]

La règle générale relativement au changement des lettres marquées par un accent, et non marquées, simultanément avec celui de n eu ^«, s'applique aussi aux formules dernièrement obtenues; il convient toutefois, d'en donner un exemple. Reprenons, dans ce but, l'équation (11, 0,2,2), et faisons-y entrer les changements dont il s'agit. Il en résultera immédiatement:

2 ii\{\ \"\ ' 2 — iThv'~jiV'— jnùl

1 I^2g2;(r-/')-,[nv'-(n-2)V-«<;]^

304 Traité des Orbites des Planètes.

Multiplions finalement cette formule par celle-ci:

ce qui nous donnera:

^y«(v-v)^ 1 /^2jg-,(o-H)-.[.v-(„+i)V-(„+i),-„'+,v]

i,^- 22g-2i(--n-i(l'-H)-t[nv-(n + 3)r~(» + l)<-u'-|-S]

C'est précisément le résultat auquel ou parvient en changeant, dans l'équation (32, 0,2,0,1,3), p en ^, -^ en 5, v en v', v' en v, etc. et n en — n.

63. Venons finalement aux termes à caractère diastématique dépendant d'un facteur anastématique de degré pair.

Les expressions des fonctions nJl que nous venons de rassembler, dans le chapitre précédent, ainsi que celles qui eu dérivent par différentiation, donnent naissance aux termes dont il s'agit maintenant: d'abord si l'on y introduit l'argument V au lieu de v'; ensuite, si l'on multiplie les expressions mentionnées par un facteur de la forme />"/>" ■ Evidemment, des termes de la nature envisagée proviennent encore par l'ensemble de ces deux procédés. On reconnaît facilement que les termes à caractère diastématique renferment dans leurs coefficients un facteur diastématique de degré im2)air.

Un terme quelconque du développement général de cosnH ayant la forme

T = K cos (n(v — v') -f mv' — i,y — i',? — i(.Q — 6) — i'(fl' — 6')),

m , n , i , i' étant des entiers positifs ou" négatifs, et K, un produit de degré pair par rapport aux fonctions auastématiques multiplié par un facteur numérique, on obtient les divers termes qu'on cherche, en introduisant, dans l'expression

-n(<.'-H)-ii\if~H')+i{,

■i(/.'-«)-i'(l''-«')-i.V-i'//] iv-i,V-i,Vl^s^/s'g.(n-m

l'ieiiiièi'o Pnrtic. Livre II. 305

les valeurs (|u'on a données dans le n° 59. En opérant de la sorte, et en ue considérant que les termes affectés des premières jniissances de ;j et de yf , on parviendra rapidement aux

K) Termes à curncière (Jhistêniafique du froisiènie (h'f/ré.

(33,1,3) eosH =

sl--'rj{P + I") cos[2v — V — cô — (7/ — (- — /')]

+ ^ sV' rj{P + r "■) cos [- V + c7, — 0/ + {z—l ')] ç'r'r/ir- + I") cos [v — S' — (;r' — /")] çî'')y'(/'-' + n cos [v - 2V - O' + (-' - /■')] s^-'rjr' cos [2v + V — w + ô>' — 2,v — (--/') 2(i.> — H] eV^'yiP cos[V + «5 + œ' — 2,y + ijr— F) — 2{Q — 6»)]

+ ^^Yri'P cos [v + 2V + ôy'-2},- (-' - Z") - 2{ii - ^)] + is-'rV//^ cos [v + œ' — 2H + (,-' — /■') — 2{il — (.»)]

sr'r;/'- cos [2v + V — w + (7/ — 2,/ — (- — /■) — 2(i>' — H')\ sV-'rir' cos [V + ô) + c7/ — 2/y' + (;r — T) — 2(i2' — ^r)] + ^i;-'V/'' eos[v + 2V + ô>'~ 2n' - (-' - 7") - 2{i>' - W')] + 'J'r'-q'I" cos[v + 0/ — 2,V' + (tt' — /■') — 2{(J' — H')]

£[■-' 5j//' cos [2 V — A^ — û) — (7/ — ,v + 7/' — (-— 7 ') — {ii — l-)) + (i'' — rV')] sV' rjir cos [— ^' + ôj — ô>' — Ji + ,v' + (r — / •) — (ii — w) + (ii' — (■>')] + ~ç\--'r/ir cos [v — <7.' — ,y + //' — (-' — /") — {<> — H) + (ii' — W')]

Cetle formule se nonliinii' A lii page suivante. Traite (1rs nrhilcn nhsi,hies. 39

306 Traité des Orbites des Planètes.

+ -jViir eus [v — 2V — w' — tj + jy + (-' — /") — (iJ— &) + {ii' — H')]

+ \ £;'■' /;//' cos [2 V + V — w + ô> — 7y — W— (- — r) ~{Û — H) — (i2'— (•)')]

+ '--{•-' riir cos [V + ôi + ô)' — ,v — y + (-— r) — {ii~ (■)) — (.'i' — (V')]

— ^ ?!■' yy'//' cos [v + 2 V + (7/ — ,V — ,V' — (r' — T') — ( o — (~l) — {(>' — (-)')]

— l^Y'r/ir cos[v + <T/ — 'V — y + (-' — F') — {i2 - H) — {il' — H')], , , 5 cos H"

- isr-V;(/^ + I") sin [2v V - .-^ - S' - (- - /■)]

-\'A'-'i{P + /") sin [- V + ô) - ô)' + {--r)\

+ Jçi-'>^V' + /") sin [v -~ ô>' - (-' - /")]

+ ^cl''//(/'^ + /"O sin [v - 2V - U> + (r' - 7")]

+ \ BV'rjP sin [2v + V - S + ô)' - 2^ — (- — F) — 2(i> - ^)]

(35. ',3) ,ocos/7 =

— J)y(/' + /'-) cos[2v — Y — w — w' — (- — /')]

-~r;(7-^ + /''O cos[- V + ôy - w' + (r— /•)]

+ ^r;/' cos [2v + V — s + (7/ — 2J1 — (- — /') — 2{Q — W)]

+ 8 -^I' cos [V -h ô> + w' — 2,v + (- — 0 — 2(i> — W)]

+ Ir^F' cos [2v + V — (7j + (7/ 2,/ — (r — /•) — 2(ii' — ^r)]

+ IriF' cos [V + ô) + cD' — 2,y + (- — F) — 2{ii' — H')]

Celle fcrniiile ^e (■nnliiiiie à la page siiiviinte

l'reiiiièi'c l'iirtie. Ijivn^ II. 'MM

+ ^ vj // ' (•( .S [ 2 V — V — ô) — (7/ — // -1-. ,'/' — (tt — / •) — ( <> — H) + ( ii' — W')]

+ -' rjir cos [— V + «5 — w' — ]) + ,v' + (r — /■) — (/J — (-)) + (^2' — (t*')]

— '- jy//' cos [2 V + V — w + (Tï — ,V — ,'/ — {tz—I 0 — ( iJ — H) — (/>' — (■■)')]

— - Tjir cos [V + û, + o/ — ,V — ,V' + (- — i") — {ii — I-)) — (i/ — <■>')] ,

3 cos H

dv

^y;(/' + /';) sin [^v — V — w — w' — (-—/■)]

+ J ''/(/' + /") -siu [— V + ô> — w + (.T — r)]

— \yiI- sin [2v + V — F) + ô) — 27y — (- — /') — 2(i> — W)]

(37, ',3) p' t^os^^ =

l^'(/^ + /-)eos[v-â)'-(;r'-/")]

— \r/{r + /''"O cos[v 2V — 03' + (-' — 7")]

+ s 577 ^ cos [v + 2V + <7/ - 2,y - (-' — /") — 2{ii — H)]

+ ~r'P cos [v + ô> — 2,v + (.T — /") — 2(i' — i-»]

+ ^3^7'- cos[v + 2V + O)'

[z - r') - 2{ii' - (■>■)]

-h ^ ^/'^ cos [v + â>' — 2,V' + (-' — /") — 2{il' — (-)')]

+ \r/ir es [v — (7/ — ,y + ,y — (-' — i") — (1' — (-)) + (ii' — H')]

+ ^ ////' cos [v — 2V — Ô3' — }) + //' + (-' — /") — {ii — Wj + {(>' — t-r}]

— \r/JI' cos [v + 2 V + (7/ — ,V — y — (-' — /") — (-'-f — t-^) — {ii' — (■>')]

— '-r/ir cos I V + (7/ — ,v — il' + (r' — 7^') — [iî — H) — {ii' — H')],

308 Traité des Orbites des PlauèteP.

/ r, \ ,3 COS U

iV(/^ + 7-)sin[v-â3'-(;r'-/")]

.+ y{P + /") sin [v 2V - 03' + (V - /")]

— Jxy7'' sin [v + 2 V + (jy — 2,v — (-' — F') — 2{ii~ H)] ■ ■ • »

£f-'yy(7'^ + I") COS [3v — 2 V — ôi — 20)' — (tt — 7^)J + ^£'^',(/^ + I") cos[v — 2V + ô> - 20)' + (r- /•)] e-V/(7^ + 7'^) COS [2v - V — 2c7)' — (-' — 7-)]

çr'//(7^ + 7"0 C0S[2V - 3V - 2c7y + (-' - /")] £[''-•'7^1' COS [v + 2 V — ô) + 2â>' — 2/y — (" ~ 7') — 2{1> — 6)] sl'-'-'y^P COS [— V + 2V + W + 2 0)' 2Ï/ + (- — /') — 2(<> — W)] + ^s-r'7?'7--' COS [3 V + 2w' — 2}J — (;-' — 7") — 2{ii — (9)]

cr-V/7^ cos[V + 20)' — 2^y + (-' — /") — 2(o 6/)]

s'i'-'''-/]!''' cos[v + 2V — «) + 2w' — 2,y' — (;r — 7^) — 2(iJ' — 9')]

£^-Vy7" C0S[— V + 2V + W + 2â>' — 2,y + (r— /'j — 2(iJ' — 6»')] + -jYil" C0S[3Y + 2w' — 2,y — (-' — /") — 2{il' — &)]

ev''r/I" cos[V + 2(7/ — 2,y + (r' — /") — 2{i>' — (/)] c^'--' 75 77' cos [3 \ — 2 V— (7) — 2 s'— ,y + ,/— (.T— / ■) — (L> — ^y) + (!''— W')] £-^-'' /^77' cos [v — 2 V + c7j — 2 ô)'— ,V -j- /y' + (r — / ') — ( ij — W) + ( i>'— R')]

Cette fonmile se lontimip j la i,:igt suivante.

Premii'-iv l'ailic. I.ivic II. 309

+ çy W/ir co8[2v — V— 2âi'—;j + }/'—{-'—/■') — {i>— (■>) + {'J~ (-)■)] + ç r' r/ir eus [2 V — 3 V — 2û)' — n + n' + (-' — / ") — {a — (■>) + {n' — (-r)]

+ ôf ■' 37//' cos [v + 2 \— ô> + 2(7/— ,v — il'— {- — F) — {ii — (■)) — {(/— H')] + s'^-'-' y;//' cos [— V + 2 \' + (7> -f 2 w'— ,v — //' + (-— / •) — ( o — 6»)— (iJ'— 6')]

— ^Vr/ir cos [3 V + 2(7/ — n — J)' — {?:' — r) — {<> — H) — [ii' — (-ï)]

— ç/-' y///' cos [ V + 2(7/ — ,v — H' + (-' — i ■') — ("'-' — 6») — {ii' — &)],

, , dcos2H

— 5i^---' rj{P + /'■-') sin [3v — 2 V — cT, — 2(7/ — (- — F)]

— s\-'''rj{P + /") sin [v 2 V + (7) — 2(7/ + (-— F)] + çv-'yi'{l' + F') sin [2v - V — 2(7/ - (-' — F')]

+ çrvj'iF + F') sin [2v — 3 V — 2(7)' + [z' — /")]

— 2z\^'''riIF sin [3 V - 2 V - (7> - 2(73'- ,V + n' — {t. — F) - {il - W) + (iJ' - (j/)j

— 2c^-' >y77' sin [v— 2 V + (7j — 2(7/—,'/ + ,V' + (-— F) — {il— H) + {il'— H')] + 2^\~'rj'n' sin[2v —V— 2(7/— 1) + y— (r'— /") — (i> — i-f) + (/J— W)] + 2,-r'y///'sin [2v — 3V— 2(7/— D + //+ (-'+ /-)(<>— (y) + [il'—H')l

(35>2.3) p(ios2H =

— \rj{F' + r"-) os [v — (7) — (r — r)]

-'-rj{P + /'^) cos[3v - 2 V - (7, - 2(7/ - (--/■)]

— '^rj{J'+ /'•-') cos[v — 2V + (7. — 2(7/ + Gt— /')] + ■ ^/= ,os [3v ô) - 2^ - (- - 7') - 2(iJ - H)]

Cette forniiile se continue A la pagr siiivantiî.

310 Traité des Orbites des Planètes.

j^ly^r- cos [v + (7; — 2,y + (- — F) — 2{ii — &)-]

+ ^ril" cos [3v — ô) — 2,r — (- — /•) — 2(f2' -^ 6')]

+ ^ /;/'■' cos[v + w — 2,v' + (?r — i') — 2[Li' — (-ïj]

+ ->j7= eos[v + 2V — w + 2ô)' — 2h — (r— /') — 2{ii — ^y.i]

+ -rjl' cos[— V + 2 V + w + 2(7/ — 2,y + (-— ■^') — 2(i>— W)]

+ Jîj/" cos [v + 2 V — W + 2w' — 2,y — (- — iO — 2{ii' — H')]

+ \rjr'' cos[— V + 2V + ô> + 2w' — 2,y + {-—F) — 2(i>' — &■)]

r;7/'cos[3v — 2V— w— 2w' — ,v + ,/ — (r— T) — (i'i— ^) + (i>' — (-r)] y^ir cos [v — 2 \' + (7j — 2(7/ — ,V + .V + ("— T) — (iJ — W) + (iJ'— H')]

— '-rjU' cos [3V — (7i — ,V — />' — (- — i') — (-'-' — ^■^) — (-'-' — ^-^O]

— \rjir cos [v + ô) — ,V — /y' + (r — F) — {H — H) — {il' — (■)')]

— ' y^II' cos [v + 2 V— (7j + 2(7/— J) — //' — (r — /^) — {<> — l-i] — {ii'— H')] ~'-rjir cos[— v4- 2V +(7j + 2(7}' — // — ,V'+ {tt ^ F) — {ÎI — 6) — {(>' — 0')] + -rjir cos [v — (7j + // — ,'/ —(-—/') + {ii — H) — (iJ' — i-r)]

+ ^ry/i' cos [— V + iô + ,V — >'/ + (- — /') + (ii — (■>) — {il' — (-)%

, ^ , 3 cos 2 ff

^^ (7^ + 7-) sin [3v - 2 V - (7, - 2(ô' - (;r - /')] + -MP + r') sin[v — 2V + (7, — 2(7/ + (-— 7')]

— jry/' sin [3V — (7, — 2,v — (;r — F) — 2{ii — ^-V)]

Cftie lonnule se roiiliiiup à la page siiivanle.

PieiiiicTO l'aitie. Livre II. 311

— \ rjl'- sLu [v + M — 2,1 + (- i') — 2{i> — (■))]

— \yjl" sin [3v - s — 2// - (- — F) — 2{il' — H')]

— '-Yil" Siu [v + ô, — 2//' + (.T — F) — 2{ii' — W')]

— rjU' sin [3v — 2 V— w — 2(7/— ,'/ + ,v'— {n — F) — {ii— 9) + {il'— 8')]

— y.]!' sin [v — 2 \' + (ô — 2(7/ — // + //' + (r— r) — (.Q — H) + (iJ' — H')] + /,//' sin [3v - ô) - ,V - // -(--/')- {il - (-)) - {il' - H')]

TjW sin [v + w — // — //' + (- — r) — (iJ — W) — {il- — «')],

fl' C08 2 // =

r/(7^ + 7'>os[V-(.T'-r')]

^'(/^ + /-) cos [2v - V - 2B' - {-■ - F')]

r/{r- + /"O cos[2v - 3V - 2ô)' + (-' - F')] r/F' cos [2v + V — 2,y — (-' — F') — 2{il — W)J yy7' cos [2v — V — 2,'/ -1- (r' — F') — 2{il — H)] r/F- cos [2 V + V — 2, y -- (-' — F') — 2{il'^ (■)')] jy7'- cos [2v — V — 2,v' + (-'•— 7") — 2 {il' — l-r)] ri'P cos [3 V + 2(7/ — 2,V — (-' — 7") — 2(l> — 8^^ ■qP cos [V + 2(7/ — 2,V + (;r' — 7") — 2{il— W)] -r/7-cos[3V + 2,-;)'- 2,v'-(-'-7")- 2{il' - (■)')]

'7'- cos [V + 2(7/ — 2»' + (-' — F') — 2(Û' — W')]

+ ^//7'^;-os[V + 2(7/ — 2!,' + {-' — y) — 2{il-—(-y)\

+ ^ ry'77' cos [2v — V — 2(7/ — ,^ + ,y' — (;?' — 7 ") — {il — H) + (i>' — 8'}]

Cette formule se coiitirme à l:i pa^'e siiivantf.

^12 Traité des Orbites des Planètes.

+ ' rfir ros [2v — 3V — 2(7,' — ,V + il' + (-' — T') — {i> — 9) + (O' — 9')] Yj'ir cos [2v + V — ,v — ,y — (tt' — F') — (i2 — ^9) — {(>' — ^)')] r///' cos [2v — V — ,y — 7/ + (-' — /") — ( i2 — ^) — (Û' — G')] r/ir cos [3 V + 2m' — ,v — ,/ — (-' — 7^') — (Û — S) — {(J — G')] — \r;ir cos[V + 2c7/ — H — ,V' + (-' — T') — {Û — f-)) — (Û' — /9')] + -^r/ir cos [V — ,y + ,y' — (.t' — F') — (<> — 8) + (i2' — H')] + ^)y'//' eos[— V — ,v + ,v' + (-' — r) — {ii — l-l) + (/>' — (■)%

, s cos 2 ff

ry'(/' + /") «i" [2v — V - 20/ — (r' - F')] + ^r/(/^ + 7'^) sin [2v - 3Y - 2â>' + (-' - T'I] r/r sin [2v + V — 2,y — (-' — 7"') — 2(0 ^9)] r/P sin [2v — V — 2,v + (-' — T') — 2(/i — (-))] rj'I"- sin [2v + V — 2,v' — {-' — F') — 2(<2' — (■)')']

— -^iP' sin [2v — V — 2J1' + {-• — F') — 2{Q' — ft')]

— r/lF sin [2v — V — 2w' — ,v + if' — (-' — 7"') — (fl — 9) + (i2' — (9')]

— ^'77' sin [2 V — 3 V — 2(7,' — ,v + H' + {-'^1 ") — {i2 — 9) + (i2' — ^/)] + r/IF sin [2v + V — ,v — ,V' — (r — F') — {Q —9) — {Q' — 9')]

+ 7/77' sin [2v — V — n — ,y' + (-' — F') — (.y — ^■^) — (fi' — (t»']].

Eu continuant ces développements, on trouverait des expressions dont le nombre des termes deviendrait, de plus en plus, insupportablement grand,