NT», I

..-1,-1 ^(«-2v-,-l AT

N(«,o, i) + ,çr'-'N(«, I , i)

^cr''-'^r^'^''N(»,o,i) + i?r''-'N(»,., .;

! 3u-+-iv,i ^ („ , o , 2) + ^^ N (« ,1,2),

PiciiiitiL' l'iiitit'. Livre III. 445

+ il er' + ^cr-') n(» ,0,2) + 1 n(« ,0,3),

G(o, 3,0, I ,») = — ^;;''N(m,o,o) + J(çr''- — cr''")N(»,o, i]

Gr(o , 3 , o , o , ?i) = Ç3'"'N(// , o , o) 4- - ç." '■''N(». ,0,1)

+ ^çr'-^N(«,o,2) + ■N(»,o,3),

+ -cr''"'N(«,o,2) + -N(«,o,3).

Bien qu'un ait continué le développement général de pareilles for-

mules des coefficients (j(p , p', r , r' , ») jusqu'à p + p' = 5, je ne tiens pas convenable de les reproduire à cette place. Elles sont, en vérité, très compliquées et elles occuperaient, en consé(]uence, beaucoup de place sans qu'on eût l'occasion, sinon dans les cas. exceptionnels, d'en faire usage. En revanche, je vais donner, dans une partie suivante de ce travail, les expressions de divers coefficients appartenant aux syuechies les plus importantes, en étendant quelquefois le calcul même aux termes du sixième et du septième degré.

99. La forme diastémati([ue du dcvelo])pement par laquelle sera représentée la fonction N , devient, après les transformations indiquées, la suivante :

446 Traité des Orbites des Planètes.

(6) N = ZZZZ I (l(p , p', r , r', o)„,„^^^'" "^^ [+ (p - 2r)(;r - F)

± (p'- 2v'){7r'- I") + (p - 2r)(v - ro) + (p'- 21-') V] j

■ - ZZZZ JG(p , p', r , 1-, o),,rrr/''^^{± (p - 2r)(;r- /')

+ ^rZZZÏ j(i(l., p', r, r', <„^>'^"> '^[± (p - 2r)(r- /■) ± (p' — 2 !•')(-' — /") + {n + (p — 2r))(v — S)

— (" ± (p' — 2r'))V + H\ro — w')]|

- ^rzzsz I <"up , p, •■ , v, '0,,»'j""-''?"' '^' [± (p - ^-r){^ - /■)

11 = I 1 *'li

— (m + (p' — 21-')) V + n{w — cô')] + ....

Après avoir établi cette expression générale, je vais l'appliquer, ainsi que les formules du dernier numéro donnant les divers coefficients G, à la

représentation des fonctions -(i — >9^)P'"'' , ''AO""' et '-ll""\ Dans ce but,

je vais désigner par A(p , p', r , r', ii).,y ce que devient 2G(p , p', r , r', ■w)„„. lorsqu'on y^ met — «Q'" (" , s , s')„ „ à la place de N(k,s,s')„„. Egalement, en changeant N(« , s , s')„,y en — f" (« , s , s'), ,• , dans les expres-

sions des G, je désignerai le résultat qui en découle par B(p, p', r , r', n\y . On doit toutefois excepter le cas où n est égal à zéro, cas dans lequel on doit prendre G au lieu de 2G. En introduisant, finalement, dans les formules mentionnées, {m -f i)ll"'{ii , s , s')„, au lieu de N(?2 , s , s')„„ , j'em-

ploierai la notion C(p , p', r , r', n)„.^ pour exprimer le résultat ipi'on ob-

Prcniièiv Partie. Livre III. 447

tiendra ainsi relativement à (f ou à 2G. Nous aurons, do la sorte, les trois développements

(7) ;^ (i - ^^)P^"'> ^ V I l'ifp , p', , , ,', lOo..^^'"' cos [± (i, - 2r)(r - F)

(8) Jj.Q""> = L I A(p , p', r , r', "),v,'7"r/" ^in [+ (p - 2r)(r - F)

(9) ^7 H'"" = r I c(i' . lA 1- , !•'■ ")..,«''/'-''/"■ '•"«[+ (p - 2r)(- - n

+ (p' — 2r')(7r' — /") + {n + (p — 2r))(v — â — {n ± (p' — 2r'))V + i/{cT, — ôy)]\

De la même manière, on pourra représenter toute autre fonction de même nature que les P""' , Q""' et R'"'*, par exemple les II',,,, moyennant la forme indiquée. On pourrait même l'employer aux développements des

mettre en usae^e, pour représenter ces fonctions-là, les formules suivantes:

fonctions '4(i — 57'')?'""' , '—(2""' et '4 H'""*; mais il convient mieux de

(7') 5(1 ->y'^)P''"" = V } B(p , p', r , r', »0:,,„r/;y"'' cos [+ (p - 2r)(;r - F)

± (p' — 2r')(-' - F') + ('«. + (p — 2r))V' — {n + (p' — 2r'))(v' — o/) + n{ô) — cT/)]]

448 Traité des Oibites tics Planètes.

(8') j;-^Q''-= VrA(p,p',r,v',<„./,y''' .m[+ (p- 2r)(;r-r) + (p' — 2r')(7r' — F') + (n + (p — 2r))V' — (" ± (p' — 2r'))(v' — ô>') + V {â> — <7)')] I

(9') '4 R""" = r rC(p , p\ r , !•', »):,,o V>/'"' t'"S [± (p - 2r)(;r - /')

loo. En dénotant par (i(p , p', r , r', î?)„'y le type général des coefficients entrant dans les formules (7') , (8') et (9'), il s'agit d'en établir les expressions analogues à celles que nous venons de donner dans le n° 98. Pour y arriver, il faut consulter les règles, indiquées, soit dans le n° 58, soit dans les numéros suivants, pour établii" les développements des produits p^p'^e*"^, les angles V, (v' — ô)') et 55 — Si' étant pris pour arguments. D'après cela, on obtiendra aisément les expressions suivantes:

(jr(o,o,o,o,«.)' = N'(w,o,o), %

G(i ,0,0,0,»)' = cî'^'N'(«,o,-o) + - N'(«, I ,0),

Gr(o, I ,o,o,w)' = — s;'*-"'"'N'(m,o,o) -f -N'(m,o, i),