Première Partie. Livre III
On aura encore:
Pi = 2^^ '
' ^ dv 8 ' '
480 Traité des Orbites des Planètes.
„',' îii l ■ , j-p ni.>-e)-Kii'-ff)+i(!^'-r)-ui/+îi')+ny+w)
Ayant obtenu ces formules, nous allons les introduire dans l'expression (30). Il en faut, toutefois, considérer seulement la partie suivante, vu que les autres termes ne contribuent rien aux synecbies demandées,
= lil' + r)|P'(o,o,oj + PHo,.,o)^ + P'(o,o,i)/,'Jcos(v- V')
-K'5È-5'ï)i^''(°'°'°) + P'(o,i,o)^ + P'{o.o,iyjsin(v-v')
-3,^'|PXo,o,o) + P'(o,i,oV + P'(o,o,i)/,'î
+ liy + r)|P'(^o,o) + P'(i,i,oV. + P'(i,o,iV/l
+ l{?>' + .r)|P'(2,0,0) + PX2,I,0)/> + P'(2,0,I)^/1COS(V-V')
+ -2 (s|- 5'!^) li*V^o,o) + P'(2,i,oV. + F\2.o,i)p'\ sin (v - V)
— 25ViP'(i'0-o) + P'(i,i.o)/î + P'(i,o,iV/|cos(v — v') + '3-P'(i,i,o)^cos2(v-v')
Prptilièro Partie. Livre Ilf. 481
Par les substitutions dont nous venons de parler, nous parviendrons finalement au résultat cherché. En y réunissant les termes dépendant des mêmes arguments, ce résultat prendra la forme
(3 0 J(i — ^')|rv(P'>h) + 2:l(F"h)|
= ^P'(i,i,o)/)(/^+/'^) — M^'(i,i,o)^>//'cos(,v-,/ + iJ-0-(L>'-0'))
— JP'(i,i ,0)^7/' ces (F — 2V + 27> + 2(Û — 0))
+ - P'(i , 1 ,0)37//' cos(F — 2v + 7/ + 7/ + iJ — 0 + <>' — 0')
— {f> + K>/{I' + n cos(F' + V - V')
+ br^'P CCS (F' — (V 4 v') + 2,y + 2(Q — 0)) + hrj'I" cos(F' — (v + v') 4- 2,y' + 2{0' — 0'))
— 2hr/ir cos (F' — (v + v') + ,y + ,y' + il — 0 + <>' — 0'j
+ 2hyi'II' cos (F' + (V — v') — (,y — /)') — [ii — 0) + Û' — 0') + 2h^r/ir cos (F' + (V — v') + » — Ji' + il — 0 — (iJ' — 0')), où l'on a employé, pour abréger, les notations
i = '.P' (0,0,0) — iP'(o,o,i),
/., =ip'(2,0,0)-iP'(2,0,l).
L'expression analogue relativement à la fonction Q'" est un peu ])lus simple: la raison en est que les termes dépendant de l'indice )i = o n'y existent pas. Nous aurons en effet, par un calcul semblable avec celui (jue nous venons d'exposer, la formule
Traité des orbites absolues. Q\
482 Traité des Orbites des Planètes.
(32) ;^|zKQ<'ni) + i:l(Q"'b)| =
— ^ QH I . I ^^)pii' -^iu ('^ — ^^' + ^' — Q — (ii' — 0'))
+ ^Q,Vi,i,o)yyr sin(F— 2v + 2,v + 2(^2 — 0)) + ^Q,^(i,i,o)5y7'=siu(F— 2v + 2// + 2(Û' — 0'))
— '-Q'(i , I ,o)rjIT sin (F — 2v + ,y + ,v' + ii — 0 + >-'-^' — 0') -Qq'(2,o,o)-^Q^(2,o,i)')V(Z^ + i")sin(r' + V- V')
+ (Q'(2,o,o) — 'Q'(2,o,i))x///'siii(F' + v-v' + //-,y'+ii-0-(i2'-0')).
Cherchons encore les syuechies des indices 1,0 et — 1,0, détachées
du produit E"'~, ou plutôt la soTïirae de ces syuechies. Les termes y
contenus, étant de la môme nature que ceux que nous venons de considérer précédemment, doivent être réunis, ce qu'on voit facilement par la deuxième des équations (11) du n° 85, avec ceux-là.
Dans le but proposé, considérons l'équation
^-R'"'- = - jirfo.co) + E''(o,i,o)/> + n\o,o,i)p'\
+ 2-jR''(i,o,o) + n\\,\,o)f, + R"(i,o,i),o'jcos(v — v')
+ 2^-{R°(2,0,0) + R\2,\,0)p + E"(2,0,I)//|COS2(V— V'),
et introduisons-y la valeur de — donnée par l'équation (31) du u° 67, c'est-à-dire la valeur
ï— ;(é+4)-(^-'')+i(fêr+i")""'^-"'+^--
Après avoir remplacé les produits dépendant de 3 et 3', ainsi que de leurs dérivées, nous aurons de la sorte, par les expressions que nous venons de déduire, la formule que voici:
Piciiiit've Piutie. Livro III. 483
- l pRX I , I ,o) //' cos Çj- — ,y' + ii — 0 — (i2' — &)) + '- nXi,i,o)rjP sin (F — 2v + 2,v + 2(ii — (-)))
+ ^ ir(i ,1 ,o)^/''^ siu (F — 2V + 2,y' + 2(1'' — 0'))
— - ir( I , I ,o) rjW sin (F — 2 V + ,y + ,/ + i^ — 0 + i^' — &)
- (A - A J r/{P + /'^) siu (F' + V - V')
- Ar^T sin (F' — (v + v') + 2/y + 2(i> — 0))
— \r/I" siu (F' — (v + v') + 2,/ + 2(iJ' — 0'))
+ 2Xrj'ir sin (F' — (v + v') + ,V + //' + iJ — 0 + ii' — 0') + 2 A77' //' sin (F' + V — v' — {7y — ,y') — ( ii — 0) + ( ii' — 0'))
— 2\^rj'ir siu (F' + V — v' + ,y — 7y' + i^ — 0 — (ii' — 0')), les A étant donnés moyennant les formules
A =-ll\op,o) — ln\o,o,i),
A„ = -ir(2,o,o)— iir(2,o,i).
Les trois expressious (31), (32) et (33) se mettent, ou le voit facilement, sous la forme fondamentale généralisée; nous y arriverons prochainement.
106. Les résultats auxquels nous sommes parvenus dans le numéro précédent, s'obtiennent plus rapidement en utilisant l'expression de h donnée par l'équation (59) du n° 93. La circonstance que, néanmoins, j'ai poursuivi aussi le chemin plus long, s'explique par le désir d'atteindre le but de deux manières différentes, chose utile, lorsqu'il s'agit de résultats d'une certaine complication.
484 Traité des Orl)ites des Planètes.
En abordant les opérations qu'entraîne l'emploi de la valeur mentionnée de h , je remarque avant tout que les quatre fonctions (l>^ , . . , <l>.^ sont composées de termes appartenant partout à la synechie des indices 0,0; la multiplication par l'une ou l'autre de ces fonctions ne peut donc pas altérer les indices d'une synechie donnée. Par cette remarque, on se procure, en considérant les expressions (61, a) et (61, b) du n° 93, des formules générales que voici:
(34) Zv(/)>" h cosh(v — v'))
= - (I>AHv{ffp'^ cos(« — i)(v — v')) + Sv (/>'/?"' cos(;<+ i )(v — v'))j
+ [ </'i Zi;(^//y'^cos((H— i)\ {n+ i)v'))
+ Sv [ffp'' eus {(il + I ) V — (n — 1 ) v') — - <!>., I Sv(///7"' 8111 in — I )(v — v')) — 2^v(,oY'" sin (11 -\- i){\ — v'))
Sv(,o'/9" sin [{n — i)v — (n -\- i )v'))
— Li;(/>Vy'sin((«-f i)v— («— i)v'))j,
(35) T.^j{ffp'^'\\ sin n{Y — \'))
= - </»(, Sv(,r//>"'sin(« — i)(v — v')) + Zy (///>"' sin (/(-l- i)(v — v'))
+ 3 </^j Zy(/)7y'' sin ((«— I) V — (u -f I )v')\
+ Zi^(,o>"'.sin((«-f i)v — («— i)v'))j
+ 3 '/', iZy (/>>"■ ces (« — i)(v — v')) — Zv (////"■ cos(»+ i)(v — v')) i
+ - </-»., Yv [p\o'^' cos {{il — 1 ) V — [n -f T ) v'))
— Zy(,o',r/'' cos ((// + 0 V — (n — ' )v')) .
Ensuite, si l'on forme les dérivées partielles de l'expression de li dont il s'agit, il viendra
dh
— = — 0g sin (v— v')— <J>^ sin (v + v')+ (p.^ cos (v— v')+ 0., cos (v + v'),
-A =: (/>^ sin (V — v') — «/'j sin (v + v') — <P., cos (v — v') + 0.^ cos (v + v'),
résultats, eu vertu desquels il est facile de voir que la synechie
iv(/^^>"'?7C0s(v — v')
se met immédiatement en évidence, si, dans la formule (34), ou change (l>^ eu (P.^, 0j eu (p.^, (p.j eu — 0^, et (/'., eu — </', . légalement, ou obtient la syuechie 2^v(/oY>'" — sin (v — v')j, en faisant dans l'équation (35)
les changements indiqués. Pour obtenir les syuechies appartenant aux fonctions oii la dérivée de h par rapport à v' entre comme facteur au lieu de celle par rapport à v, il suffit de remplacer, dans les équations (34) et (35), (P„ par — (p.^, (P^ par (p.^, <P^ par (p^, et finalement (P.^ par — (p^. Ayant ramené, de la manière exposée, les syuechies qui appartiennent
aux produits renfermant uu des facteurs h , — ou - . , aux syuechies ne
dépendant d'aucune fonction anastématique, il sera facile de mettre en évidence les termes coordonnés du deuxième degré par rapport aux fonctions auastématiques.
Considérons un exemj)le spécial, en supposant:
et ne cherchons que les termes ayant pour coefficient le produit jjjy'^ multiplié par une des fonctions (p^ , ■ ■ , 0--
L'équation (12,1,2,3) du n° 59 nous fournit les valeurs
486 Tfaité des Orbites des Planètes.
avec lesquelles, faisant usage de léquatiou (34), on déduit ensuite,
'ïlvlpp'^h cos 2(v — ■ v')) ^i^V^'^'^'o cos (2v - 5V + w - sôï + TT- r+ 2{7r' — F'))
+ '^yiv"'^\ cos (2v 5 V - s- 3(5' (--/') + 2(-' - F'))
+ ië'^v"^, sin (2v 5V + S - 355' + z- F+ 2(.t' - /"))
- ^^i'(P, siu (2v - 5V- «} - 35' - (~-F) + 2{r' — n),
ou bien, eu considérant les valeurs des fonctions (P^ , . . , (I>„ données par les équations (60), (60'), (60") et (60'") du n° 93,
2^y (/7/y'^h cos 2(v — v'))
' ^r/^(r + /'Vos(2v-5V + (7}-3cTy + ;r-7^+2(;r'-r'))
+ -^7;r/V/'cos(2v-5V + w--3â>'-(,y-,y') + --i'+2(-'-i")-(.'>— 0)
+ iJ'-0')
+ ^y;V'^'cos(2v-5V-«5-3â5'+2,V-(r-r) + 2(-'-r') + 2(ii-0)) + g-îjr/'/''cos(2v-5V-â}-3âJ' + 2,y-(--7^) + 2(r'-i") + 2(iJ'-0'))
— ^)yy/V/'cos(2v-5V-cD-3cry + ,V + ,V'-(--r) + 2(;r'-7^') + l'-0
Venons maintenant aux cas qui en particulier nous intéressent, savoir aux synecbies des indices 1,0 et — 1,0, synechies qu'on peut traiter ensemble en formant immédiatement leur somme. Mais il nous faut aussi les synecbies des indices 0,1 et o, — i, dont les différents termes cooi-donnés s'obtiennent simultanément, et dont seulement la somme nous sei'a utile. Quant aux premières synecbies, il suffit d'en donner un spécimen du calcul, vu que nous les avons déjà mises en évidence par les
