Première Partie. Livre IV

ilfl

multipliée par — , reconduit à l'équation (V); mais quant aux symboles

employés, il faut des explications.

Pur [S) et (P), on a désigné les parties des fonctions S et P qui sont composées de termes du type (7?). On a, par consé(|uent, les formules

dont la seconde peut être remplacée, tout de suite, par une autre où seraient introduites les expressions détaillées des synechies respectives.

Quant aux symboles [(/)) , f] et [c , (p)], ils sont introduits afin de délxirrasser entièrement l'équation (VII) des termes d'autres formes que celle du type {B), et, l'équation (VIII) justement des termes de ce type. En conséquence, le terme — [c , (/?)] doit être égalé à la somme des termes qui n'appartiennent pas au type (B), et qui se produisent, par les diverses approximations, dans le premier membre de l'équation (VII); le terme — [(/>) , ç], est destiné à annuler la somme des termes du type mentionné apjjaraissant dans l'équation (IX).

Si l'on voulait déterminer directement la fonction ù/j = E au lieu de ç, on emploierait l'équation que voici:

:ix

dS

3 I <Hr) jJ \,ll! \ , „/ dy

dS I d\c) 1 d{r) dv„

ds

ds

2 ('■)' \''"o / i'^) <''V- {<■) dv„ I + .S' "*" I dv^^ (<•) dv, ^^^> \\ + S

520 TraitA des Orbites des Planètes.

Cette équation paraît, il est vrai, un peu plus compliquée que l'équation (IX), mais en revanche elle renferme le produit de P par — = i — 5^'\

produit dont nous supposons le dévelojjpement immédiatement donné en vertu des formules que nous avons données dans les deux derniers chapitres du livre précédent. Or, la division par i — rf' est une opération très facile; mais c'est de même (|uant à la considération des termes par lesquels l'équation (IXj) diffère de l'équation (IX). On peut donc dire que les deux éc|uations mentionnées se pi'êtent également bien à la détermination des inégalités diastématiques.

Puisque la fonction Q dépend de f, ce qui est visible, par exemple par la formule (y5) du n° 94, les équations (VI) et (IX) forment un système simultané qu'il faut intégrer. Nous allons montrer prochainement comment s'opère l'intégration demandée en tenant compte, dès le début, des termes du second ordre; pour le moment nous nous contenterons d'un résultat moins rigoureux, mais (|ui suffit ])our notre but immédiat, toutes les fois où il ne s'agit que de termes à longue période.

Nous allons voir, dans ce qui suit, que, dans l'équation (VI), le terme

-^=r sera compensé par un terme analogue se troi;vant dans l'expression

de Q, de telle manière que les termes sousélémentaires du type [A] qui

fis

sont encore contenus dans l'expression de -— seront du deuxième ordre

tout au moins. Une autre partie des termes de Q seront annulés par la fonction y, et une troisième partie, par (S). Il s'ensuit que, si l'on désignait la somme des termes à longue période par ,s', et tjue l'on posât:

les termes à longue période qui sont encore contenus dans l'expression de la fonction "ç seraient très petits. On a donc obtenu par la valeur 2,S, je ne veux pas dire une valeur approchée de ^, mais bien une expression telle de cette fonction cjne, si on la met au lieu de c, dans l'équation (VII), les termes restants, qui ne seraient pas mis en évidence, n'entreraient pas notablement agrandis dans l'expression de T.

Il convient de signaler l'équation en ç, s'obtenant immédiatement si l'on introduit, dans l'équation (IX), la valeur (24) de ç.