dix-millièmes
3 o cent-millièmes fCic.
La division de 47 par n donne le quotient entier 4 et le reste 3 ; on écrit 4 au rang des unitc's du quotient , et on place la virgule sur la droite de la partie entière 4 du quotient.
Pour trouver les chiffres décimaux du quotient, on doit diviser le reste 3 par 1 1 ; on convertit ce reste en 3o dixièmes ; la division du 1" reste 3o dixièmes par 1 1, donne le quotient 2 dixièmes et le 2' reste 8 dixièmes ou 80 centièmes-, on e'erit
2 au rang des dixièmes du quotient ; la division de 80 centièmes par II, donne le quotient 7 centièmes, et le 3' reste
3 centièmes ou 3o millièmes ; on écrit 7 au rang des centièmes du quotient. Cela posé : le 3* reste 3o millièmes ne différant du i" reste 3o dixièmes que par l’ordre de ses unités, la division de ce 3' reste par 1 1 , devra reproduire au quotient les mêmes chiffres 2 , 7, que l’on a déjà trouvés en divisant le i" reste par 1 1; et ainsi de suite. On voit que la division de 47 par II, conduit à un quotient indéfini 41272727, etc., dans lequel les chiffres 2, 7, du groupe 27, se reproduisent constamment dans le même ordre.
3 ' Exemple. Calculer le quotient de par 1,1.
Ce quotient étant le même que celui de 49t>'9 pat 1 1000, on divise 49<>>9 pat 1 1000 ; ce qui fournit le quotient indéfini 4,4562727, etc. , dans lequel les chiffres 2 , 7 , se reproduisent constamment dans le même ordre.
89. En général, la division de deux nombres, l’un par Vautre , conduira toujours à un quotient décimal exact, ou à
Dii'idende reste...
reste...
reste...
4* reste...
5 ® reste...
Il Diuisenr.
41^737^7 Quntient.
NOTES
un quotient indéfini , dans lequel plusieurs chiffres , à partir d’un certain rang, se reproduiront constamment dans le même ordre.
En effet; lorsqu’on aura trouve' la partie entière du quotient, on obtiendra les dividendes partiels qui fourniront les chiffres décimaux du quotient, en multipliant chaque reste par 10. Par conséquent, lorsqu’on aura trouvé au quotient, un nombre de chiffres décimaux tout au plus é('al au diviseur diminué de i, on parviendra nécessairement à un reste nul, ou à tm reste Jl' égal à un reste 11 déjà obtenu ('‘j. Dans le t" cas, le quotient obtenu sera exact. Dans le a' cas, la multiplication des deux restes égaux R , R', par lo fournira deux dividendes partiels égaux loR, loR', lesquels divisés par le diviseur, donneront au quotient les memes chiffres décimaux et les mêmes restes ; de .sorte qu’à partir d’un certain ordre décimal, les chilFres décimaux du quotient formeront des groupes qui se reproduiront continuellement dans le même ordre. Ce qui démontre les propriétés énoncées.
i” Remarque. Le groupe de chiffres décimaux qui se reproduit continuellement dans le même ordre, forme la période; les chiffres qui précèdent la première période forment \a partie non jtériodique; et les chiffres flécimaux placés entre la virgule et la première période, composent la partie décimale non périodique ; de sorte que U partie non périodique se compo.se de la partie entière et de la partie décimale non périodique. Lorsque la période commence imiuédiateirient après la virgule , le nombre décimal est dit périodique simple, et quand la période ne commence qu’après un certain nombre de chiffres décimaux , le nombre décimal est dit jnfriodique mixte. Ainsi, 41272727 etc., est un nombre décimal périodique simple dont la période est 27 et dont la partie entière est 4 ; rexpre.ssion 414562727 etc. , est un nombre décimal
(^) On fail abstraction de Tcspècc des uni tes represcnlccs par les restes. Ainsi, lorsqu'on dit que deux restes ou que deux dividendes partiels sont e^aux y on entend qu'ils contiennent le même nombre d'nnitês rlccirnnles.
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