Théorèmes relatif» au plus grand commun diviseur
1* Si on multiplie deux nombres par un troisième, leur plus grand commun diviseur est multiplié par ce troisième.
En effet, nous avons vu, au n" 55, 6*, que si l'on multiplie deux nombres a et b par c, le reste dé leur division est multiplié par c; les deux nombres b et ri, étant multipliés par c, le reste de leur division est aussi multiplié par c ; et ainsi de suite, jusqu'au dernier reste, qui est également multiplié par c. Or celui-ci est le plus grand commun diviseur des deux membres donnés ; donc etc.
Exemple : 15 et 7 ont pour plus grand commun diviseur 1 ; donc leurs produits par 8, 120 et 56, ont pour plus grand commun diviseur 8.
2" Si on divise deux nombres par un de leurs diviseurs communs, le plus grand commun diviseur est divisé par le nombre employé.
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On sait*(n" 55, 7**) que si ron divise deux nombres, a et 6, par un de leurs diviseurs communs, le reste de leur division est divisé par ce nombre ; soit c le diviseur employé; b et Tj, étant divisés par c, le reste de leur division est aussi divisé par c; et ainsi de suite, jusqu'au dernier reste, qui est également divisé par c. Or ce dernier reste est le plus grand commun diviseur ; donc etc.
Exemple: Les nombres 80712 et 8712 ont pour plus grand commun diviseur 72 ; si nous divisons ces deux nombres par 12, les quotients, 6726 et 726, ont pour plus grand commun diviseur 6.
Conséquence. — Les quotients de deux nombres par leur plus grand commun diviseur sont premiers entre eux.
Car le nouveau plus grand commun diviseur est égal kL
Ejtemple: 80712 et 8712 ont pour plus grand commun diviseur 72 ; leurs quotients par 72 sont 1121 et 121, et ces deux nombres sont premiers entre eux.
Donc ce qui caractérise le plus grand commun diviseur de deux nombres, parmi tous leurs diviseurs communs, c'est que les quotients qu'il fournit sont premiers entre eux.
