e Cus.—Soit à multiplier 734 X

D'après la définition, le produit doit être formé avec 734 comme 4 a été formé avec l'unité. Or, répéter 4 fois le nombre 734, revient à prendre 4 fois les unités, 4 fois les dizaines, 4 fois les centaines et faire la somme de tous les résultats, en ayant soin de reporter sur les dizaines, celles obtenues par l'addition des unités ; sur les centaines celles obtenues par l'addition des dizaines, etc.

734 4 X 4 unités = 6 unités + 1 dizaine

4 4 X 3 dizaines = 12 dizaines = ? dizaines + 1 centaine

—— 4 X 7 centaines = 18 centaines

Ce produit se compose donc de 6 unités, 3 dizaines et 29 centaines, c'est-à-dire 2936 unités.

40. Avant de démontrer le 3° cas, nous allons démontrer les principes suivants, sur lesquels est basée la démonstration du 3° cas.

41. Principe I.— Dans un produit de deux ou plusieurs facteurs, on peut intervertir l'ordre des facteurs.

En effet, je disque4X3=3X4 Car:

4X38=4+444—=12 et 3xX4=3+8+8+8—12

nn y is

42. Principe II. — Pour multiplier un nombre par un multiple ou une puissance quelconque de 10, il suffit de multiplier ce nombre par le chiffre significatif du multiple et d'ajouter à la droite du résultat uutaut de O que l'indique l'indice de la puissance.

lo Soit à multiplier 73 X 10.

Cette opération indique qu'il faut rendre le nombre 738, dix fois plus grand, c'est-à-dire exprimer chacune de ses unités dans un ordre dix fois plus grand. Il suffit pour cela, en vertu du principe de la nu:nération (16, 2) de faire avancer chacun des chiffres d'un rang vers la gauche, ce qui se fait en écrivant un zéro à la droite du nombre. On obtient ainsi 73 X 10 = 730.

20 Soit à multiplier 73 X 600.

Or 600 = 6 X 100 = 6 X 10° Donc 75 X 600 = 736 X 10 ?=

Ce qui revient à rendre les unités de 488 cent fois plus grandes, c’est-à-dire les faire avancer de 2 rangs vers la gauche, ce qui se fait en écrivant 2 zéros à la droite du nombre considéré, donc 43800. '

43. Principe III.— Pour multiplier un nombre par une somme, il suffit de le multiplier par chacune des parties de la somme et de faire la somme des produits partiels.

Soit à multiplier (& X b X c) par m.

Je dis que (a+b+c)X*m—am+bm +cm.

En effet: (a+b+c) x m = (a + b+c)+(a+b+c) + (a+b+c)...... le groupe (a + b+ c) étant répété m fois (définition de la multiplication), Or cette somme contient m fois le nombre a, m fois le nombre b, et m fois le nombre o, . donc : J

(@a+b+c)m=a+ata.. +b+b+b..+c+e+ce...

d'où

@+b+c)m=mXxa+mXxb+m X'0 et, comme* on peut intervertir l’ordre des facteurs, il vient : (@+bXc)m=aXm + 0bX m + cXxm.

44, Reprenons le 3° Cas :

Soit à multiplier 7436 X 342.

Or 342 = (2 + 40 + 300) donc :

7436 X 342 = 7436 x (2 + 40 + 300) = 7436 X 2 + 7436 X 40 + 7436 X 300 (Principe III). * Chacune des opérations indiquées dans le 2e membre de cette dernière égalité peut s'effectuer en vertu du 2° cas (39) et du principe II (42).

Or :

7436 X 2 est le produit du tultiplicande par les unités du multiplicateur.

7436 X 40 est le produit du wultiplicande par les dizaines du multiplicateur.

7436 X 300 est le produit du multiplicande par les centaines du multiplicateur.

D'où Règle.— Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre de plusieurs chiffres, il faut multplier le multiplicande par chacune des unités du muliplicuteur et faire la somme des produit partiels obtenus.

45. Preuve de la multiplication. — La preuve se fait par la multiplication des mêmes nombres, mais en renversant l'ordre des facteurs (41) Nous verrons plus loin ( )la preuve de la multiplication par un nombre quelcunque.

D.—Division.

46. Définition. — Zu division est une opération par laquelle, étant donné le produit de 2 facteurs appelé dividende, et l’un des facteurs, appelé diviseur, on demande de trouver l'autre facteur, appelé quotient.