Il y a trois sortes d’étendues

1°. L’étendue en longueur seulement,

2°, L’étendue en longueur et largeur.

3°, L’étendue en longueur, largeur et épaisseur.

66. Mesurer une étendue en longueur, c’est chercher combien de fois elle cortient une longueur connue.

67. L’étendue en longueur et largeur se nomme surface ou superficie.

68. Toutes les surfaces à 4 côtés formées par des lignes droites et parallèles deux à deux, portent le nom général de parallèlogramme.

69. Mesurer une surface, c’est chercher combien elle contient une surface connue.

70, La mesure de toutes les surfaces se réduit à celles du carré, du rectangle, du triangle, du trapèse, du losange, du cercle et de la spère.

71. Un carré est une surface renfermée par 4 lignes droites de même longueur, formant 4 angles droits, ABOD. fig. 1.

72. Un angle est l’espace contenu entre deux lignes qui se rencontrent en un point ; ce point se nomme le sommet de l'angle, fig. 2.

78. Un rectangle est un parallèlogramme dont les 4 angles sont droits, fig. 3.

74. Un triangle est une surface renfermée par trois lignes droites, fig. 4.

75. Un trapèze est une surface renfermée par quatre lignes, dont deux seulement sont parallèles, fig. 5.

76. On appelle lignes parallèles deux lignes qui sont partout également éloignées l’une de l'autre, ou bien deux lignes qui ne peuvent jamais se rencontrer à quelque distance qu’on les imagine prolongées, fig. 6.

77. Un losange est une surface renfermée par quatre lignes égales formant + angles, deux aigus et deux obtus dont chacun est égal à celui qui lui est opposé, fig. 7.

78. Un cercle est la surface renfermée par une ligne courbe appelée circonférence, dont tous les points sont également éloignés d’un point intérieur qu’on appelle centre, fig. 8.

79. La circonférence du cercle se divise en 360 parties qu’on nomme degrés.

80. Les principales lignes considérées dans le cercle sont le rayon et le diamètre.

81. Le rayon du cercle est la ligne qui mesure la distance du centre à la circonférence, CD), fig. 8.

82. Le diamètre du cercle est la ligne qui, passant par le centre, se termine de part et d'autre à la circonférence AB, fig. 8. Chaque diamètre égale donc deux rayons, et partage le cercle en deux parties égales.

83. Pour mesurer les étendues, on se sert. 1°. pour les longueurs ; de l’arpent, de la perche, de la toise, du pied et du pouce.

2°, Pour les surfaces ; du pied carré, de la toise carrée, de la perche carrée, de l’arpent carré, &c.

3°. Pour les solides ; du pied cube et dela toise cube.

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2° Dela Mesure des Surfaces.

84. On obtient la superficie d’un carré en multipliant la longueur d’un côté par elle-même.

85. On obtient la surface du rectrangle en multipliant la longueur de l’un des deux grands côtés par celle de l’un des deux petits.

86. On obtient la surface d’un triangle en multipliant sa hauteur par sa base, et prenant la moitié du produit.

87. La hauteur d’un triangle est une ligne qu’on imagine partir de son sommet, c’est-à-dire de l’un de ses angles, et tomber perpendiculairement sur le côté opposé, qui, pour lors, est considéré comme la base de ce triangle ; telle est AB, fig. 4.

88. Pour obtenir la surface du trapèze, il faut additionner la longueur des deux côtés parallèles AB, CD, fig. 5, en prendre la moitié, et la multiplier par la hauteur EF, c’est-à-dire, par la longueur de la distance perpendiculaire de ses deux côtés. €

89. Pour obtenir la surface du losange, il faut multiplier la base CD par la hauteur AB, fig. 7, c’est-à-dire par la ligne qui, partant de l’un des côtés pris pour base s'élève perpendiculairement vers le côté opposé.

90. Pour obtenir la surface d’un cercle, il faut multiplier la longueur de la circonférence par la moitié du rayon ou le quart du diamètre.

91. Onobtient la longueur de la circonférence par cette proportion, 7 : 22 comme le diamètre donné est à la circonférence du cercle auquel il appartient.

92. Si l’on ne connaissait que la circonférence d’un cercle, on trouverait son diamètre par cette autre proportion, 22 :7::la circonférence donnée est à son dia-

mètre.

93. Pour obtenir la surface de la couronne ABC, fig. 9, il faut retrancher la surface du petit cercle de celle du grand, considéré comme contenant la superficie totale.

94. Pour obtenir la superficie de la sphère, il faut multiplier la longueur de sa circonférence par son diamètre.

95. Pour évaluer la surface des autres polygones, réguliers ou irréguliers, tels que la fig. 10. il faut les diviser en triangles par des diagonales, les évaluer séparément, et ensuite additionner les produits.

96. Pour obtenir la surface du cône, fig. 13, il faut multiplier la longueur de la circonférence ABC, par la moitié de la distance du sommet à cette circonftrence.

97. Pour obtenir la surface du cylindre, appelé vulgairement rouleau, fig. 12, il faut multiplier la longueur de sa circonférence par Ja longueur totale du cylindre.

Si les circonférences des extrémités n'étaient pas égales, onles additionnerait, et on multiplierait la moitié de la sommépar la longueur du cylindre.

Les surfaces des cubes et des prismes formant des carrés et des rectangles, ct celles des pyramides formant des triangles, il est aisé d’en avoir la superficie.

98. Les surfaces des figures semblables sont entreelles comme les carrés de leurs lignes homologues.

Questions sur la Mesure des Surfaces.

Combien y a-t-il de sortes d’étendues ? 65, Qu'est-ce que mesurer l'étendue en longueur ? 66. Qu'est-ce qu’une surface ou superficie? 67. Qu'est-ce qu'un parallèlogramme? 68. Qu'est-ce que mesurer une surface ou superficie? 69. A quoi se réduit la mesure de toutes les surfaces ? 70. Qu'est-ce qu’un carré ? 71. Qu'est-ce qu'un angle ? 72. Qu'est-ce qu'un rectangle ? 73. Qu'est-ce qu'un triangle ? 74 Qu'est-ce qu’un trapèze ? 75. Qu’entendez-vous par lignes parallèles ? 76. Qu'est-ce qu’un

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losange? 77. Qu'est-ce qu'un cercle? 78. En combien de parties ge divise la circonférence? 79, Quelles sont les principales lignes considérées dans le cercle ? 80, Qu'est-ce que le rayon ? 81. Qu'est-ce que le diamètre ? 82, De quelle mesure se sert-on ordinairement pour comparer les étendues ? 83, Comment se trouve la superficie d’un carré ? 84. Que faut-il faire pour obtenir Ja surface du rectangle ? 85, Que faut-il faire pour obtenir la surface d’un triangle? 86. Qu'est-ce que la hauteur d'un triangle?

87. Que faut-il faire pour obtenir Ja surface du trapèze? 88. Que

faut-il faire pour obtenir la surface du losange? 89, Que fant-il

faire pour obtenir la surface du cercle? 90, Comment trouve-t-

on la longueur de la circonférence? 91. Et si l’on ne connaissait

que la circonférence comment trouverait-on le diamètre? 92. Que

faut-il faire pour avoir la surface de la couronne ABC, fig. 9? 93.

Que faut-il faire pour obtenir la superficie de la sphère? 94. Que

faut-il faire pour évaluer la surface des autres polygones,

réguliers on irréguliers, fig. 10? 95. Que faut-il faire pour obtepir la surface du cône, fig. 13? 96. Que faut-il faire pour obte-

nir la surface du cylindre, fig. 12? 97. Quel est le rapport des

surfaces des figures semblables? 98,

Exercices sur les Surfaces.

P. 225. Quelle est la superficie d’un terrain de forme carrée ayant 20 toises de côté ?

P. 226. Quelle est la superficie d’un jardin formant un carré long de 40 toises sur 30 de large ?

P. 227. Quelle est la surface d’un pré formant un triangle de 60 toises 2 pieds de base sur une hauteur de 48 toises 5 pieds ?

P. 228. Quelle est la surface d’une cour formant un trapèze, dont un côté a 34 toises, l’autre 56, et dont la hauteur est de 25 toises?

P. 229. Quelle est la surface d’un jardin en forme de losange, ayant 44 toises 7 de base, sur 38 toises -*, de perpendiculaire ?

P. 230. Quel est le diamètre d’un cercle de 44 pieds de circonférence ?

P. 231. Quelest le rayon d’un cercle de 350 pieds de circonférence ?

P. 232, Quelleest la surface d’un étang de forme circulaire, ayant 50 toises de circonférence ?

P. 233. Quelle est la superficie d’une colonne de 17 pieds de hauteur sur 7 de circonférence ?

P. 234. Un cône ayant 12 pieds de circonférence et 6 de hauteur, doit être peint à 3 sch. Gd. le pied ; combien faut-il payer ?

P. 235. Un bassin a 136 nieds de diamètre ; quelle est sa superficie ?

P. 236. Quelle est la superficie d’un terrain régulier ayant 490 toises de longueur sur 320 de largeur ?

P. 237. On donne 10 sous par toise pour cultiver une terre de 30 arpents ; que faut-il payer pour ce travail ?

P. 238. Combien faut-il de planches de 12 pieds 4 de longueur et 6 po. de largeur pour boiser une chambre de 30 pieds de longueur et 24 de largeur, si la boiserie doit monter à 6 pieds ?

P. 239. On afait peindre une porte de 6 pi. de haut sur 4 pi. de large à 2 sch. le pi. pour le dehors et 1 sch. 3d. pour le dedans ; combien faut-il payer ?

P. 240. Que faut-il payer pour faire crépir une pyraraide quadrangulaire, dont chaque triangle a 18 pieds de base et 60 de hauteur, à 1 sch. 3d. le pied ?

P. 241. Un puits ayant 45 pieds de profondeur et 12 pi. de circonférence, a été cimenté pour 180 sch. ; à combien revient le pied ?

P. 242. Les 4 côtés d’une citerne ont été cimentés

4 pieds O0 pieds , forme e de 17

rence et d ; com-

; quelle régulier

ir ?

cultiver

pour 192 sch. ; quelle est sa hauteur, sachant que les quatre côtés parfaitement égaux ont 12 pieds de large, et qu'on a payé 1 sch. du pied carré ?

2°. Définitions des Solides.

99. L’étendue en longueur, largeur et épaisseur se nomme volume, corps ou solides.

100. Pour évaluer la solidité des corps, on cherche le nombre de pieds cubes qu’ils contiennent.

101. Les solides que l’on a le plus ordinairement à mesurer sont lé cube, le cylindre, le cône, la pyramide, la sphère ct le prisme.

102. Le cube est un solide dont les six faces sont des carrés égaux, fig. 11.

103. Un cylindre, vulgairement appelé rouleau, est un solide dont les bases sont deux cercles égaux et parallèles, fig. 12.

104. Un cône, dont la forme est celle d’un pain de sucre, est "in solide qui a un cercle pour base, et dont les lignes élevées au-dessus aboutissent toutes à un point qu’on nomme sommet, fig. 13.

105. Une pyramide est un solide qui a pour base un polygone quelconque, et pour côtés des triangles dont les sommets se réunissent tous en un point commun, nommé le sommet de la pyramide, fig. 14.

106. La sphère est un solide renfermé par une surface dont tous les points sont également éloignés d’un point intérieur qu’on nomme centre, fig. 15.

107. Un prisme est un solide dont 2 faces opposées, appelées bases, sont parallèles, et les autres sont des parallèlogrammes, fig. 16.

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4, De la Mesure des Solides.

108. Pour obtenir la solidité du cube, fig. 11, il faut multiplier la surface de sa base par sa hauteur.

109. Pour obtenir la solidité du cylindre, il faut multiplier la surface de la base par la hauteur de ce solide.

110. Pour obtenir la solidité d’une pyramide, il faut multiplier la surface de la base par le tiers de la hauteur de la pyramide.

111. Pour obtenir la solidité du cône, il faut multiplier la surface de sa base par le tiers de sa perpendiculaire abaissée du sommet sur le centre du cercle qui lui sert de base.

112. Si le cône était coupéen DE, fig. 13, ilfaudrait en chercher la hauteur par cette proportion ; AC—DF : IB:: DE : la hauteur de la partie retranchée. Ayant ensuite calculé la solidité de cette partie retranchée, on la soustrairait de la solidité totale du cône, considéré comme entier. Il en serait de même de la pyramide tronquée parallèlement à sa base,

113. Pour obtenir la solidité de lasphère, il faut multiplier sa surface par le tiers du rayon.

114. Pour obtenir la solidité d’un prisme, il faut multiplier la surface de sa base par sa hauteur.

115. Si les bases ou extrémités du prisme n'étaient pas égales, on les décomposerait en prismes et en pyramides, suivant la forme de l’objet ; et les ayant calculées séparément, on joindrait tous les produits partiels.

116. Pour obtenir la solidité des corps irréguliers, on les décompose par tranches représentant des prismes ou autres corps réguliers faciles à évaluer.

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117. Les solides semblables sont entre eux comme le cube de leurs lignes homologues.

Questions sur les Solides.

Comment nomme-t-on l'étendue en longueur, largeur et épaisseur ? 99. En quoi consiste ia mesure des corps ou solides? 100 Quels sont les solides que l’on a le plus ordinairement à mesurer ? 101. Qu'est-ce qu’uncube? 102. Qu'est-ce qu'uncylindre vulgairement appelé rouleau? 103. Qu'est-ce qu’un cône? 104. Qu'est-ce qu’une pyramide? 105.Qu'est-ce que la sphère? 106.Qu'’est-ce qu’un prisme? 107. Que faut-il faire pour obtenir la solidité du cube? 108. Que faut-il faire pour obtenir la solidité du cylindre? 109. Que faut-il faire pour obtenir la solidité d'une pyramide? 110, Que faut-il faire pour obtenir la solidité du cône? 111, Si le «one était tronqué en DE, fig. 13, que faudrait-t-il faire? 112. Que faut-il faire pour avoir la solidité de lasphère? 113, Que faut-il faire pour avoir la solidité d’un prisme? 114. Si les bases ou extrémités n'étaient pas égales, comment obtiendrait-on la solidité de ce prisme ou parallelipipède? 115. Comment obtiendrait-on la solidité des corps irréguliers? 116. Quel est le rapport des solides semblables? 117.

Exercices sur la Solidité des Corps.

P. 243. Quelle est la solidité d’un cube, ayant 6 rieds

de côté ?

P. 244. Quelle est la solidité d’un cube, dont chaque surface a 16 pieds carrés ?

P. 245. Quelle est la solidité d’un cylindre de 8 pieds de hauteur, et dont chaque cercle est de 20 pieds carrés ?

P. 246. Quelle est la solidité d’un cône ayant 15 pieds de hauteur, et dont le cercle qui lui sert de base a 25 pieds de circonférence ?

P. 247. Quelle est la solidité d’un cône tronqué dont

le petit diamètre est de 16 pieds, le grand de 24, et la hauteur de 14.

P. 248. Quelle est la solidité d’une pyramide de 36 pieds de hauteur, et dont la base est un triangle ayant 18 pied: de base sur 12 de hauteur ?

P. 249. Quelle est la solidité d’une sphère de 36 pieds de circonférence ?

P. 250. Un vase triangulaire, dont chaque surface est de 3 pieds et la hauteur de 4, est plein d’eau ; combien en contient-il de pieds cubes ?

P. 251. L’eau contenue dans un puits de 34 piedsde diamètre, et à la hauteur de 16 pieds, doit être mise dans un bassin de 4 pieds de long sur 3 de large ; à quelle hauteur s’élèvera-t-elle ?

P. 252. Deux vases, l’un cylindrique ,ayant 10 pieds de surface et 6 de hauteur, l’autre de forme cubique, ayant 4 pieds de côté, sont pleins d’eau ; quel est celui qui en contient d'avantage ?

P. 253. Quel est le cube d’une pièce de bois de 25 pieds de longueur, sur 1 pi.4 de largeur, et 1 pi. à d’épaisseur ?

P. 254. Un puits de 7 pieds de circonférence contient 112 pieds cubes d’eau ; à quelle hauteur est-elle ?

P. 255. Un bassin rond ayant 12 pi. de hauteur, 132 de circonférence est plein d’eau ; combien en contientil de pieds cubes ?

P. 256. Combien faut-il de pieds cubes d’eau pour remplir un bassin cylindrique ayant 11 pieds de hauteur et 132 de circoni rence.

P. 257. Quel est le cube d’une spbire de 3} pieds de diamètre ?

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P. 258. On a creusé un puits de 3 pi. 2 pouces de diamètre, et 45 pieds 8 pouces de profondeur ; quelle quantité de déblais en a-t-on extrait ?

P. 259. Une citerne de 12 pieds de hauteur, de 15 pieds de longueur et de 9 pieds de largeur est pleine d’eau ; combien en contient-elle de pieds cubes?

P. 260. Quelle quantité d’eau contient un fossé long de 120 pieds, et dont le haut à 6 pieds 4 pouces de

largeur, et le bas 3 pi. 10 pouces, la profondeur étant de 6 pieds.