DES PROGRESSIONS
176. © appelle progressions : 10 une suite plus ou moins n0: breuse de termes dont la différence du premier au deuxième est la même que celle du deuxième au troisième, que celle du troisième au quatrième, etc.
Telles sont les suivantes :
mA0C TES 20 0:68
Dans le premier exemple, la progression est crois. sante, et dans le deuxième elle est décroissante. La différence qui esi la même entre tous les termes consécutifs, est appelée raison de la progression.
20 C’est aussi une suite de termes dont le rapport par quotient est le même entre tous les termes consé-
cutifs + 3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96 est une progression par quotient croissante ; + 198 : 64 :32:16:8:4:9 est une progression par quotient décroissante. Le quotient d’un terme quelconque, divisé par celui qui le précède, est appelé raison de la progression.
Dans le premier de ces exemples, la raison est 2 ; car $=—=? et 42—7, etc.; et dans la deuxième la raison est + : car f—+ et =, etc.
177. Les progressions par différence se nomment pro. gressions arithmétiques ; on les fait précéder d’un trait horizontal placé eutre deux points (+) et on place un point entre chaque terme de la progression ; les progressions par quotient se nomment progressions géo: n.* +iques : on les fait précéder d’un trait horizontal place . . tre quatre points (-:) on sépare par deux points chaque terme de cette espèce de progression.
Des progressions arithmétiques.
178. Chaque terme d’une progression arithmétique est composé du premier plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui, si la progression est érois. sante, et moins autant de fois la raison, si la progression est décroissante. Aiusi dans la progression + 2, 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16., le deuxième terme 4 est composé du premier terme + la raison qui est2; le troisieme 6 est composé du premier terme 2+2 fois la raison, parce qu'il y a deux termes avant lui. En effet, 2 +2 +2—6 ; le 8e terme 16 est composé du premier terme 2+7 fois la raison 2+ (7 x 2i—16.
De même dans la progression décroissante +15. 12. 9. 6. 3. le 2e terme est composé du 1er—la raison qui est3, En effet, 15—3—12 : le troisième est composé
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sante +15. 12.
-la raison qui e est composé
du 1er—2 fois la raison: 15—(3x3)=9 ; le 5e terme est Composé du 1° —4 fois la raison : 15—(3 x 4)= 8,
179. De ce qui précède on doit conclure : 40 que pour avoir un terme quelconque d’uue progression arithmé. tique dont on connaît le premier terme, il faut multiplier la raison par le nombre égal à celui des termes qui doivent précéder celni qu’on cherche, et ajouter le produit au premier terme de la progression si elle est croissante, et au contraire l'en retrancher si elle est décroissante.
Ainsi soit proposé le problème suivant :
Un escalier à 24 marches : la première a 6 pouces de hauteur, et les autres 7 pouces chacune : quelle est l’élévation de la dernière au-dessus du sol ?
Solution : La dernière marche est élevée au-dessus du sol de 23 fois 7 pouces + 6 pouces, ou de 23 fois la raison de la progression qui est 7 pouces + le premier terme qui égale 6 pouces. En opérant nous avons (23x7)+6=R. 13 pieds 11 pouces.
Exemple pour une progression décroissante :
Un escalier a 24 marches de chacune 7 pouces: la
|dernière est à 13 pi 11 po. au-dessus du sol : on deman-
de quel est l'élévation de la première marche. Solution : La 24e marche est élevée au-dessus du sol
de 23 fois 7 pouces, raison de la progression, + la hau-
teur de la première marche : donc. en retranchbant 23
fois ? pouces de 13 pi. 11 pouces, le reste égalera l’élé-
vation de la première marche.
Opération : 43 pi. 1 po.—{7 x 23) = 6 pouces. 29 Que pour avoir le premier terme d’une progres-
sion dont on connaît le dernier terme et la raison si la
progression est croissante, il faut soustraire de ce der-
nier terme le produit de la raison par le nombre de |
termes qui précède le dernier, le reste égalera le pre. mier : si la progression est décroissante, il faudra ajouter le produit au dernier terme.
30 Que pour avoir la raison d’une progression il faut soustraire le plus petit des deux termes connus de l’autre, et diviser le reste par le nombre de termes compris entre ces deux termes connus, | +.
180. L’une des propriétés principales des progressions arithmétiques et que la somme du premier et du dernier terme est égale à celle du deuxième avec l’avant-dernier,etc. En effet, soit la progression sui: vante de six termes :
8 0 9 PA 10 Te
Le dernier terme 18 se compose du premier terme 3 et de 5 fois la raison qui estaussi 3, c’est-à-dire de 3 + 5 fois 3; mais le deuxième terme est composé du premier terme 3 et d’une fois la raison. c'est-à-dire de 3 x3et le cinquième du premier+4 fois la raison, c’est -à dire de 3+4 fois3. En rapprochant ces termes nous aurons pour la somme du premier et du dernier 3+3 +5 fois 3=(5x3)+6—=21; et pour celle du deuxième avec l’avant-dernier 3+2 h 3+3 fois 4 ou 3+3+5 fois 3ou6+(5x3)=21; donc, etc.
Pour faciliter ces sortes d'opérations, nous représenterons le premier terme par P. le dernier par D, la raison par R, le nombre de termes par N ; N—1 représentera le nombre de termes qui précèdent le dernier, et la somme sera représentée par S en nous servant des signes usités dans cet ouvrage. Ce qui sera mis entre deux crochets doit être opéré, avant de poser le reste.
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l'unité, autres.
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formules Générales.
Pour le premier terme, P=—D—R x (N—1)
Pour le dernier terme D—P +R x (N—1)
Pour la raison, R—(D—P)>(N—i)
Pour le nombre des termes, N—D—P3R +1
Pour la somme, S—(P x D) x N>2.
S'il manque un terme pour une formule on le cher. chera par le moyen d’une autre. La première formule se lit ainsi: Le premier terme égale le dernier moïns la raison multipliée par le nombre des termes diminué de l'unité, c'est-à-dire moins le dernier terme : ainsi des autres.
Exercices sur les progressions arithmétiques.
P. 1064. On demande le 18e terme d’une progression arithmétique dont le premier est 4 et la raison 5.
P. 1065. Connaissant que le 18e terme d’une pro
à gression arithmétique est 89 et que la raison est 5, on à demande le 1er terme.
Hé]
P. 1066. Un débiteur a 18 créanciers ; il doit 89 sch. du dernier, la somme qu’il doit aux antres va en dimivuantde 5 sch. : on demande combien il doitau premier.
P. 1067. Un particulier a acquitté une dette en plusieurs paiements ; le premier a été de 4 sch. et le dernier äe 89 sch.; chaque paiement augmentait de 5
| sch. ; on demande combien il a fait de paiements.
P. 1068. Une dame charitable a donné tous les jours de l’année l’aumône à un pauvre ; le premier jour elle lui donna 10 sous, le second 25 ; en augmentant ainsi
| de 15 sous : eombien lui donna-t-elle le dernier jour ?
era mis entre |
oser le reste.
P. 1066. Un particulier voulant favoriser un jeune
È homme, lui donna le 1er jour de jan 10 sous ; on ne dit
pas combien il lui donna les autres jours, mais on sait À je mu que le don du dernier jour montait à 54 sch.; com- E 24 po: bien le jeune homme a:til reçu en tout ?. 20 Ç
Sion g
OU que et —. . F élevée
DES PROGRESSIONS GEOMÉTRIQUES (26). À nes qi
181. Un terme quelconque d’une Progression géomé-R Ain: trique est composé du premier terne multiplié par la Fdont I: raison, élevée à une puissance marqnée par le nombre 24 par de termes qui doit précéder celui qu'on cherche, 30 Q
Par exemple : soit la progression 3: 6:19 : 24 : 48: métriq 96, dont la raison est 2 : le deuxième terme est com- Bil faut posé du premier 3 x 2—6 : le troisième est composé de fre du q deux fois 3 multiplié par la raion 2; donc, 3x2 x2— Enombr 12,, c'est-à dire du premier terme 3 muliplié par le nus, pl carré (2 x 2) ou la deuxième puissance de la raison; leR Pare
Guatrième est composé du troisième (3x2 x 2), multi- Bprogres plié aussi par la raison 2 : donc, de 3 x 2 x 2x 2, c’est à. Met le si) dire du premier terme 3 multiplié par le cube ou la multipl troisième puissance de la raison : on le démontrerait M?, #$— de méme pour les autres termes : donc, etc. pour la
