Tome IV; 1881 10 fr

Cet Ouvrage est principalement destiné à l'usage des candidats à la Licence et à l'Agrégation pour les Sciences mathématiques. L'auteur s'est attaché à développer son sujet avec clarté et à suivre constamment les méthodes rigoureuses, conformes aux exigences de la Science moderne. Sans dépasser les limites d'un Cours élémentaire, il a particulièrement insisté sur les théories qui préparent aux applications plus élevées des Mathématiques, et que sa longue expérience de l'enseignement lui a fait reconnaîtra comme les plus propres à intéresser les élèves et à élargir leurs idées.

Le Cours de Calcul infinitésimal de M. HoQel est divisé en six Livres, précédés d'une IxTRODccTio!* dans laquelle l'auteur expose les premières notions sur la théorie générale des opérations, théorie dont l'importance va chaque jour s'accroissant, depuis les travaux de Garmichael, de Boole, de Hankel, de Grassmann et d'autres géomètres contemporains, et dont on peut dire qu'elle comprend les Mathématiques pures tout entières. Des principes les plus simples de celte théorie on déduit la signifîcation et les propriétés des signes d'opération nommés, dans l'ordre de leur généralité, quantités arithmétiques, quantités algébriques positives ou négatives, réelles ou imaginaires. Tel est l'objet des deux premiers Chapitres de l'Introduction, qui comprennent un résumé substantiel de l'Algèbre des quantités complexes, exposée à l'aide de la représentation géométrique, qui est ici le mode de notation le plus clair.

Le Chapitre III contient un Traité élémentaire des déterminants, où l'auteur se borne à établir les propositions de cette théorie qui seront invoquées dans le corps de l'Ouvrage.

Livre I : Principes fondamentaux du Calcul infinitésimal. — Le Chapitre I de ce Livre traite de la notion de l'infiniment petit et de l'infiniment

grand. Après avoir exposé divers théorèmes fondameotaux sur la continuité des fonctions, et défini les infiniment petits des divers ordres, l'auteur « à l'exemple de son ancien maître, Duhamel, établit les deux théorèmes sur la substitution des infiniment petits dans la recherche des limites de rapports ou de sommes, théorèmes qui forment la base de tout le Calcul infinitésimal.

Le Chapitre II renferme les applications des principes précédents : définition de la dérivée, mtroduite soit par la considération du problème des tangentes, soit par celle de la vitesse; notation des différentielles. L'auteur a conservé la définition de la différentielle comme représentant soit l'accroissement infiniment petit de la variable, indépendante ou non, soit ce même accroissement altéré d'une fraction infiniment petite de lui-même, ce qui ne change en rien les limites de rapports ou de sommes. Cette définition, adoptée d'abord, puis abandonnée par Duhamel, a l'immense ayantage d'habituer les commençants à raisonner directement sur les quantités infiniment petites, sans se relâcher d'une complète rigueur; elle permet ainsi d'employer en toute sûreté les démonstrations synthé> tiques dans les questions de Géométrie et de Mécanique, et de traduire immédiatement en constructions géométriques les expressions différentielles que l'on veut étudier. D'ailleurs, les critiques qui ont pu être adressées à cette définition n'ont pas autant d'importance qu'on pourrait le croire; il ne s'agit pas ici des principes, qui sont toujours les mêmes, mais de la convenance qu'il peut y avoir à désigner par le mot différentielle toute une catégorie de quantités pouvant se remplacer mutuellement, ou une seule de ces quantités.

M. HoQel, suivant l'exemple donné par Cournot et auquel les auteurs modernes tendent de plus en plus à se conformer, a supprimé la division absolue du Calcul infinitésimal en Calcul différentiel et Calcul intégral, les deux opérations, inverses l'une de l'autre, de la diiïérentiation et de l'intégration pouvant dès le début se porter un secours mutuel, parfois indispensable.

Dans ce Chapitre sont traitées les questions suivantes : propriétés des dérivées; théorème fondamental sur la valeur moyenne de la dérivée; différentielle totale d'une fonction d'un nombrequelconque de variables; intégrales définies et indéfinies; différentiation et intégration des fonctions élémentaires; dérivées d'ordre quelconque; leur calcul direct; leur expression au moyen des différentielles des divers ordres; ehangement de variables; différentielles et dérivées partielles d'ordre quelconque; déterminants fonctionnels.

Livre II : Applications analytiques du Calcul infinitésimal. — Le Chapitre I contient les développements en séries au moyen des théorèmes de Taylor el de Maclaurin. Un paragraphe est consacré à la définition des fonctions exponentielles et circulaires d'une variable complexe et de leurs fonctions inverses.

Le Chapitre suivant donne les applications de la différentiation à la recherche des vraies valeurs des expressions indéterminées, à la théorie des maxima et minima, et à la décomposition des fonctions rationnelles en fractions simples.

Le dernier Chapitre traite des méthodes pour l'intégration des fonctions explicites : remarques sur le passage des intégrales indéfinies aux intégrales définies; différentiation sous le signe/; intégrales multiples; changement de variables dans ces intégrales; calcul des intégrales définies; intégrales eulériennes; calcul approché des intégrales définies, d'après une méthode fondée sur l'étude des fonctions de Bernoulli.

Telles sont les matières contenues dans le Tome I. Le Tome II comprend le Livre III et les quatre premiers Chapitres du Livre IV.

LiVRB III : Applications géométriques du Calcul infinitésimal. 1 Cliapitre I : Applications du Calcul différentiel aux courbes planes. — Le dernier paragraphe contient une exposition des principes du Calcul des équipollences de Bcllavitis, avec de nombreux exemples.

Chapitre II: Applications du Calcul diiïérentici aux courbes non planes ei au\ surfaces.

Chapitre fil : Applications de l'intégration au calcul des aires, des volumes, des centres de gravité, etc.

Livre IV : Tliéorie des équations différentielles à une seule variable indépendante.

Chapitre I : Considérations prciiminaires sur la formation des équations Hiiïc caiielles par l'climination des constantes arbitraires. Démonstration du lliéorème de Cauchy, qu'u/ie équation différentielle d*ordrc quelconque n entre deux variables admet une intégrale générale contenant n constantes arbitraires distinctes.

Chapitre II : Intégration des équations dirTércniicllcs du premier ordre. Solutions singulières; méthode inédite de P. -H. Blanchet pour distinguer les solutions singulières des intégrales particulières.

Chapitre III : Cas où une équation différentielle d'ordre qiieiconi|uc peuts'inicgrer complètement par les quadratures, ou du moins se ramener à une équation difrérenticile d'ordre inférieur.

Dans le Chapitre IV, la théorie générale des équations diiïérentici les linéaires est traitée avec tout le développement que peut comporter un Cours élémentaire. Si l'auteur s'est abstenu d'aborder les nouvelles tlicories, fondées sur des parties de l'Analyse plus élevées que celles qui rentrent dans son programme» il a du moins exposé les questions du domaine des éléments avec tous les détails nécessaires, en simplifiant considérablement les calculs par l'introduction des symboles d'opérations, dont les géomètres anglais ont tiré si grand parti.

La fin du Chapitre présente un aperçu de la méthode de Laplace pour l'intégration des équations linéaires au moyen des intégrales définies.

Le Chapitre K, avec lequel commence le Tome 111, est consacré à l'étude des systèmes d'équations diiïêrenticllessimultanées, et particulièrement des systèmes d'équations linéaires, où l'usage des symboles d'opérations est encore du plus grand secours.

Le Chapitre Vi contient les premiers éléments du Calcul des variations, restreints au cas d'une seule variable indépendante.

Livns V : Équations différentielles à plusieurs variables indépendantes.

Le C/uipitre J traite des équations aux diiïérentielles totales du premier crdre et du premier degré à deux variables indépendantes.

Le Chapitre II a pour objet la théorie des équations aux dérivées partielles. Après avoir étudié la formation des équations linéaires aux dérivées partielles par l'élimination des fonctions arbitraires, en prenant pour exemples les équations des principales familles de surfaces, l'auteur indique la formation des ('qnations non linéaires comme une extension de la recherche des surfaces enveiitppes. H expose ensuite les procédés d'intégration pour les équations linéaires ilu premier ordre en général, pour les équations non linéaires à deux variables indépendantes et pour certaines équations linéaires d'ordres supérieurs.

Chacun de ces cinq premiers Livres est suivi d'un recueil d'énoncés d'exercices Mir les matières traitées dans ce Livre. C'est à dessein que l'auteur n'a pas ajouté les solutions aux énoncés, malgré les avantages que peut avoir cette addition. D'abord, outre les excellents Hecueils de MM. Frenet et Tisserand, il existe, en Allemagne et en Angleterre, de nombreuses collections de problèmes sur la haute Analyse, où les solutions sont plus ou moins développées, et que l'on peut consulter au besoin. D'autre part, la présence de la solution sous les yeux de l'étudiant détruit souvent tout l'intérêt du problème et favorise une certaine paresse involontaire. Dans la plupart des cas, on peut suppléer avan> tageusement à l'indication de la solution par une Térification au moyen d'un

calcul inverse, ce qui constitue un second exercice, soaTent aussi frucoienx que le premier.

Le Livre VI, qui termine l'Ouvrage, contient les Élément» de la théorie de* fonctions de variables complexes, aTCC des applications à la Théorie des fonctions elliptiques.

Le Chapitre I traite de la théorie des fonctions uniformes, fondée par Cau chy et exposée, sous une forme simplifiée, dans les Ouvrages de Riemann, de Durège, de Neumann, de Hankel : caractères des fonctions synectiques; leur reprcseoiation sur la sphère et sur le plan antipode; intégrales le long d'un contour; intégrales autour d'un point (résidus); généralisations du théorème de Taylor par Cauchy et par P. Laurent; étude d'une fonction uniforme autour d'un zéro ou d'un infini; développement d'une fonction qui a un nombre limité d'infinis dans une aire donnée.

Dans le Cluxpitre II, l'auteur donne les principales applications des théories précédentes : extension du théorème de Sturm aux racines complexes des équations algébriques; développement des fonctions synectiques en séries périodiques; série de Fourier (son étude est placée ici pour faire bien ressortir la (lifTérence de nature de cette question et de la précédente, malgré la ressemblance de forme des deux développements) ; séries de Bflrmann et de Lagrange; développements en séries de fractions simples et en produits infinis; calcul des inLcgrales définies.

Le C/iapitre ///donne la théorie des fonctions multiformes et des intégrales multiformes, et en particulier des intégrales à périodes, en prenant pour exemples les intégrales logarithmiques, circulaires et elliptiques.

Le quatrième et dernier Chapitre constitue un Traité élémentaire des fonctions elliptiques. Dans les deux premiers paragraphes, l'auteur explique comment on réduit aux formes normales de Legendre toute intégrale portant sur une fonction rationnelle d'une variable x et de la racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré en x, et il établit les principales propriétés des fonctions elliptiques qui se déduisent du théorème d'addition d'Euler. Il expose ensuite, d'après les méthodes de MM. Briot et Bouquet ( Théorie des fonctions chuélément périodiques, 1869), les divers modes de développement des fonctions elliptiques, en séries de fractions simples, en produits infinis, en séries périodiques, et fait connaître les principales propriétés des fonctions 5*. Après avoir démontré la transformation de Landen, il en indique l'usage pour le calcul numérique des intégrales elliptiques.

Les deux paragraphes suivants contiennent les propriétés les plus simples des intégrales de deuxième et de troisième espèce, et l'Ouvrage est terminé par des Tables abrégées des valeurs des fonctions elliptiques, avec une instruction sur leur usage.

D'après cet aperçu, nécessairement incomplet, on peut aisément reconnaître que toutes les matières exigées par les programmes de la Licence et de FAgrégation pour les Sciences mathématiques s'y trouvent traitées avec détail, en tenant compte de tous les perfectionnements apportés dans ces derniers temps aux méthodes d'enseignement. Grâce à des explications claires et détaillées, aux nombreux exemples développés, au choix scrupuleux des notations les plus simples et les plus expressives, grâce surtout aux soins apportés â la rigueur des raisonnements, les lecteurs trouveront dans cet Ouvrage un guide commode et sûr pour l'étude des éléments de l'Analyse et une excellente préparation pour aborder les théories plus élevées des Mathématiques.

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