CHAPITRE VI
PRÉDICTION DES PHÉNOMÈNES RELATIFS AUX DISPARITIONS PÉRIODIQUES DE L'ANNE.\U DE SATURNE.
I. — Disparition et réapparition de l'anneau de Saturne. Détermination des éléments qui fixent sa position.
La figure sous laquelle ranneau de Saturne nous apparaît est relie d'une ellipse lumineuse dont le petit axe varie selon le degré d'obliquité sous lequel on Texainine, et qui s'aplatit de plus en plus jusqu'à disparaître entièrement à certaines époques. Cette disparition qui se reproduit deux fois durant la révolution de Saturne, c'est-à-dire à des intervalles de quinze ans, peut avoir lieu de trois manières différentes :
i® Lorsque le plan de Tanneau passe par le centre du Soleil, car alors l'anneau n'est plus éclairé que par sa tranche dont l'épaisseur est trop petite pour nous rendre perceptible la lumière qu'elle réfléchit.
2® Lorsque le plan de l'anneau passe par l'œil de l'observateur, puisqu'il ne voit alors l'anneau que par son épaisseur.
3° Enfin lorsque le plan de l'anneau passe entre le Soleil et la Terre, car alors la surface éclairée n'est pas tournée vers nous et devient par conséquent invisible.
Soient
Qla longitude moyenne du nœud ascendant de l'anneau sur récliptique
à rinstant t ; N la longitude moyenne du nœud ascendant de l'anneau sur Téquateur ; t rinclinaison moyenne du plan de Tanneau sur l'écliptique ; 1 rinclinaison moyenne du plan de Tanncau sur Téquateur ; CD Tobliquité de Tëcliptique ; a l'ascension droite géocentrique de Saturne ;
3o( TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE Vf.
0 sa déclinaison gcocentrique ;
X la longitude hélioconirique de Saturne ;
^ sa latitude héliocentrique ;
a le grand axe de Tanneau à la moyenne distance de la planète;
A la distance de la Terre à Saturne ;
r la moyenne distance du Soleil à Saturne:
p l'angle de position de la partie inférieure de Panneau ou Tinclinaison du
demi-petit axe nord de Tanneau sur le cercle de déclinaison : cet angle
est positif à Vest et négatif à Vouest ; a' la grandeur apparente du grand axe de Panneau extérieur; b' la grandeur apparente du demi-petit axe de cet anneau ; a'yb' les mêmes angles qui se rapportent à Panneau intérieur; /, /' les hauteurs de la Terre et du Soleil au-dessous du plan de Panneau
vu de Saturne. Ces angles sont positifs au nord et négatifs au sud.
Dans le triangle sphérJque PST formé par le pôle S de ranncaii, celui P de réquateur et le lieu T de la Terre vu de Saturne, on a SPT = a — N — 90'», PT r^ 90" -t- 0, ST = 90*»— /, PTS =/>, PS = I ; on a par suite
' cos/sin/? = sini cos(a — \), (i) . cos/cos/? = cosi coso — sini sino sin(a — \),
( sin/ = sin I coso sin(a — N) — cosi sino,
expressions dans lesquelles I et N sont données par les relations suivantes :
i «in I sin N — sin l'sinQ,
{Ol) ' sin I cos \ — oo> 1' sinoj — sin 1 rosto ro<Q,
f co> I ■= \:t^< i ct^<i'i — sin l'sinto ro<Q.
On a aussi ( n <in /' = *in 1 oo< i sini À — Q » — ro<*' sin 3.
Quant aux valeurs do 1 tt ^t^ Q, on a, d'après Bessel [Astron.
\ Q ~ i(>** V)' N'.tj — \iV ji»-.». t — iSoo », y i^
'w r^ '*^ ï^Mi'«7 — t»'j>«»i/ — |8<H>».
Los aulro-i ôlômonls (i\ //, (i\ h qui, avoo />, / et f, fixent la position i\c Pannoau, so dotorminont à Paido dos relations suivante? :
' •' «' -7 » t' — T "-«îw. — - »>,(.r»>, - = o,(VGÎ,
DISPARITIONS PÉRIODIQUES DE L'ANNEAU DE SATURNE. 3o5
relations dans lesquelles
(6) r = 9,54301, a = 39',3o8, logar = 2,57416.
IL — Transformation logarithmique des formules qui précèdent.
On peut transformer les formules (i) et (2) en d'autres plus
commodes pour le calcul logarithmique. En effet, si l'on pose dans
les secondes
k sin o = sin icosQ,
Arcos^ = cost,
d'où
. sinicosQ
sincp
et dans les premières
l ArsinQ = sini siD(a — N),
^^^ ('2A-cosQ = cosI,
d'où
sini sin(a — N)
smQ
on obtient
sini sin N = sin i sin Q, ces /sin/? = sini cos(a — N),
sini cosN = A:sin(o-+- w), co5/cos/> = A:cos(Q — 8), cosi = A:cos(o-i- (o), sin/ = Arsin (Q — 8);
par suite, on a
tango = tang/cosQ,
(3) { *""8^ = cosN '
tangN = -r—. -tangQ.
tang Q = tang I sin (a — N ), ; tang/ =tang(Q — $)cos/?,
cot(oi — N) . ^ tang/> = -=- ^ sinQ.
°^ cos(Q — 0) ^
Comme vérification du calcul , on peut employer les relations suivantes :
(5\ sin y sintcosQ sinQ sinTsin(g — N )
sin(9-f-(o) "" ces N sini ' cos(Q — 8) ~" ces / cosp ' SoccBOx. — ^scr, prat, 20
3o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
obtenues par la division des équations
A:sin<p = sinicosQ, ArsinQ = sinIsiD(a — N),
sini cosN = A:sin(^-i- w), cos/cos/? = A:cos(Q — o).
La valeur de /' fournie par Téquation (i) est Tun des éléments qui fixent la position de l'anneau de Saturne. On peut la déterminer à l'aide de cette même équation (i) ou bien en faisant usage des relations suivantes, qui en sont une transformation bien simple :
/ sinB
!""«'?= cos?si„(X-Q)'
i . „ sinpsin(i — 9)
f sin c = — r-^^ ^ .
\ smcp
Lorsque / et /' sont de même signe, la Terre voit la surface éclairée de Tanneau et cet anneau est \'îsible; il est invisible lorsque / et f sont de signes différents, car alors une des faces de Tanneau se trouve tournée vers la Terre et l'autre face vers le Soleil.
in. — Application numérique.
Appliquons les formules qui précèdent au calcul, pour le 9 janvier 1881, des éléments/?, /, /', a', b\ a" , b" ,
On déduit de la Connaissance des Temps , pour celte date,
a = •iI'>36'I3^ 0 = 6^22'43', log A = 0,96346, w = iVi-'id',
on a, par suite,
log ianj:i «j, 72880 —
log cosQ 9,99o3o —
log tang'v 9)7ïlMO —
cp i52*2r3o
c-^to i-jMS'iô
logsino 9,66646-*-
logtangQ 9,33oo3- tang(^, -x- co, 8,86458-
log cos N 9.77^'ï^ -"
5in(:i-+-to) o,8oJi2-h o b j^ j
log lang N 0,1 3307 —
DISPARITIONS PÉRIODIQUES DE l'aNNEAU DE SATURNE. 3o7
logsinQ 9ï07349-4-
^^Stangl 9,09166+ logcot(a-N) 9,42o5o-^
log sin{a— N ) 9,9^545 —
l?^'"'^^^ ^1J^V" logcos(Q--a) 9,98839-
