CHAPITRE TROISIÈME
pourrait produire la même déviation des aiguilles en dépensant, dans le circuit, une quantité d'énergie électrique (RP) incomparablement moindre; et ce défaut est d'autant plus grand, que les aiguilles aimantées sont plus longues.
Sans nous arrêter à donner une démonstration de ce fait, démonstration facile à trouver d'ailleurs, nous allons chercher l'expression de rcffort développé par une bobine circulaire CCC'C de faible épaisseur, sur un pôle magnétique situé en son centre, et calculer la dépense d'énergie qui en résulte dans le circuit de la bobine.
Désignons par : k, la masse magnétique du pôle A (fig. 341) ; n, le
Fig. 341.
nombre des spires contenues dans un centimètre carré de la section droite de la bobine par un plan diamétral ; I, Tintensité du courant ; /, la longueur de la bobine dans le sens de l'axe, cette longueur étant supposée très petite par rapport au diamètre intérieur de la bobine ; ?, la résistance de l'unité de longueur du fil enroulé ; r^ et n, les rayons des spires intérieure et extérieure.
Au lieu de considérer la bobine comme constituée par un fil enroulé suivant une hélice composée d'un certain nombre de spires, ce qui nous obligerait à un calcul laborieux, nous supposerons qu'elle est entièrement métallique et parcourue, dans le sens de la circonférence, par un courant unique égal à la somme de tous les courants partiels qui traversent chacune des spires, c'est-à-dire égal au produit de l'intensité du courant réel I, par le nombre total des spires. Or ce nombre est égal à
n/(ri — ro).
Le courant fictif par lequel nous remplaçons le courant réel I, a
94 ÉLBCTROMÉTRIB
donc pour valeur
nl{ri — ro)I
et nous le supposerons uniformément réparti dans toute Tétendue de la section droite de la bobine, de sorte que si dans cette section, nous considérons un rectangle infiniment petit ayant une longueur dl dans le sens de Taxe de la bobine, et une hauteur dr dans le sens du rayon, l'intensité du courant qui le traverse, aura pour valeur le produit de Tintensité fictive
nl{ri — ro)I, par le rapport de la section de ce rectangle, à la section métallique totale
soit :
nlCri -—ro)I' r-r = nldldr.
(n — ro)/
L'effort infiniment petit exercé par le courant circulaire de rayon r, sur le pôle magnétique de masse ji, a pour expression (369)
^Tznldldr
En intégrant deux fois, d'abord par rapport à /, et ensuite par rapport à r, on trouve pour la valeur finie de l'effort
f = 2Tr[inM log —
OU, en désignant par N le nombre total des spires, et en remarquant que l'on a
ri— ro ^ ro N = nZ(ri — ro),
N La quantité -— pourrait s'appeler le nombre de spires par
unité de longueur du rayon. En la désignant par' ni, on aurait
/*= 27:n,|jLllog — ,
ro
formule qui montre qu'à épaisseur égale dans le sens de Taxe, la valeur de / ne dépend que du rapport des payons extérieur et
GBAPITRB TROISIÈME 95
intérieur de la bobine, et pas du tout de leur valeur absolue. Ainsi deux bobines de même épaisseur, enroulées avec le même fil, parcourues par le môme courant, produiront exactement le même effort sur le pôle [x, si leurs rayons intérieur et extérieur sont dans le même rapport.
Voyons maintenant quelle est la quantité de fil enroulé. En appelant U le volume apparent de Tenroulement, on a
U = 7r(rî-rî!)/
et M le volume réel^ c'est-à-dire le volume du cuivre qui constitue le fil, il est clair que le poids P du fil enroulé aura pour valeur, en désignant par p le poids de l'unité de volume du cuivre,
P = pu = p-^U = p^ir(rî -rj)/.
Nous appellerons le rapport -yr le volume spécifique de l'enroulement, il dépend du diamètre du fil nu et de l'épaisseur de la couche isolante qui le recouvre.
Le poids du fil croit donc sans limite quand on augmente proportionnellement n et Tq, tandis que / reste constant.
Enfin, nous allons voir que la quantité d'énergie dépensée pour produire ce même effort /, croît très rapidement avec n, tandis que / ne croit, au contraire, que très lentement, puisqu'il est proportionnel au logarithme du rapport — '
Nous avons désigné par p la résistance de l'unité de longueur du fil ; la résistance totale R étant proportionnelle à la longueur totale du fil, a pour valeur pL, L désignant ladite longueur. D'autre part, le volume u du cuivre enroulé a pour expression le produit de la section s du conducteur, par sa longueur L. On a donc les équations
R = pL, L« = u
n = p — — pyt ^" — P'tT ^— ^^— • s /Us U s
La résistance de la bobine est donc proportionnelle à (r\ — rj).
96 ÉLEGTROMÉTRIE
tandis que Teffort produit sur le pôle magnétique n'est proportionnel
qu'au logarithme de -^ .
La dépense d'énergie croît donc très rapidement avec le diamètre extérieur de la bobine, tandis que l'effort mécanique croît au contraire très lentement.
594. — Influence de la longueur de la bobine d'un galvanomètre sur la dépense d'énergie nécessaire pour produire un effort déterminé. — Si au lieu d'augmenter les dimensions de la bobine dans le sens du rayon, on l'augmente dans le sens de l'axe seulement, on arrive à des conclusions analogues, bien que l'expression de la force développée sur le pôle ait une forme toute différente.
Remplaçons, en effet, sur une bobine, l'enroulement du conducteur filiforme par un bloc de métal de mêmes dimensions apparentes, parcouru dans le sens de la circonférence par un courant unique uniformément réparti, dont l'intensité serait égale au produit NI, de l'intensité 1 du courant réel qui traverse chaque spire, par le nombre total N des spires. L'expression de la force appliquée à un pôle magnétique d'intensité [i, situé sur Taxe d'un cylindre de cuivre creux, a été déjà donnée au n"* 436. Elle est repésentée par la formule
dans laquelle on désigne par : i, l'intensité du courant qui traverse un centimètre carré de la section droite de la bobine massive, par laquelle nous remplaçons la bobine réelle ;
dx^ Tépaisseur d'une spire infiniment mince comptée dans le sens de Taxe ;
dy, l'épaisseur de cette même spire dans le sens du rayon ;
X, la distance du plan de la spire au pôle magnétique situé sur l'axe de la spire ;
y, le rayon de cette spire.
Dans l'exemple précédent, nous aurions pu appliquer cette formule en faisant dx constant et a; = 0 ; elle nous aurait donné naturel-
CHAPITBE TROISIÈNB 97
iement le même résultat que celui que nous avons déjà trouvé, mais il nous a paru plus court et plus clair de traiter directement le problème. Dans la nouvelle hypothèse où nous nous plaçons, la formule du n« 436 est, au contraire, d'un emploi plus simple et plus rapide, parce que l'exemple précédent nous a familiarisé avec la substitution d'un conducteur massif, parcouru par un courant unique, à la bobine composée de spires en hélices isolées les unes des autres.
Dans le problème que nous traitons maintenant, il suffit, pour appliquer la formule, de supposer y et dy constants et d'intégrer par rapport à x depuis ar^ jusqu'à Xi, ces deux lettres désignant la distance des faces terminales de la bobine au pôle magnétique, sous la réserve qu'elles seront affectées du signe + si elles sont toutes deux situées du même côté de ce pôle. On a alors
dx
/dx T'
En posant
-|- = tgo,
l'intégration se fait immédiatement et on trouve, tous calculs faits, F = 2itfiirfy(cos 61 — cos 60).
Pour faire disparaître de cette formule, les quantités i et rfy, et la ramener à la même forme que celle à laquelle nous sommes arrivés dans le problème précédent, il suffit de remplacer i par ni, n étant le nombre de spires contenues dans un centimètre carré de la section droite de la bobine par un plan diamétral, et I l'intensité du •courant qui passe dans le fil. Quant au symbole infinitésimal dy, nous pourrons le remplacer par l'épaisseur e de la bobine dans le sens du rayon, à la condition que cette épaisseur soit une petite fraction du rayon intérieur OA (fig. 342) de la bobine. 4vec ces modifications, la formule devient
F = 27rnfJiIe(cos 60 — COsO,),
% et 61 désignant les angles AMO, A'MO', sous lesquels on voit, du pôle M, le rayon AO = A'O' de la bobine.
DBnEl, ÉLBCTR. INDU8TB. — T. U, FASC. 3 1
98 ÉLEGTBOMÉTRIB
Si on suppose que le pôle soit situé au milieu d'une bobine extrêmement longue par rapport à son diamètre, on a sensiblement
ces Oi = -h 4 , ces Oo = — 1
et la valeur de F devient
F = — 4tc?uI{jl ou, en remarquant que nel peut être considéré comme représentant
la somme Ii des courants qui traversent les spires contenues dans
un centimètre de longueur de la bobine, mesurée dans le sens
de Taxe,
F = —4ir[JLl„
identique, au signe près, à celle que nous avons déjà trouvée en suivant une voie toute différente (403, page 542).
595. — Relation entre les dimensions des bobines et celles de l'aimant mobile, dans les instrumnts de mesure. —
Les deux problèmes que nous venons de traiter sont intéressants en ce qu'ils montrent que si on augmente indéfiniment les dimensions de la bobine dans le sens du rayon seulement, la force F augmente aussi indéfiniment, quoique de plus en plus lentement ; tandis que si Taugmentation porte sur la longueur seulement, la force F tend vers une limite finie qui a une valeur double de celle qui correspond au cas où le diamètre et l'épaisseur de la bobine sont dans le rapport de v^3 à Tunité.
L'énergie dépensée dans le fil croit, au contraire, indéfiniment dans les deux cas. Il n'y a donc aucun intérêt à donner à la bobine des dimensions considérables, comme ou le faisait autrefois, et le théorème relatif à la similitude des systèmes électro-magnétiques (436) va nous permettre de rendre ceci encore plus évident.
GHAPITRB TROISIÈME 99
En effet, si on multiplie par un facteur k toutes les dimensions d'un système de conducteurs (tel qu'une bobine ou un ensemble de bobines de forme absolument quelconque), ces dimensions étant comptées à pai*tir d'un point 0 de l'espace choisi arbitrairement pour origine, de façon à constituer un second système de conducteurs, géométriquement semblable au premier, et dont le point 0 serait le centre de similitude ; si d'autre part, la densité du courant (quotient de rintensité du courant qui traverse une spire, par la section droite du fil dont la spire est formée) est la même dans les deux systèmes de conducteurs ;
Ce théorème montre que l'intensité du champ magnétique développé en 0 par l'action du second système, sera k fois aussi grande que celle due au premier, tout en conservant la même direction.
Mais le volume du métal du conducteur étant multiplié lui-même par À>, comme le montre la géométrie élémentaire, et l'énergie dépensée dans l'unité de temps sous forme de chaleur (331),
étant proportionnelle au volume total du système de conducteurs et à la densité i du courant, nous pouvons écrire, en désignant par H l'intensité du champ magnétique du premier système ; par Hj^, celle du champ du second système ; par W, la quantité d'énergie convertie en chaleur pendant l'unité de temps dans le premier système ; par W*, celle qui correspond au second système
H, = AH, Wa = A^W.
Ces équations très simples, vont nous conduire immédiatement à des conséquences très importantes. Supposons qu'au point 0 se trouve une petite aiguille aimantée et prenons pour unité, le couple développé sur elle par l'action du premier système. Prenons également pour unité d'énergie la quantité d'énergie dépensée dans le premier système, et supposons, pour fixer les idées, que le rapport de similitude k soit égal à 2. Le couple développé sur l'aiguille, par Taction du second système, sera alors aussi représenté par 2, tandis que la quantité d'énergie sera représentée par 8. Proposons-nous mainte-
100 ÉLBGTROMÉTRJE
nantde ramener l'intensité du couple exercé par le second système, à la valeur 1 ; il suffira pour cela, puisque l'intensité du champ magnétique d'un système de conducteurs est proportionnelle à l'intensité du courant, de multiplier la densité du courant par le facteur
-^ ; mais alors la formule
nous montre que, u étant multiplié par 8 ; i* par -j- ; ç^ est finalement multiplié par 2. Ainsi donc^ l'emploi du second système, double en tous sens du premier, nous conduit à une dépense d'énergie double pour produire le même couple sur la même aiguille.
Ce second système serait donc beaucoup plus désavantageux que le premier si Taiguille aimantée conservait le même moment magnétique. Mais les conséquences seraient tout autres si les dimensions linéaires de l'aiguille étaient aussi multipliées par k et que l'intensité d'aimantation restât la même, c'est-à-dire si son moment magnétique était proportionnel à son volume.
En effet, le couple développé sur un aimant par un conducteur, a pour mesure le produit JSoSê du moment magnétique de l'aimant par l'intensité 9ê du champ magnétique créé par le passage du courant dans le conducteur.
Si donc, les dimensions de l'aimant sont multipliées par â, son moment j|lb sera multiplié par k^, le produit M}96 sera multiplié par A*.
On trouve ainsi, en supposant k = 2 que, à densité égale de courant, le second système développerait un couple représenté par 16, en dépensant une quantité d'énergie représentée par 8. Si l'on se posait comme condition de dépenser la même quantité d'énergie dans les deux systèmes, la densité du courant devrait être, dans le
second système, multipliée par \/-^ et le couple produit serait proportionnel au nombre
*6xV/-Tr = 5.667.
