V MN MP
Quant aux moments des actions des côtés AB et DC sur le cadre A'B'C'D', il est facile de voir qu'ils sont nuls. Le moment total de rotation sera donc égal à
et comme on peut poser approximativement MN = MP = r, en raison du grand éloignement des deux cadres, la formule devient
et, si on désigne par S et S' les surfaces des doux carrés, on a finalement
La même formule s'applique à des circuits fermés quelconques, placés comme les cadres que nous venons de considérer; à deux courants circulaires par exemple.
442. — En faisant, dans la formule que nous venons de trouver /, = 1, S;=S' = 1, i = r=i
on trouve
On pourra donc définir Tunité électro-dynamique d'intensité : celle
DEPRBZ, ÉLECTR. ISDUSTB. — T. 1, FASC. 2 16
d'un courant qui^ traversant deux cadres de surface égale à funité, placés dans des plans normaux^ à une grande distance fun de l'autre^ de façon que le centre du second se trouve sur une normale élevée au centre du premier^ exercerait sur le second circuit un couple de rotation dont le moment se7*ait égal à F unité divisée par le cube de la distance des deux centres.
Cette définition est due à Weber.
443. — Autre solution du problème précédent. — Dimensions des unités électro- dynamiques, — On peut traiter le problème des deux cadres d'une autre façon, en supposant que le premier circuit traversé par le courant I, donne naissance à un champ magnétique dans lequel est plongé le deuxième circuit fermé que Ton assimile à un feuillet magnétique.
Si on suppose que les circuits sont circulaires, le champ créé par le premier circuit sera (380), en désignant par r le rayon du premier cadre et par a la distance des deux cadres
,% = 27rl ^"*
ou bien, en remarquant que nr^ = S
IS
3fê = 2
D'un autre côté, le moment magnétique du deuxième circuit, considéré comme un feuillet magnétique, est égal à TS'; le couple exercé sur le deuxième circuit sera donc
mais nous pouvons négliger r devant a, et alors il vient
a' nous arrivons donc finalement à un résultat deux fois aussi grand que dans le numéro précédent. On en conclut qu'il faudra multiplier la formule d'Ampère par le nombre 2 pour arriver à des résultats
identiques à ceux que donne la formule de Biot et Savart, et, qu'à un coefficient constant près, il y a identité entre les définitions électro-magnétique et électro-dynamique de Tunité d'intensité de courant.
444. — Identité des dimensions de l'intensité d'un courant dans les ssrstèmes électro- magnétique et électrodjmamique. — Cette identité résulte des considérations suivantes.
L'intensité d'un courant, tirée de la formule de Biot et Savart qui est la base de Télectro-magnétisme, a pour valeur
Fr«
fjtrf* sin a
Si nous remplaçons F par sa valeur symbolique (6)
MLT-S en unités absolues ; r', par le carré d'une longueur L' ; la masse magnétique fi par sa valeur exprimée en unités absolues (200)
ds^ qui est une longueur, par L ; et en remarquant que sin a est un nombre indépendant du choix des unités, il vient
ce qui est la racine carrée d'une force.
Cherchons maintenant l'expression symbolique du courant donnée par la formule d'Ampère
Wdsds! (
isds' / 3 A
-r COS W rr- COS « COS «' ) .
Nous pouvons supposer I = F, et la formule donne
Fr2 1
dsds' COS w 3- COS a COS od
Nous pouvons, dès à présent, laisser de côté le coefficient numérique
COS w r- COS a COS a
6 10 ÉLECTRO-DYNAMIOL'E
puisqu^il est indépendant du choix des unités, et en remplaçant comme nous Tavons fait dans la formule de Biot et Savart, ds et dsf par la lettre L qui représente une longueur ; r^ par L*; et F par
MLT-», il vient finalement
expression identique à celle que donne la loi de Biot et Savart.
L'intensité d'un courant a donc une expression identique, à un coefficient numérique près, dans les systèmes électro-magnétique et électro-dynamique.
Il est facile de voir qu'il résulte de là que toutes les autres quantités électriques auront des expressions identiques dans les deux systèmes, à la condition toutefois qu'on les multiplie par ce mômo coefficient numérique. Si nous voulons, par exemple, exprimer une quantité d'électricité Q, nous savons que Ton peut écrire
Q = IT, et, comme l'unité de temps est la même dans les deux systèmes, il suffira, pour passer d'un système à l'autre, de multiplier le nombre qui exprime la quantité d'électricité dans le système électro-magnétique, par le coefficient déjà employé pour l'intensité de courant.
Il en serait de même pour le potentiel qui est le quotient d*un travail par une quantité d'électricité ; car l'unité de travail étant la même dans les deux systèmes, l'expression du potentiel n'est affectée quo par le coefficient qui entre dans l'expression de la quantité d'électricité, et par conséquent, dans celle de l'intensité de courant.
445 Cas particulier où les deux circuits circulaires sont concentriq[ues. — - Electre -dsmamoniètre. — On peut supposer que les deux circuits circulaires ou solénoïdes du numéro 443 sont concentriques, tout en conservant leur position respective d'orientation comme l'indique la figure 239.
Le premier solénoïde, traversé par le courant I, de rayon r et
contenant n spires, donne naissance à un champ magnétique égal à
^ 2irnl 36 = — — -•
Le deuxième solénoïde, plongé dans ce champ, se comportera comme un aimant dont le moment magnétique aurait pour valeur
n'ST,
S' désignant la surface embrassée par toute la spire moyenne du
Fig. 239
second cadre et n! le nombre de spires. Le couple appliqué à ce cadre
a donc pour valeur
n'STx36,
En remplaçant 3é par sa valeur, et en désignant le couple par M,
on aura
„ ^ nwirs' M = 2i:
On voit que ce couple est proportionnel au produit des intensités I et r des courants qui traversent les deux cadres.
446. — Weber a réalisé, d'après ce principe, un appareil que Ton appelle V Electro-dynamo^nètre et qui sert à mesurer Tintensité d'un courant ; il suffit pour cela de faire passer le môme courant dans les deux cadres ce qui revient à faire 1 = 1' dans la formule précédente ; l'intensité du courant y figurant alors au carré, son signe n'intervient plus, ce qui permet de mesurer l'intensité de courants alternatifs.
M. Marcel Deprez a montré, comme nous le verrons plus tard.
que Ton peut appliquer réiectro-dynamomètre à la mesure de Ténergie produite par un courant. L'appareil qu'il a imaginé à cet effet, a servi de type à tous les instruments réalisés depuis par différents constructeurs sous le nom de Wattmètres, Erg mètres, etc.
Nous aurons l'occasion de décrire complètement Télectro-dynamomètre quand nous parlerons des instruments de mesures électriques.
§ 2. — SIMILITUDE DES SYSTÈMES ÉLECTRO-DYNAMiaUES.
447. — Théorème de M. Marcel Deprez. — Dans les différents problèmes que nous venons de traiter, nous avons toujours supposé que les conducteurs étaient filiformes ; mais en réalité tout conducteur exige une certaine section; voyons ce que devient la formule d'Ampère quand on y introduit cet élément nouveau.
Appelons s la section du premier conducteur traversé par un courant de densité t ; s' et i' la section et la densité du courant pour le deuxième conducteur, on a alors
r = tv,
la formule d'Ampère devient
^ hiïsdl.^dl' / 3 A
f = j f cOS w — — COS a C08 a' j»
et, si on remarque que les produits sdl, sfdl sont précisément les volumes du et di^ des éléments de conducteurs, la formule devient :
^ ^ iïdudu' ( 3 A
f ^ fi 1 ( COS w ^ COS a COS ^ \ •
Multiplions maintenant par k toutes les dimensions linéaires de chaque système électro-dynamique, sans changer le nombre des portions de circuits élémentaires ; du deviendra lâdu ; dvi^ lâdti, et en appelant fk la nouvelle valeur de /, correspondant au système
des deux conducteurs dont toutes les dimensions sont amplifiées k fois, on aura
A = A -j^^ (^COSO)-— COSaCOSa'j.
On tire cette formule, en la divisant par la valeur de /
On en conclut le théorème suivant :
Si on multiplie par k toutes les dimensions ainsi que les distances mutuelles des éléments de deux conducteurs k et ^^ de façon à former un nouveau système de conducteurs h! et B' géométriquement semblable au premier et parcouru par un courant de même densité^ les actions mécaniques développées entre A' et B', seront k^ fois aussi grandes que les actions développées entre A et B.
Si par exemple, on double toutes les dimensions linéaires ainsi que les distances des deux systèmes, l'effort développé sera 16 fois aussi grand.
448. — Comparaison des dépenses d'énergie dans les deux systèmes. — Si on calcule l'énergie transformée en chaleur par le passage du courant, dans le premier système, elle a pour valeur (331)
dans le second système, elle a pour valeur
pu'i^ ; le rapport de ces deux dépenses sera égal à
tandis que Teffort sera multiplié par A* ; donc la dépense d'énergie par unité d'effort sera k fois moindre dans le grand système ; plus le système sera grand, plus la dépense sera faible.
449. — D'autre part, les poids des conducteurs employés dans les deux systèmes, sont entre eux comme u' est à u ; l'effort produit par unité de mcùsse est donc multiplié par k dans le système amplifié.
Ces théorèmes, démontrés par M. Marcel Deprez en 1882 (»), ont été vérifiés expérimentalement au moyen d'appareils spéciaux. Ils sont d'une grande utilité dans la pratique, puisqu'ils montrent les avantages considérables des systèmes électro-dynamiques de grandes dimensions.
450. — Moments de rotation de deux systèmes électrodynamiciues semblables. — Nous allons chercher comment croit le moment de rotation d'un système, quand on augmente toutes ses dimensions dans un certain rapport k.
Le moment de chaque élément s'obtient en multipliant l'effort auquel il est soumis, par sa distance à l'axe de rotation. Si on multiplie toutes les dimensions linéaires du premier système par A, le bras de levier est aussi multiplié par k ; mais nous avons déjà vu que la force exercée par l'un des conducteurs sur l'autre était, dans le système amplifié, A* fois aussi grande que dans le premier. Son moment sera donc proportionnel à k^X k = k^.
Ainsi, si un système A', B', est deux fois aussi grand qu'un autre système A, B, le couple développé dans AB croîtra comme la cinquième puissance de 2, c'est-à-dire deviendra 32 fois aussi grand.
On démontrerait de la môme façon que le travail produit par un môme déplacement angulaire du circuit mobile de chaque système, est A* fois aussi grand dans le deuxième système que dans le premier.
451. — Calcul des actions mécaniques mutuelles de deux courants. — Nous ne nous étendrons pas sur le cas général du calcul des actions mutuelles de deux circuits fermés de forme quelconque. La solution de ce problème conduit en général, même dans des cas simples, à des formules d'une extrême complication ; dans la plupart des cas, elle est au-dessus des ressources de l'analyse. A titre d'exemple, nous donnerons la formule de l'attraction de deux cadres carrés, égaux, parallèles, sans épaisseur et situés à une dis-
(1) Comptes-rendus de rAcadémie des sciences, (février 1882).
tance d l'un de l'autre ; a étant le côté du carré, I et F les courants qui traversent les cadres
452. — Applications du théorème de l'équivalence entre les circuits fermés et les feuillets magnétiques. — Nous avons vu (418) qu'un circuit fermé équivaut, pour les actions qu'il exerce sur une masse magnétique, à un feuillet magnétique tel que
♦ étant la puissance du feuillet magnétique, I l'intensité du courant qui traverse le circuit.
En continuant cette assimilation, on peut dire que l'action mutuelle de deux circuits fermés peut être ramenée à celle de deux feuillets magnétiques et on peut appliquer aux circuits fermés toutes les propriétés des feuillets magnétiques (243 à 246) à la seule condition de remplacer dans les formules que nous avons démontrées en parlant des feuillets magnétiques, la puissance 4» des feuillets par l'intensité I des courants équivalents. Le coefficient M qui entre dans l'expression du travail dû au rapprochement des feuillets, de l'infini jusqu'à leur position actuelle, prend, lorsqu'il s'agit de courants électriques, le nom de coefficient d'induction mutuelle.
Reprenons la formule qui donne le travail dû au déplacement de deux feuillets magnétiques (247)
et remplaçons <ï>^ et *b par les intensités I^ et Ib, des courants équivalents, de même contour que les feuillets considérés, l'expression du travail deviendra
S = MIJb- Faisons L = 1 et U = 1 ; on aura, en appelant tSi le travail produit,
Le coefficient M est donc égal à la valeur numérique du travail produit lorsque les deux circuits se rapprochent depuis l'infini jus-
616 ÉLSGTRO-DYNAMIQDE
qu'à leur position actuelle, le courant qui les traverse ayant une intensité égale à Tunilé.
Or, nous démontrerons, en traitant de Tlnduction électro-magnétique, que la valeur de ce travail est précisément égale au coefficient d'induction mutuelle des deux circuits dans leur position actuelle.
La détermination du facteur M peut être obtenue par le calcul, au moyen d'une formule due à Neumann que nous ne donnerons pas malgré son importance théorique parce que, dans la plupart des cas, elle conduit à des calculs qui sont au-dessus des forces de lanalyse.
