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' --. 3Ca .

Fig. 3

De môme, l'effort développé suivant M2a, aurait pour valeur :

et ainsi de suite.

Si donc on voulait connaître la force résultante h laquelle est soumise la masse m, il faudrait composer suivant les règles de la mécanique, les cinq forces Fi, F,, Fa, Fi, Fb qui ont toutes des grandeurs et des directions différentes.

Si maintenant nous donnons à la masse m une autre position 6, les forces attractives développées auront toutes de nouvelles intensités et de nouvelles directions, et on conçoit qu'il serait possible, sinon facile, d'exprimer algébriquement la grandeur et la direction de la résultante appliquée à la masse m, si l'on donnait sa position dans

l'espace, cette position étant déterminée par la distance de la masse m à trois plans fixes dans l'espace.

Il est facile de voir que ce problème serait très compliqué si le nombre des masses agissantes était un peu considérable. 11 serait en outre d'une utilité contestable, parce que dans tous les problèmes où on traite de l'action de forces, agissant à distance sur une masse mobile, il est bien plus important, comme on le verra dans la suite, de connaître la grandeur du travail développé pendant le passage de la masse mobile d'une position à une autre, que de connaître la grandeur de la /orce qui agit sur elle.

22. — Ce sont des considérations de ce genre qui ont amené le savant anglais Green, à chercher l'expression du travail développé par la masse m, quand elle passe d'une position a à une autre position b ; et ce travail a été appelé par lui, la différence de potentiel des positions a et ô ; la masse m étant prise égale à l'unité.

23. — Si les masses attirantes ont une position invariable, ce trr.- ■ vail est indépendant de la trajectoire suivie par la masse m (que

nous appellerons masse-unité), pour aller de la position a à la position b ; absolument comme le travail développé par un corps pesant lorsqu'il passe d'un point A à un point B situé à un niveau différent ; travail indépendant de la forme du chemin parcouru pour aller du point A au point B (9).

Si nous supposons que la masse-unité soit placée à une très grande distance de l'ensemble des masses attirantes, et qu'on l'amène dans la position a, le travail développé pendant ce trajet, s'appelle le potentiel à rinfîni du système attirant par rapport à la position a ; ou, pour abréger, le potentiel à finfini du point a. De môme, si on amenait la masse-unité de l'infini à la position b, le travail développé serait le potentiel à l'infini de la position b; et la différence de ces deux travaux, serait précisément égale au travail développé, pondant le passage direct de la masse-unité, de a à *, en vertu de ce que nous avons dit plus haut.

24 — Pour bien faire comprendre par un exemple numérique ce

CUAPITRE PREMIER 21

qu'on entend par potenliel à rinfini, nous allons calculer le potentiel de la Terre ^ en supposant qu'un corps de masse égale à Tunité tombe d'une très grande distance jusqu'au niveau de la mer ; nous aurons alors le potentiel par rapport au niveau de la mer.

Pour faire ce calcul, rappelons que Ton démontre que l'attraction mutuelle développée entre deux sphères composées de couches concentriques homogènes, est la même que si leurs masses respectives étaient supposées concentrées en leurs centres.

Désignons par M la masse de la Terre, R son rayon au niveau de la mer, par m la masse mobile (fig. 4), par x la distance Oa ; l'attraction aura pour valeur :

Fig. 4

Si maintenant nous laissons la masse m venir de a en b, la distance ab étant infiniment petite par rapport à Oa pour qu'on puisse considérer l'attraction comme sensiblement constante pendant tout le trajet ab, elle accomplira pendant ce trajet, un travail qui aura pour mesure le produit de la force F par la longueur

ab = dx, c'est-à-dire

Ydx = , dx = rfC.

En divisant la distance Na, du niveau de la mer à la position a, en parties égales à dx, nous pourrions, avec cette formule, calculer la valeur du travail df5 pour chaque fraction de la distance totale Na ainsi parcourue ; et en ajoutant tous ces travaux partiels, nous aurions le travail total développé par la masse m dans le trajet aN. Le résultat de cette opération, longue et fastidieuse, peut être obtenu

d'un seul coup au moyen du calcul intégral^*) qui donne immédiatement la valeur du travail total cherché ; cette valeur est donnée par Téquation :

dont le second membre est le produit de deux quantités ; Tune fMm constante, Taulre

R X tendant vers la limite -^ lorsque x tend vers Tinfini ; de sorte que

si la masse m part d'une distance x très grande par rapport à R, nous pourrons écrire :

Faisons maintenant m = i, nous aurons la valeur de ce que nous avons appelé le Potentiel à l'infini. On a dans ce cas :

Pour appliquer ces résultats au globe terrestre, remarquons que, au niveau de la mer, Teffort F n'est autre chose que le poids p de la masse m. On a donc, au niveau de la mer, en appliquant Téquation générale qui donne F :

,^x /Mm

Divisons les deux membres de Téquation (3) par les deux membres de l'équation (5) ; nous aurons

d'où : G =;>R

Ainsi le travail développé par l'attraction terrestre sur une masse, qui au niveau de la mer, pèse le poids p et qui tombe sur le globe d'une distance très grande par rapport à son rayon, a la môme valeur que si cette masse était transportée à une distance R du niveau

(1 ) Nous emploierons constamment dans la suite de ce cours les notations du calcul différentiel et intégral.