Sous cette forme la relation

peut être plus facilement généralisée.

Considérons un circuit composé d'un

nombre quelconque de métaux A, B,

C, D, . . . K (fig. 282), de résistances a,

b)c,d,...k. Soient Vfl et V/ les valeurs

des potentiels sur le métal A aux

deux points de contact P et Pt, dans

le sens suivant lequel marche le courant, \b et \h' les potentiels

du métal B aux points Pt et P2, et ainsi de suite. L'intensité du

courant sera

Fis. 2S2.

v,— v; vf-v/

d'où l'on déduit, en combinant par addition ces rapports égaux,

(Vc-V,/) + (V,-V/)

cl -hb 4- c -+- ... -\-k

Le numérateur de cette fraction représente encore la somme algébrique des différences de potentiel de tous les contacts que

l'on rencontre en parcourant le circuit clans une direction contraire à celle du courant; c'est la force électromotrice du circuit total. Le dénominateur est la somme des résistances, ou la résistance totale du circuit.

Lorsque le circuit est entièrement métallique et tous les contacts à la même température, le numérateur est nul, d'après la loi de Volta, et le courant nul. On obtient en général un courant, si les soudures sont à des températures différentes.

Les mêmes formules conviennent également au cas où le circuit renferme des liquides quelconques, si l'on a soin de représenter les différentes couches liquides par les résistances correspondantes ; alors un courant peut exister sans qu'il y ait des différences de température aux points de contact.

Supposons , par exemple , que le circuit ne renferme qu'un couple, hydroélectrique ou thermoôlectrique, dont la force électromotrice soit égale à E. La résistance intérieure du couple étant X et la résistance du fil extérieur qui réunit les deux pôles X', l'intensité du courant sera

Si la résistance X' du circuit est très-grande par rapport à celle du couple, ce qui a lieu souvent pour les éléments thermoélectriques, on voit que l'intensité du courant est en raison inverse de la résistance du circuit extérieur.

961. Association des couples. — Considérons un circuit renfermant n couples identiques dont chacun a une résistance intérieure X et une force électromotrice E, la résistance du fil extérieur étant toujours X'. La force électromotrice totale est alors égale à la somme des forces électromotrices de tous les couples, et la résistance de la pile égale à la somme des résistances des couples, ce qui donne pour l'intensité du courant

nE

rX

Le courant a la même intensité que si l'on avait remplacé

le fil extérieur par un fil de résistance n fois plus faible. Si le

rapport des résistances -1 est très-grand , l'intensité est à peu

près n fois plus grande qu'avec un seul couple; c'est ce qui a lieu, par exemple, pour la pile de Melloni. Si, au contraire, ce rapport des résistances est très-petit, l'intensité est la même qu'avec un seul couple; ce serait le cas d'une pile de Volta dont les deux pôles seraient réunis par un fil métallique gros et court. Ce mode d'association des couples constitue ce qu'on appelle une pile de tension. On voit que c'est la disposition la plus avan* tageuse quand on se propose de vaincre une résistance extérieure considérable.

Supposons, au contraire, que tous les couples soient réunis par leurs pôles de mômes noms et ceux-ci par un fil métallique extérieur. En désignant par Vt et V2les potentiels des extrémités de ce fil sur les deux pôles, l'intensité du courant sera

D'autre part, l'intensité m du courant dans chacun des couples est égale au quo lient de la somme algébrique des différences de potentiel par la résistance du couple, c'est-à-dire

V, + E-Vt

Le courant du fil extérieur étant la somme des n courants des différents couples, on a

M = n m, ou

L'intensité du courant est donc la môme que si l'on avait remplacé tous les couples par un couple unique de résistance n fois plus faible et de même force électromotrice.

Cette disposition, que l'on appelle une pile de quantité, convient quand la résistance extérieure est très-faible par rapport à la ré-

sistance intérieure ; l'intensité du courant est alors à peu près n fois plus grande qu'avec un seul couple. Mais, si la résistance intérieure X était très-grande, l'intensité serait sensiblement la même qu'avec un seul couple.

962. — Dérivation des courants. — La méthode d'Ohm permet également de déterminer l'intensité des courants dans les différentes parties d'un circuit dont les conducteurs, au lieu d'être ajoutés bout à bout, sont embranchés les uns aux autres d'une manière quelconque ; c'est le problème général dont le groupement des couples en quantité est un cas particulier. M. Kirchhoff a réduit tous les problèmes de ce genre à deux règles très-simples qu'il est facile d'établir :

1° Lorsque différents conducteurs aboutissent au même point, la somme algébrique des intensités des courants sur ces conducteurs, comptées à partir du point de rencontre, est nulle.

Si le courant est un flux d'électricité, comme nous l'avons considéré, il est clair que la quantité d'électricité située au voisinage du point de rencontre des conducteurs doit être invariable lorsque le régime permanent est établi et, par suite, que toute l'électricité qui afflue en ce point par certaines branches doit s'écouler par d'autres branches.

2° Dans un circuit fermé, auquel viennent se rattacher des conducteurs quelconques, la somme des produits de l'intensité du courant, dans chaque portion du circuit, par la résistance correspondante, est égale à la somme algébrique des tensions de contact.

Considérons, en effet, un circuit fermé composé de différents conducteurs A, B, G,... K, de résistances a, b, c... &, chaque conducteur étant terminé, soit à un embranchement, soit au contact d'un autre conducteur de nature différente. En appelant V, et Vfl\ Vfr et V/..., les potentiels successifs des extrémités que l'on rencontre en parcourant le circuit dans un sens déterminé, m(n mbi mc..., les intensités des courants dans les différents conducteurs, on a pour le premier

ou

400 TRVTTÉ D'ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

Les autres conducteurs donnent, de même,

bmb=Nb — V,

kmk = Vk — Vfe'.

En ajoutant (ouïes ces équations membre à membre, il vient

a ma h- 6 m6 -H . . . k mK = ( Sa — VV ) 4- ( V» — V ) 4- . . . (V* — V/) .

Le second membre de cette équation représente la force électromotrice des différents contacts qui constituent le circuit considéré. Si ce circuit est métallique, par exemple, et à température constante, la force électromotrice est nulle ; alors la somme des produits des intensités partielles des courants par les résistances des conducteurs correspondants est nulle.

965. i,oi de Joule. — S'il n'y avait pas de causes particulières tendant à ralentir le flux d'électricité qui s'écoule dans un fil, le mouvement serait uniformément accéléré, puisque les forces sont constantes, et l'intensité du courant augmenterait sans limite. On est donc obligé d'admettre qu'il y a dans les métaux des résistances, analogues au frottement, qui dépensent constamment le travail des forces motrices. Ces résistances se traduisent par un échauffement des conducteurs, et l'on peut considérer comme évident, toutes les fois qu'aucune autre forme de travail n'apparaît, telle qu'une désagrégation chimique, que la quantité de chaleur qui se produit dans un conducteur est proportionnelle au travail des forces électriques.

Or, la force qui s'exerce sur une masse m a pour expres-

dV

sion — m y- et le travail élémentaire produit pendant un déplacement infiniment petit dx parallèle à la direction de la force est égal à — m -7- dx.

Dans un fil cylindrique, toutes les molécules d'une même

tranche se meuvent parallèlement aux génératrices du cylindre,

et le travail élémentaire pour le courant tout entier pendant

dY l'unité de temps est — M -7- dx.

dx

Le travail total S dépensé pendant le même temps entre deux points dont les potentiels sont Vt et V2 a pour valeur

= - M ( " Tx dx = ~ M <V« - V'> = M<V« ~ v«)-

En remplaçant la différence des potentiels par sa valeur en fonction de l'intensité du courant, il vient

Ainsi le travail électrique pendant L'unité de temps, dans un fil conducteur traversé par un courant, est égal au produit du carré de l'intensité du courant par la résistance du fil. La quantité de chaleur dégagée est proportionnelle au même produit; c'est la loi de Joule.

La quantité totale de chaleur (J dégagée dans toute l'étendue d'un circuit unique fermé sera donc, en désignant par A l'équivalent calorifique du travail, A la résistance totale du circuit et E la force électromotrice,