DU FIL

OBSERT^.E

calcdl£e

^mm.

lar)

075. n reste enfui à étudier Tétat permanent quand les perles par Tair ne sont pas négligeables.

D'après la formule (7) du n** 957, le potentiel V« au milieu d'un fil, dont l'une des extrémités communique avec le sol et dont l'autre est au potentiel Vp a pour expression

en posant

Si les potentiels sont ronmis, on en déduit pour ij, en ne prenant que la racine positive, laquelle est la seule admissible,

On peut, dans deux expériences successives avec des lîls de même nature et de longueurs différentes, déterminer le rapport qui existe entre le potentiel V^ au milieu du fil et le potentiel V, à l'extrémité; ou aura ainsi, par les équations (5) et (2), deux moyens de calculer la valeur du coefficient p, et la concordance des résultats sera une vérification des formules.

M. (laugain a opéré de cette manière sur deux cordonnets de soie bien homogènes dont les longueurs étaient 4 et 8 mètres. La conductibilité de ces cordonnets était tellement faible, qu'il fallait plus d'une demi-heure pour que le potentiel au milieu du

DES SOURCES D^ÉLECTRIGITÉ. A75

fil de 8 mètres cessât de croître d*uiie manière appréciable. Le potentiel de la source étant représenté par 52, les potentiels de points milieux ont été 18,7 pour le fil de 4 mètres et 9 pour le til de 8 mètres, tandis que, si Tinfluence de Tair eût été négligeable, le potentiel du point milieu eût été représenté par 26 dans les deux cas.

En prenant pour unité la longueur (4 mètres) du fil le plus

court, on déduit de la première expérience e*= 2,555. Si Ton calcule, d'après cela, le potentiel au milieu du fil le plus long, on trouve 9,08 au lieu de 9 qu'a donné l'observation directe. Dans ce cas, l'intensité du courant est exprimée par la formule

Si Ton déterminait expérimentalement les valeurs de l'intensité en deux points, on aurait encore une autre manière de calculer le coefficient p et de vérifier la théorie.

976. État vaHabie. — Lcs problèmes relatifs à l'état variable présentent de grandes difficultés, tant au point de vue expérimental qu'au point de vue théorique. Un des plus simples que Ton puisse se poser est celui-ci : un conducteur cylindrique et homogène de dimensions données étant mis en communication, d'une part avec le sol et, d'autre part, avec une source d'électricité constante dont le potentiel est connu, déterminer le temps qui s'écoule jusqu'au moment où le potentiel en un point du conducteur prendra une valeur déterminée. On pourra appeler durée de propagation l'intervalle de temps ainsi défini.

Le problème peut être subdivisé en deux autres. On peut demander que ce potentiel atteigne une valeur absolue déterminée, ou une fraction déterminée du potentiel limite qui convient au même point dans l'état permanent. Il y a donc lieu de considérer deux durées de propagation, l'une absolue et l'autre relative ; cette dernière sera le temps nécessaire pour atteindre une fraction déterminée du potentiel limite.

M. Gaugain a étudié ce phénomène sur des fils de coton, ou sur des colonnes d'huile, par des méthodes analogues a colles que nous avons déjà indiquées. Dans le cas le plus simple od lea

476 TRAITE D*ÉLEGTRIGITË STATIQUE.

déperditions par Tair sont négligeables, il a constaté que la durée de propagation, absolue ou relative, est en raison inverse du coefficient de conductibilité et de la section du conducteur^ proportionnelle au carré de la longueur et au coefficient de charge.

Si donc on représente par A un coefGcient constant, la durée de propagation, absolue ou relative, peut être exprimée par la formule

es

dans laquelle les diflérentcs lettres ont les significations que nous leur avons données plus haut (955). Ces résultats sont parfaitement d'accord avec la théorie d'Ohm. En effet, la formule (M) du n° 958 montre que la valeur du potentiel en un point reste la même dans différentes expériences lorsque le seul facteur qui renferme le temps atteint la même valeur. Si donc Texpérience est réalisée dans des conditions telles que l'on

ait -^- = A, le potentiel sera le même.

es On en déduit, en remplaçant a* par sa valeur—,

es

L'expérience montre encore que la durée de propagation relative est indépendante du potentiel de la source; cela résulte aussi de la formule d'Ohm, puisque la valeur de U et celle du potentiel limite sont toutes deux proportionnelles au potentiel de la source. U n'en est pas de même pour la duré" de propagation absolue; la formule montre que le problénie esl alors beaucoup plus complexe.

Si la déperdition par Tair n'est pas négligeable, on voit immédiatement que la durée de propagation, alisolue ou relative, doit être augmentée, et il est facile de montrer aussi quVUc croît jdus rapideinenf, toutes choses égales d'ailleurs, que le coefficient décharge et le carré de la longueur du fil.

977. Ces résultats peuvent être généralisés et appliqués, par exemple, à toutes les expériences dans lesquelles on a utilisé les

D£S SOURCES D'Él.iiXrrRlClTÉ. 477

fils télégraphiques pour déterminer la vitesse de propagation de V électricité. Si Ton entend par là le temps nécessaire pour que le fil atteigne son état limite, ce temps est inHni en théorie. Si on le détermine, en pratique, par la condition que le potentiel en un point ne difTérc pas sensiblement du potentiel limite, la valeur obtenue dépendra de la précision avec laquelle on évaluera la diflerence des deux potentiels, ou Tinfensité du courant, et Ton pourra obtenir des durées extrêmement différentes, suivant le degré d'approximation auquel on s'arrêtera. Enfin, la durée de propagation n'est pas mieux définie si Ton observe le moment où Télectricité devient appréciable au point considéré, par le courant ou par le potentiel, parce que l'apparition de l'électricité semblera plus ou moins rapide, suivant le procédé à l'aide duquel on appréciera Tétat électrique du fil.

La question se complique encore davantage si le fil éprouve des déperditions, soit par le contact de l'air, soit par une suite de dérivations qui s'effectuent dans toute sa longueur, comme celles que produisent les poteaux d'un fil télégraphique aérien, soit par un milieu ambiant autre que l'air, comme pour les fils souterrains ou les câbles plongés dans la mer. Dans ce dernier cas, en particulier, les fils sont entourés d'un milieu parfaitement conducteur dont ils ne sont séparés que par une couche isolante de faible épaisseur ; le coefficient de charge est alors Irés-grand, la déperdition est loin d'être négligeable cl la propagation doit, en général, paraître beaucoup plus len(e.

Le problème de la vitesse de propagation de l'électricité, que l'on s'est proposé souvent de résoudre par expérience, n'est donc pas défini d'une manière simple, comme pour le son ou la lumière. D'après la théorie d'Ohm et les recherches de M. Gaugain, il n'y a pas lieu de s'étonner des divergences considérables que présentent les résultats obtenus par différents observateurs (4ii), parce que les conditions dans lesquelles ils se sont placés n'étaient pas directement comparables.

978. Relations «ni e^Klstent entre les théorèmes d'éleetrlelté statique et les lois de propagation des courants. — NouS avons VU

(243-251 ) ({u'il existe des relations très-simples entre les lois de propagation de la chaleur, par conductibilité, et les lois de distribution des forces électriques dans un milieu isolant. Comme

la propagation de Télectricité dans un milieu conducteur l'epose sur les mômes lois fondamentales que la propagation de la chaleur par conductibilité, il en résulte aussi que la propagation de Télectricité et la distribution des forces dans le problème correspondant d^électricité statique doivent présenter les mêmes corrélations. Considérons des corps A^, Â,, A,... maintenus à des potentiels constants Vj, V,, V,...; supposons deux expériences dans lesquelles ces corps soient séparés d'abord par un milieu conducteur de l'électricité, puis par un milieu isolant. La distribution des potentiels dans le milieu intermédiaire est exactement la môme dans les deux cas. Dans le premier, le flux d électricité est normal à chacun des corps considérés A^ A,, A,..., et reste normal à toutes les surfaces de niveau intermédiaires ; la quantité qui s'écoule par un élément de surface de l'un de ces corps rentre dans un autre corps par un élément correspondant de surface. Dans le second cas, la force électrique est normale en chaque point de la surface des conducteurs A^^ A,, A,...; les lignes de force sont des orthogonales aux surfaces de niveau situées dans le milieu isolant, et les quanlités d'électricité répandues sur deux éléments correspondants sont égales et de signe? contraires. En résumé, les forces dans le problème d'éleclricil' statique varient exactement suivant les mômes lois que les flux d'électricité dans le problème corrélatif.

Considérons, en particulier, les deux armatures A et II d'un condeuRateur fermé, maintenues aux potentiels V^ et V,. La loive électrique, sur un élément de surface de l'armatuix? intérieure A, est proportionnelle à la densité correspondante (161); la soniino des forces est donc proportionnelle à la charge totale M. Celle charge totale M est proportionnelle à la différence des deux potentiels Vj — V,, et à une fonction 9 qui dépend de la forme et de lîi distance des deux armatures. D'autre part, si les armatures A et \\ sont maintenues aux mômes potentiels et séparées par un milieu conducteur, il s'écoulera de Tune à l'autre une quantité d'électricité proportioimelle à la somme des forces cuiisidérécs, c'est-à-dire à la charge M du condensateur et i lu mémo fonction 9. Le flux électrique et la charge du condcnMteur sont donc dans un rapport constant.

1)79. M. Gaugain a trouvé, par expérience, que les mêmes loi?

DES SOURCES DtLEGTRIGITÉ.

mathématiques régissent les deux ordres de phénomènes. II a montré d*abord que, dans les condensateurs formés de sphères et de cylindres concenlriques (363 — 573), la charge électrique varie exactement suivant les lois que l'on peut établir facilement pour la propagation des courants. 11 a pris ensuite des condensateurs cylindriques excentriques, et il a déterminé sur des appareils qui avaient les mêmes rayons et la même excentricité : V la charge électrique quand les armatures sont séparées par une couche d'air ; 2** le flux d'électricité, évalué par un électroscope à décharges, qui s'écoule d'une armature à l'autre quand on remplit l'intervalle avec de l'huile d'olive ; 3** la résistance de la couche liquide formée en remplissant cet intervalle par une dissolution de sulfate de cuivre. Comme l'intensité du courant entre deux points d'un circuit est en raison inverse de la résistance du milieu qui les sépare, les inverses des résistances ainsi déterminées étaient proportionnels aux flux d'électricité que l'on aurait obtenus en maintenant les deux armatures à des potentiels constants. Enfin, le calcul de la distribution ou du flux d'électricité dans le cas de deux cylindres excentriques ayant été effectué par M. Blavier (176), on pouvait ensuite comparer l'expérience avec la théorie.

Voici les résultats obtenus avec des cylindres dont les diamètres étaient de 10 et de 80 millimètres :