LOIS DE LA PROPAGATION DE L'ÉLECTRICITÉ

951. Principes ifénéraux. — De toutes les expériences qui précèdent on peut conclure déjà qu'il existe entre les forces électromotrices de contact les mêmes relations qu'entre les inten* sites des courants permanents que ces forces électromotrices sont capables de provoquer dans un même circuit fermé. Nous ne pouvons pas quitter ce sujet sans parler des lois qui relient la propagation de l'électricité avec la nature des circuits qu'elle parcourt. Ces lois ont été découvertes par Ohm en 1827.

Dans un circuit métallique dont toutes les soudures sont à la même température, le potentiel est constant dans toute l'étendue de chaque métal et varie de l'un à l'autre d'une manière rapide à chacun des contacts. Si l'une des soudures est à une tempéra* ture différente, la loi de Yolta n'est plus satisfaite, les deux extrémités d'un même conducteur sont à des potentiels différents, et il s'y produit un flux d'électricité qui persiste tant que la difTërence des potentiels est maintenue. C'est un courant d'électricité dans un sens déterminé, si l'on admet l'hypothèse d'un seul fluide, ou bien, dans l'hypothèse de deux fluides, l'ensemble de deux courants d'électricités différentes se propageant en sens contraires; on prend, comme sens du courant, celui dans lequel marche l'électricité positive.

Considérons, par exemple, une barre cylindrique située dans l'air et terminée à deux soudures. Les potentiels des extrémités ne sont pas égaux et leur différence est déterminée par les températures des points de contact; d'une extrémité à l'autre, le potentiel varie d'une manière continue. Le milieu extérieur étant infiniment moins conducteur que le métal, on peut négliger <*n général les pertes qui ont lieu par la surface, et le flux d'électricité est parallèle aux génératrices du cylindre.

Le phénomène électrique qui se produit dans cette barre est donc entièrement comparable aux échanges de chaleur qui ont lieu dans un milieu indéfini, conducteur de la chaleur, et H-

mité par des plans parallèles à des températures constantes. Si les actions élémentaires obéissent aux mêmes lois dans les deux cas, il est clair que Ton arrivera ainsi aux formules établies par Fourier pour la propagation de la chaleur.

Ce raisonnement, sauf le choix des expressions, est à peu prés identique à celui d'Ohm (*). Quand un fil conducteur est en équilibre électrique, Ohm considère tous les points de ce milieu comme étant dans le même état électrique, à la même tension, cette tension étant analogue à la température pour les phénomènes calorifiques. Lorsque Téquilibre n'a pas lieu, il se produit des échanges d'électricité, et la tension en un point est en général une fonction du temps et des coordonnées de ce point ; quand une cause étrangère maintient une différence de tension constante entre différents points du conducteur, il finit par s'établir au bout d'un temps plus ou moins long un régime régulier, et la tension en chaque point devient indépendante du temps. Ohm admet ensuite qu'enlre deux molécules, dont les tensions sont U et U', il se produit, pendant l'unité de temps, un flux d'électricité proportionnel à la différence des tensions U — U' et à une fonction de la distance des deux points, telle que les poinis les plus voisins aient une influence prédominante. C'est là sa première hypothèse. Elle est la même que celle de Fourier, si l'on remplace le mot tension par température (244).

Sans qu'il soit nécessaire de répéter les raisonnements, on voit que le flux d'électricité en un point est normal à la surface d'égale tension, analogue aux surfaces isothermes (247), qui passe en ce point ; la quantité m d'électricité qui traverse un élément ds d'une surface de niveau est proportionnelle à cette surface, à la dérivée de la tension par rapport à la normale, de sorte qu'on peut écrire, en désignant par c un coefficient qui dépend de la nature du milieu,

, f/l m= — cas , ; an

le signe — indique que le courant a lieu dans le sens vers lequel les tensions diminuent.

[*) Théorie mathématique de* courants électriques, par (i.-S Ohm; traduction de M. Gaugain. — Paris, 1S60.

446 TRAITÉ D'ÉLECTRICITÉ STATIQUK.

Jusqu'ici la tension n'est définie que comme un état électrique particulier, analogue à la température dans les phénomènes de propagation de la chaleur. Ohm, d'après les idées de Volta, considère la tension comme une sorte de tendance à pousser l'électricité dans un certain sens, et il indique Tèlectroscope comme un moyen de la mesurer ; c'est donc une propriété absolument identique au potentiel.

052. En effet, pour établir une relation entre la propagation de l'électricité et les phénomènes électrostatiques, il suffit de revenir aux raisonnements par lesquels nous avons commencé, de considérer la tension d'Ohm comme étant en chaque point le potentiel de Télectricité libre distribuée sur la surface ou dans l'intérieur du conducteur. On admettra, en outre, comme l'a fait M. Kirchhoff ('), que le flux d'électricité m, qui traverse un élément ds d'une surface du niveau, est proportionnel à la résultante des actions électriques en ce point, c'est-à-dire à la dérivée du potentiel par rapport à une normale à la surface, ce qui l'équation donne

m = — cas T- .

On retrouve ainsi la formule élémentaire d'Ohm et Ton peut immédiatement interpréter, dans ce nouvel ordre de phéno^ mènes, tous les résultats obtenus par la théorie pour la propagation de la chaleur dans les milieux conducteurs.

953. Supposons, par exemple, que le régime permanent soit établi dans un conducteur, de telle sorte que le potentiel en chaque point soit une fonction des coordonnées indépendante du temps. Considérons un élément cylindrique terminé à deux surfaces de niveau infiniment voisines et limité latéralement par des orthogonales ; prenons trois axes de coordonnées rectangulaires dont l'un, l'axe de x, soit parallèle aux génératrices du cylindre, c'est-à-dire à la normale aux surfaces de niveau. La quantité d'électricité qui entre pendant Funité de temps par

rfV l'une des bases ds du cylindre est égale à — cds t-« et celle qui

') ^ogg. Ann., t. LXXVIII, p. 506. — Ànnaleàde Chimie et de P/ufêique, 5* senti t. ku, p. i96.

DES SOURCES D'ÉLECTRIGITË. 447

dx dx

s'écoule par la base opposée est égale à — cds l

comme il n'entre et ne sort rien par les surfaces latérales, il reste dans l'élément de volume un excès d'électricité égal à

— cds -r^ dx. Cet excès doit être nul si le régime permanent dxr

est atteint, il faut donc que l'on ait

dx'

D'autre part, les dérivées du potentiel, par rapport aux deux autres coordonnées, sont nulles, puisque ces axes sont parallèles au plan tangent à la surface de niveau, de sorte que Ton a aussi

(iV d\ dy dz

et, par suite,

df '' r/.' ^•

On en déduit

d«V rf'V f/«V dx^ dy* dz*~'

Comme cette somme des trois dérivées secondes est en général proportionnelle à la densité électrique au point considéré (142), on en conclut que la densité électrique est nulle dans tout r intérieur dun conducteur traversé par un courant permanent^ chaque élément de volume renfermant des quantités égales d'électricités contraires, dans Thypothése des deux (luides. A la surface seulement du conducteur il y a une couche d'électricité libre, qui n'est pas en équilibre d'elle-même et qui produit les potentiels variables en différents points.

954. PropaffaUon dans un Ol eyllndrique. — Le principe fondamental étant établi, tous les problèmes relatifs à la propagation de l'éleclricité dans un conducteur ne présenteront plus que des difficultés d'analyse ; nous examinerons surtout le cas d'un conducteur cylindrique*

Quand un fil cylindrique, de diamètre très-petit par rapport à 83 longueur, et placé de la même manière par rapport aui

448 TRAITÉ D'ÉlJilCTRlClTÉ STATIQUE.

corps voisins dans toute son étendue, est électrisé et en équilibre, la densité moyenne sur le contour d*une section normale est la même partout, sauf dans le voisinage des extrémités, et la distribution peut être considérée comme étant sensiblement identique à celle qui s'établirait si le fil était indéfini. Le potentiel, comme nous Tavons vu dans le calcul des condensateurs cylindriques (173), est proportionnel à la charge totale et en raison inverse de la longueur du fil; il est donc proportionnel à la densité électrique moyenne.

Supposons que, par suite d'une cause quelconque, la densité moyenne varie le long du fil en progression arithmétique, le potentiel, en un point situé loin des extrémités, sera encore proportionnel à la densité moyenne de la section correspondante ; en effet, si l'on enlève Texcès d'électricité qui se trouve d'un côté, jusqu'à la distance où les actions sont négligeables, pour le porter de Tautrc à la même distance, la densité moyenne et le potentiel auront partout la même valeur qu'au point considéré. Enfin, si les variations de densité suivent une autre loi quelconque qui ne soit pas Irès-rapidc, on peut admettre encore, au moins comme première approximation, que le potentiel en chacun des points du fil est proportionnel à la densité moyenne correspondante.

955. Considérons maintenant un fil cylindrique de longueur/, de section s, dont les extrémités sont maintenues à des potentiels V^ et V,, placé dans un milieu non absolument isolant, de sorte qu'il s'effectue parla surface une déperdition d'électricité qui n'est pas négligeable. Ce fil sera parcouru par un courant d'électricité allant de l'extrémité où le potentiel est le plus élevé Vj vers l'autre extrémité.

Les surfaces de niveau seront sensiblement des plans perpendiculaires aux génératrices, sauf dans le voisinage de la surface extérieure du fil, à laquelle les surfiices de niveau deviendront tangentes par des raccordements d'une très-petite amplitude. Le potentiel V sur chacun de ces plans P est, dans le cas général, une fonction du temps et de la distance x du plan considéré à un plan fixe parallèle.

Le flux d'électricité m qui s'écoule pendant un temps infiniment petit dt à travers la section correspondante au plan P a

DES SOURCES D^LECTRIGITÉ. 449

pour expression

m = — es -j- ai, ax

Le flux qui traverse une section parallèle P', à une distance dx de la première, est de même

11 reste donc, de ce chef, dans le cylindre compris entre les deux plans, un excès d'électricité

d'V m — m' = es -j-^ dxd^

D'autre part, la densité électrique sur la surface extérieure étant généralement Irès-faible, on peut admettre que la loi de Coulomb est applicable cl que la déperdition est proportionnelle à^ quantité d'électricité. Désignons par y ce que M. Gaugain appelle le coefficient de charge, c'est à-dire la quantité d'électricité nécessaire pour porter l'unité de longueur du fil à un potentiel égal à l'unité ; la capacité électrique du cylindre élémentaire considéré sera -^dx, la charge sera égale à -^^dx, et la déperdition pendant le temps dt pourra être représentée par b^ydxdt. Enfin, l'excès d'électricité accumulé dans ce cylindre pendant le temps dt y produira un accroissement de potentiel correspondant dV, ce qui donne l'équation (*)

dx -y dt = es -p^ dxdt — b^\dxdt,

ou bien

(1) î^-'^-'Vz^^.^.

^ ' dx^ es es d t

Cette équation est identique, sauf la signification de certains termes, à celle qui a été donnée par Ohm.

956. État permanent. — Si le régime permanent est établi , les potentiels sont aloi^ simplement des fonctions de or; le se-

(*) Ce raisonnement ne présente pas de difficultés dans l'hypothôse d'un seul fluide. Si l'on admet que le fil soit parcouru par deux courants d'électricités diflérentes et de sens contraires, il suftît de remarquer que l'élément de volume considéré éprouve par les surfaces P et P' une perte d'électricité négative et un gain d'électricité positive, et l'on arrivera à b même équation.

Il 39

450 TRJUTÉ D*ËLECTRIG[TË STATIQUE.

cond membre de l'équation générale est nul, et il reste

^ ' dx^ es

Supposons d'abord que la perte par Tair soit négligeable. Le coefficient b est alors nul, ce qui donne

On aurait pu écrire directement cette équation en remarquant qu'il ne peut pas s'accumuler d'électricité entre deux plans parallèles, de sorte que le flux qui s'écoule à travers une section quelconque du fil est constant, c'est-à-dire que la dérivée du potentiel est constante. En intégrant de nouveau, il vient

V = Aar 4- B.

Pour déterminer les constantes A et B, on appliquera Féquation aux extrémités du fil, ce qui donne, en prenant l'une des extrémités comme origine des coordonnées,

V, = B, V, = A/H-B; il en résulte

(4) V = '-^-j-^' x^\, = V,— îi — ^

Les potentiels le long du fil varient donc en progression arithmétique ; si l'on élève en chaque point une perpendiculaire dont la longueur soit proportionnelle au potentiel correspondant, les extrémités de ces ordonnées seront en ligne droite.

Le flux d'électricité pendant l'unité de temps est alors

= c.g=c(ï,-V.)î=!tI..

Or, l'étude de la décharge des batteries par les galvanomètres (328) a montré que l'intensité du courant, évaluée par la déviation d'une aiguille aimantée, est proportionnelle à la quantité d'électricité qui s'écoule pendant l'unité de temps; D'après cela, la quantité M peut être considéi*ée comme représentant l'intensité galvanométrique du courant; elle est proportionnelle

DtS SOUKCKS D'ÉLECTIUCITÉ. Ab\

à la différence des potentiels des extrémités du 111, en raison inverse de sa longueur, proportionnelle à la section et à un coefficient c particulier à chaque métal. C/est la loi d'Ohm,

L'expression — représente encore (418) la résistance du fil

considéré; elle pourrait être ici déterminée en nombres absolus, si Ton connaissait la différence des potentiels et le flux d'électricité, et Ton en déduirait la valeur absolue du coefficient de conductibilité. En désignant la résistance du fil par une seule lettre X, on a donc

Si le conducteur dont les extrémités sont aux potentiels \\ et V, n'est pas cylindrique, Tintensilé du courant est encore proportionnelle à la différence des potentiels, de sorte qu'elle peut être représentée par la même expression (5). On déterminera la résistance de ce conducteur, soit par le calcul, soit par expérience en le comparant avec un fil cylindrique.

957. Lorsque la perte par l'air n'est pas négligeable, il faut résoudre l'équation complote (2). Posons

il vient alors

L'intégrale de cette équation est

e désignant la base des logarithmes supérieurs, A et B des constantes qui restent à déterminer d'après les conditions du problème. On obtient ainsi

Si les potentiels aux deux exlrémilés du fil sont égaux cl de signes contraires, le second membre de cette équation se réduit au premier terme.

Si le potentiel est nul à Tune des extrémités, on obtient en faisant V, = o,

958. État variable. — Enfin Tétat permanent ne s'établit jamais d'une manière instantanée ; Télat variable qui le précède est défini par Téquation générale (1) que Ton peut écrire

en posant

, es

Dans cette équation le potentiel V est une fonction de x et de U qui tend à devenir une simple fonction de a: à mesure que le temps augmente. En désignant par Y la valeur qui correspond à Tétai permanent, on peut écrire

la fonction U tendant vers zéro à mesure que le temps augmente. Si Ton substitue cette expression dans 1 équation générale (1)', en faisant attention que V est une fonction indépendante du temps et satisfait ù Téquation

' = 11^-^'^^ on oblicntlra pour délcrininer U Téquation

de même forme que la première, mais dans laquelle la fonction U est d'une nature différente, et cette circonstance rendra l'intégration plus facile.

Uemarquons que b = a*fi' et posons encore

. Des SOURCES D'ÊLECTRICITË. 453

l'équation se réduit alors à

dt~* dx* *

On obtient une intégrale particulière par une expiession de la lorme

W = ^"*'' (x\ sin mx -+- B cos mx) .

Si l'on cherche à vérifier Téqualion proposée, on trouve que m' doit être égal à — a'/n', ce qui donne

(8) W = ^ - *•'"'' (A sin mar -f- B cos inx).

Il faut maintenant préciser les conditions du problème. Supposons que le fil soit primitivement à l'état neutre, que l'extréinih? où Ton place l'origine des coordonnées soit au potentiel Vj, ot que l'autre extrémité soit maintenue à un potentiel nul. On voit que pour / = o, on aura, quel que soit o', V = o, U = — V ot W = — V. Pour l'une des limites x = o, on aura, quel que soit le temps, V = Vj, U = o, W = o. Pour l'autre limite 0? = /, on a de même V = o, U = o et W = o.

En donnant à x les valeui's o et / dans l'équation (8) on doit avoir W = o, ce qui donne les conditions

B = 0, et sin//i/ = 0, d'où l'on dc'duit

ml = nr, ou m = -^i

n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif. Il vient alors

— '-^y^^ i UT

W = Ae '* sin-^ar,

et l'on obtiendra la solution du problème en faisant la sonnne de toutes les intégrales particulières de cette forme. Il suffit de donner h n des valeurs positives , car les solutions dans lesquelles n prend des valeurs égales et désignes contraires ne différent que par le coefficient, de sorte qu'on peut les réunir. En désignant par A, le coeflicient qui convient à chaque valeur par-

454 TRiÙTÉ D'ÉLECTRICITÉ STATIQUE,

liculière de ??, Tintégrale cherchée sera

n r- oc n*n*a' a. ^^

(9) W=y ' ke ~ sin-f'o:.

Pour déterminer les coefficients, nous remarquerons que, si / =z= 0, la valeur de W est égale à — V, c'est-à-dire à une certaine fonction de x; posons

Cherchons d'abord à évaluer l'intégrale définie

dans laquelle n' est un nombre entier positif. Cette intégrale se compose d'une somme de termes tels que

On vérifie aisément que chacun des termes où les nombres n et n' sont différents est nul ; il ne reste donc que le terme dans lequel ces nombres sont égaux, ce qui donne

ç(,y)sin -j^dy = A„. / sm» -^ dy = K -•

Amsi Ton a, pour une valeur quelconque de n.

Si Ton remplace maintenant ©(y), ou — V, par sa valeur que donne Téquation (7), Tintégralion ne présente pas de difficullés et Ton obtient

Jr' , , . 71TJJ , utJ\.

Portant celte valeur dans l'expression de A,, et celle-ci dans l'équation (9), il vient

et «nfin

. mz sm-y- .r.

Il suffit maintenant d'ajouter à cette expression la valeur du potentiel V, qui convient à Télat permanent, et Ton obtient pour le potentiel V relatif à Télat variable

- -isv.e - *' y

nS«««

t . Hsm -y- a?.

Lorsque la déperdition par Tair est négligeable , les coefficients 6 et p sont nuls; il reste simplement

(11) V = V/— j^— 27cV,y — e

sm-y-o^.

La solution mathématique de ce problème avait été donnée par Laplace sous forme d'intégrale définie. Poisson (^) a indiqué cette solution en série en étudiant les lois de la propagation de la chaleur dans une barre conductrice.