CAPACITÉ

DIAMETRC DU FIL

OBSERTéB

CALCULél

jinm.

975. n reste enfin à étudier Tétat permanent quand les pertes par Tair ne sont pas négligeables.

D'après la formule (7) du n° 957, le potentiel Y^ au milieu d'un fil, dont Tune des extrémités communique avec le sol et dont l'autre est au potentiel Vp a pour expression

pi

Il = —1-1

en posant

Si les potentiels sont connus, on en déduit pour y, en ne prenant que la racine positive, laquelle est la seule admissible,

On peut , dans deux expériences successives avec des fils de môme nature et de longueurs différentes, déterminer le rapport qui existe entre le potentiel V^ au milieu du fil et le potentiel V^ à l'extrémité; on aura ainsi, par les équations (3) et (2), deux moyens de calculer la valeur du coefficient p, et la concordance des résultats sera une vérification des formules.

M. Gaugain a opéré de cette manière sur deux cordonnets de soie bien homogènes dont les longueurs étaient 4 et 8 mètres. La conductibilité de ces cordonnets était tellement faible, qu'il fallait plus d'une demi-heure pour que le potentiel au milieu du

. DES SOURCES D^ÉLEGTRIGITÉ. 475

fil de 8 mètres cessât de croître d'une manière appréciable. Le potentiel de la source étant représenté par 52, les potentiels de points milieux ont été 18,7 pour le fil de 4 mètres et 9 pour le fil de 8 mètres, tandis que, si Tinfluence de Tair eût été négligeable, le potentiel du point milieu eût été représenté par 26 dans les deux cas.

En prenant pour unité la longueur (4 mètres) du fil le plus

court, on déduit de la première expérience e*= 2,355. Si Ton calcule, d'après cela, le potentiel au milieu du fil le plus long, on trouve 9,08 au lieu de 9 qu'a donné l'observation directe. Dans ce cas, l'intensité du courant est exprimée par la formule

Si l'on déterminait expérimentalement les valeurs de l'intensité en deux points, on aurait encore une autre manière de calculer le coefficient p et de vérifier la théorie.

976. État variable. — Lcs problèmes relatifs à l'état variable présentent de grandes difficultés, tant au point de vue expérimental qu'au point de vue théorique. Un des plus simples que Ton puisse se poser est celui-ci : un conducteur cylindrique et homogène de dimensions données étant mis en communication, d'une part avec le sol et, d'autre part, avec une source d'électricité constante dont le potentiel est connu, déterminer le temps qui s'écoule jusqu'au moment où le potentiel en un point du conducteur prendra une valeur déterminée. On pourra appeler durée de propagation l'intervalle de temps ainsi défini.

Le problème peut être subdivisé en deux autres. On peut demander que ce potentiel atteigne une valeur absolue déterminée, ou une fraction déterminée du potentiel limite qui convient au même point dans l'état permanent. Il y a donc lieu de considérer deux durées de propagation, l'une absolue et l'autre relative ; cette dernière sera le temps nécessaire pour atteindre une fraction déterminée du potentiel limite.

M. Gaugain a étudié ce phénomène sur des fils de coton, ou sur des colonnes d'huile, par des méthodes analogues à celles que nous avons déjà indiquées. Dans le ras le plus simple où les

déperditions par Tair sont négligeables, il a constaté que la durée de propagation, absolue ou relative, est en raison tnverse du coefficient de conductibilité et de la section du conducteur, proportionnelle au carré de la longueur et au coefficient de charge.

Si donc on représente par A un coefficient constant, la durée de propagation, absolue ou relative, peut être exprimée par la formule

dans laquelle les différentes lettres ont les significations que nous leur avons données plus haut (955). Ces résultats sont parfaitement d'accord avec la théorie d'Ohm. En effet, la formule (H) du n** 958 montre que la valeur du potentiel en un point reste la même dans différentes expériences lorsque le seul facteur qui renferme le temps atteint la même valeur. Si donc Texpérience est réalisée dans des conditions telles que Ton

ait — - = A, le potentiel sera le môme.

es On en déduit, en remplaçant a* par sa valeur—,

es

L'expérience montre encore que la durée de propagation relative est indépendante du potentiel de la source; cela résulte aussi de la formule d'Ohm, puisque la valeur de U et celle du potentiel limite sont toutes deux proportionnelles au potentiel de la source. Il n'en est pas de même pour la durée de propagation absolue; la formule montre que le problème est alors beaucoup plus complexe.

Si la déperdition par l'air n'est pas négligeable, on voit immédiatement que la durée de propagation, absolue ou relative, doit être augmentée, et il est facile de montrer aussi qu'elle croît plus rapidement, toutes choses égales d'ailleurs, que le coefficient de charge et le carré de la longueur du fil.

977. Ces résultats peuvent être généralisés et appliqués, par exemple, à toutes les expériences dans lesquelles on a utilisé les

fils télégraphiques pour déterminer la vitesse de propagation de t électricité , Si Ton entend par là le temps nécessaire pour que le fil atteigne son état limite, ce temps est infmi en théorie. Si on le détermine, en pratique, par la condition que le potentiel en un point ne diffère pas sensiblement du potentiel limite, la valeur obtenue dépendra de la précision avec laquelle on évaluera la différence des deux potentiels, ou l'intensité du couvant, et Ton pourra obtenir des durées extrêmement différentes, suivant le degré d'approximation auquel on s'arrêtera. Enfin, la durée de propagation n'est pas mieux définie si l'on observe le moment où l'électricité devient appréciable au point considéré, par le courant ou par le potentiel, parce que l'apparition de Télectricité semblera plus ou moins rapide, suivant le procédé à l'aide duquel on appréciera l'état électrique du fil.

La question se complique encore davantage si le fil éprouve des déperditions, soit par le contact de l'air, soit par une suite de dérivations qui s'effectuent dans toute sa longueur, comme celles que produisent les poteaux d'un fil télégraphique aérien, soit par un milieu ambiant autre que l'air, comme pour les fils souterrains ou les câbles plongés dans la mer. Dans ce dernier cas, en particulier, les fils sont entourés d'un milieu parfaitement conducteur dont ils ne sont séparés que par une couche isolante de faible épaisseur ; le coefficient de charge est alors très-grand, la déperdition est loin d'être négligeable et la propagation doit, en général, paraître beaucoup plus lente.

Le problème de la vitesse de propagation de rêleclricilê, que Ton s'est proposé souvent de résoudre par expérience, n'est donc pas défini d'une manière simple, comme pour le son ou la lumière. D'après la théorie d'Ohm et les recherches de M. Gaugain, il n'y a pas lieu de s'étonner des divergences considérables que présentent les résultats obtenus par différents observateurs (4 14), parce que les conditions dans lesquelles ils se sont placés n'étaient pas directement comparables.

978. Relations qui existent entre les théoréoMs d*éleetriclté ■tntiqne et les lois de propagation des eonrants. — NouS avonS VU

(243-251) qu'il existe des relations très-simples entre les lois de propagation de la chaleur, par conductibilité, et les lois de distribution des forces électriques dans un milieu isolant. Comme

la propagation de réleclricité dans un milieu conducteur repose sur les mêmes lois fondamentales que la propagation de la chaleur par conductibilité, il en résulte aussi que la propagation de Télectricité et la distribution des forces dans le problème cor* respondant d'électricité statique doivent présenter les mêmes corrélations. Considérons des corps A^, A,, A,... maintenus à des potentiels constants V^, V„ Y,...; supposons deux expériences dans lesquelles ces corps soient séparés d'abord par un milieu conducteur de l'électricité, puis par un milieu isolant. La distribution des potentiels dans le milieu intermédiaire est exactement la même dans les deux cas. Dans le premier, le flux d'ètectricité est normal à chacun des corps considérés A^, A,, A,..., et reste normal à toutes les surfaces de niveau intermédiaires ; la quantité qui s'écoule par un élément de surface de l'un de ces corps rentre dans un autre corps par un élément correspondant de surface. Dans le second cas, la force électrique est normale en chaque point de la surface des conducteurs A^, A,, A,...; les lignes de force sont des orthogonales aux surfaces de niveau situées dans le milieu isolant, et les quantités d'électricité répandues sur deux éléments correspondants sont égales et de signes contraires. En résumé, les forces dans le problème d'électricilé statique varient exactement suivant les mêmes lois que les flux d'électricité dans le problème corrélatif.

Considérons, en particulier, les deux armatures A et l\ d'un condensateur fermé, maintenues aux potentiels V^ et V,. La force électrique, sur un élément de surface de l'armature intérieure A, est proportionnelle à la densité correspondante (161); la somme des forces est donc proportionnelle à la charge totale M. Cette charge totale M est proportionnelle à la différence des deux potentiels Vj — V,, et à une fonction 9 qui dépend de la forme et de la distance des deux armatures. D'autre part, si les armaturcs A et B sont maintenues aux mêmes potentiels et séparées par un milieu conducteur, il s'écoulera de l'une à Tautre une quantité d'électricité proportionnelle à la somme des forces considérées, c'est-à-dire à la charge M du condensateur et à la même fonction 9. Le flux électrique et la charge du condensateur sont donc dans un rapport constant.