ROTIS

Us lois des eonnmta dérivés domient les deux refatiens qui BuiT«»nt, Pti supposant que la coupla À soit seul en activité.

hrniifr^xizk', k' désignant Tun quelconque de ces deui

/ i produits; de ces deux équations Ton tira A' sBt'f i.i \.

Or - +^, est la résistance du système conducteur formé par 0 et le

couple B; donc h' représente la force électrorootrice dans ce système, d'où il résulte l'équation

qui exprime que la force éiectromotrice du circuit est égale à la somme des forces électromotrices des différentes portions longitudinales de ce circuit.

De ces trois équations, on tire les valeurs de i, i' et ¥" en fusant pour

abréger *=- + p.

r'ir ^ r'tr' r* $ r^

On trouve de la même manière les valeurs de <,, «,' et i/y en supposant que B seul soit en activité. Les équations (i) deviennent maintenant

'^"■ff^ ^ f"' rj

Exprimons maintenant que intensité du courant dans le couple B est nulle.

ce qui donne :

Substituant cette valeur de e"' dans les deux autres équations , on

trouve :

et cette relation comparée à la précédente donne :

e"^rl (2).

Ainsi, au moyen d'un galvanomètre placé dans le circuit de B, on s'usurera qu'à chaque instant on a T = 0 et on se servira des relatioDs (I) et (2) pour déterminer e'' qui est la force électromotrice du couple i force

NOTE P. FORCE ÉLECTROlfOTRICE d'uN COORANT. 847-

noQ comlaiite. M. PoggiiMkiiff, en aiipèiquant ohactine de ces deut formules^ a été conduit aux deux procédés suivants. Premier frçeédé :

Soit B un couple ordinaire de zinc et de cuivre à un seul liquide; on choisit pour A^ un couple à force constante et considérable, par exemple un couple de Grove. On fait communiquer^ au moyen d'un 01 conducteur ùy les plaques de zinc des deux couples, et au moyen du fil b, le zinc de B avec le platine de A ; enfin on joint par le fil e, cette plaque de platine avec le cuivre de loutre couple ; le fil c renferme un galvanomètre trèssensible.

Dans cet état de choses, le fil a et les liquides de A donnent la résistance T'y le fll b la résistance r, et lorsque ces deux résistances ont entre elles un eertain rapport, il n'y a pas de courant dans le (il e, ni par conséquent dans le couple B ; on arrive à ce résultat en modifiant peu à peu la longueur de 6, jusqu'à ce que l'aiguille du galvanomètre ne dévie plus du 0 et en aynnt soin, après chaque approximation, de laisser pendant quelque temps le circuit B ouvert pour faire disparaître toute trace de polarisation. Une fois l'équilibre bien établi, M. Poggendorff mesure la résistance de b avec la plus grande exactitude possible ; les éléments du couple de Grove ont été détermines par les procédés ordinaires, et l'on trouve e^ par la formule e" = îlltl. b\

M. Poggendorff a obtenu une vérification de cette méthode en mesurant la force électromotrice d'un couple de Daniell,déjà obtenue par le procédé de Ohm.

Méthode de Ohm.{^^^„^^^^;^3^^,= i,6'n.

Méthode de compensation, jjl^^jj JJ* -J/='^^ = i,«««.

Second fn'oeédé :

On dispose les deux couples de la même manière que précédemment ; seulement, il faut introduire dans le fil h un galvanomètre; lorsqu'on s'est assuré que le courant du fil e est annulé, on mesure la résistance de b et l'intensité du courant qui le traverse ; si l'on se sert d'une boussole des sinus, en appelant «l'angle de déviation de l'aiguille, on a pour 0^.

e^ = r «in a.

Ce procédé a sur le premier cet avantage que, « contenant implicitement €' et r', lors même que ces éléments viennent à varier dans Fintervalle des expériences successives, ils entrent toujours dans le calcul avec leurs véritables valeurs, puisse la détermination de a se fait pour chaque expérience ; dans le premier procédé, il faut dans ce cas déterminer de temps en temps la force électromotrice et la résistance du couple à force constante, ce qui nécessite un travail assez long. M. Poggendorff, en compa-

848 iioTBS.

rant ces deux prooMés^U montré ^'ife s'uocordeiit avec un grand degré d'exactitude.

NOTE G (p. 760).

RRLATITB A L\ THÊORIB MiTOÉIIATIQUE DE LA PILE.

Nuus avons établi^ dans le chapitre premier de notre quatrième partie.

comme une des lois générales de la propagation de rélectricité , que

l'intensité d'un courant dans un drcuit fermé est proportionnelle à la

somme algébrique des forces électromotrices qui sont développée par une

cause quelconque dans les différentes parties de ce circuit (ces forces étant

prises avec leurs signes)^ divisées par la somme des résistances que pré-

Ë sente ce circuit : I = ]?• Cl^tte loi, que Ohm le premier a énoncée avec

cette rigueur mathématique, en la déduisant de considérations à priori, a été vérifiée expérimentalement, comme nous l'avons vu, par Fachner pour des circuits hydro-électriques, et par Pouillet, pour ces mêmes circuits, ainsi que pour les circuits thermo-électriques. Mais dans sa généralité, la loi s'applique A toute espèce de circuits aussi bien qu'à ceux que nous venons de dé^gner,^ en particulier aux circuits dans lesquels la force électromotrice est développée par l'action inductrice qu'exerce sur eux, dans une de leur portion plus ou moins longue, l'approche d'un aimant ou d'un courant électrique fermé. Elle est donc indépendante de la nature de la force électromotrice, et par conséquent aussi de toute espèce d'hypothèse qu'on peut faire sur cette nature. On peut avoir un circuit fenuésans qu'il n'y ait encore aucun courant qui y circule; tel est le cas d'un circuit thermo-électrique dont toutes les parties sont à la même température, d'un circuit destiné à l'induction avant qu'on l'ait soumis à l'action inductrice; ces circuits possèdent une force de résistance, qu'ils opposeront toujours la même a tout courant qui les parcourra, que ce courant provienne ou d'une force électromotrice qui leur soit extérieure, ou d'une force électromotrice qui soit provoquée dans une ou plusieurs parties d'eux-méoie?, par exemple, en chauffant les points de contact impairs des portions hétérogènes du circuit thermo-électrique, en déterminant l'action inductrice sur une certaine portion du circuit destiné à être induit.

On trouve dans le Traité de Physique de M. Pouillet > l'exposition détaillée des expériences et des calculs très^mples, au moyen desquels ce savant physicien est parvenu à établir la formule générale de i'imenailé d'une pile composée d'un nombre n de couples, dont rintenaité et k résistance individuelles sont données. Il faut en outre connaître la réaittance a des conducteurs communs dans laquelle est comprite oette du

< ÉUmenli de physique expéiimentale et de météorologie, par M. PmriHit. C* wlUlon, 1853, t. I, p. 081 €t luiv.

NOTE G. THÉORIE MATHÉltlTIQUE DE LA PILE. 849

galvanoniètre à sinus ou à tangente destiné à mesurer tlatensité du courant de chaque couple, et ensuite de la pile entière^ et la résistance / du fil qu'on ajoute au circuit; toutes ces résistances sont données en longueurs réduites d'un même fil de cuivre. M. Pouiilet arrive ainsi à cette formule

générale : . ^|\j,i> ^^"^ laquelle iri exprime la somme des

produits de «, et r„ de i, et r, etc., tj et fj étant l'intensité et la résistance indiviikelles du premier couple, i, et r, celles du second, etc., 2 r étant la somme des résistances fi r„etc.,de chaque couple. 11 est facile de voir que Sri est la somme des forces électromotrices «i e, des couples,

puisque tj = — et par conséquent U r, = «j. Ainsi la formule générale

établie par M. Pouiilet, au moyen d'expériences directes, est toujours la

même que b-t" ,• H faut seulement faire attention ici que M. Pouiilet re-

tranche de la somme des résistances z r ou R, autant de fois la résistance du conducteur commun (galvanomètre qui a servi à la mesure) qu'il y a de couples moins un, ce qui tient à œ que la résistance de chaque couple a été déterminée individuellement au moyen de ce galvanomètre mis dans son circuit, lequel se retrouve bien dans le circuit de la pile entière, mais une fois seulement, et non pas m fois, c'est*à-dire non pas autant de fois qu'il y a de couples. Il faut donc retrancher cette résistance, qui se trouve implicitement comprise dans celle de chaque couple, autant de fois qu'il y a de couples dans la pile moins un.

En opérant ainsi, M. Pouiilet trouve un accord complet entre les valeurs que l'expérience directe hii donne pour l'intensité du courant de piles composées d'un plus ou moins grand nombre de couples, et celles qu'il tire de la formule en y mtroduisant les valeurs numériques que l'expérience kii avait données pour i'intrasité et la résistance individuelles de chacun des couples dont la pile est formée.

Dans le cas ordinaire où les couples de la pile ont tous la même intensité, la formule devient : -, .> , , , et m o est très-petit par

nr— a(n — i)-j-/ ' '^ *^

rapport à r, ce qui peut arriver facilement, elle devient : — -7-7. Si on exprime l en friction de r de manière qu'cm ait < = jpr, la formule de>» vient : ^p-- ; et si p est très-petit par rapport à n, c'esVi-dire si le conducteur qu'on ajoute au circuit ou, ce qui revient au même, qui réunit les pèles de la pile est très-bon, soit par sa nature, soit par ses dimensions, et qu'en même temps le nonAre des couples soit trèsrgrand, alors la for-

ni

mule devient • :r ow ** c'estrà-dire que llntensité de la pile est égale à

celle d'un couple; tel est le cas par eien>ple, comme nous l'avons vu

850 WOTES.

(p. 502 et suiv.), d'une pile thermo-électrique composée d'un certain nombre de couples semblables ajoutés bout à bout de manière à former à eux seuls le circuit complet, sans conducteur interposé, car alors on a /> = o. Si au contraire p est très-grand par rapport à n, c'est-à^lire si le conducteur interposé est un fil fin et long^ ou un liquide qui présente une grande résistance^ tandis que d'un autre côté r ou la résistance de chaque couple

Il i est petite^ alors n disparaît devant p et la formule devient — ; c'est-à-dire

que l'intensité de la pile est proportionnelle au nombre de ses couples;

ce cas se réalise exactement quand/? = -; c'est-à-dire quand les pôles de

la pile sont isolés^ la tension de chacun d'eux est alors en effet exacte^ ment proportionnelle au nombre des couples. Du reste, les deux cas extrêmes que nous venons de supposer sont les deux limites entre lesquelles l'intensité d'une pile quelconque est nécessairement compiise; dans les cas ordinaires, cette intensité a donc une valeur comprise entre ces limités ^

Après ce coup d'oeil général sur les lois mathématiques qui régissent rintensité des courants, venon&-en à savoir comment on peut comiaftre ou obtenir le maximum d'effet utile d'une pile. Nous suivrons pour cela la méthode décrite par M. Poggendorff, méthode dont nous avons déjà indiqué les résultats dans le corps de l'ouvrage (p. 760).

On a i = -^ , en appelant e la force électromotrice d'un couple, r la

résistance de ce couple (résistance essentielle et constante du circuit), et Ha résistance accessoire et variable extérieure au couple; en appelant m

le maximum d'intensité du courant, on a m = -. On peut approcher de ce

maximum , soit en annulant autant que possible la résistance 2, en employant pour fermer le circuit un conducteur aussi bon que possible, soit en rendant n aussi grand que possible, c'est-à-dire en construisant une pile composée d'un aussi grand nombre de couples que possible, ce qui fait

< Ceéi à tort, suivant nous, que M. Feuillet appelle le cas le plus défavo» rabUt celui où l'intensité de la pile n*est ni pius ni moins grande que celle d'on couple , et le cas le pîm favorable, celui où elle est proportionnelle au nomlrre

n g des oouples. En effet, dans le premier cas, son intensité est — = «, et dans

le second — < e, puisqu'on n'obtient — pour la valeur de Tintensitéde la pile

qu'en taisant p infiniment grand par rapport à n. 11 est vrai que dans ce second cas, rintensité est d'autant plus grande que le nombre des couples est plus considérable ; mais Texistence de ce rapport entre l'intensité et le nombre des couples n'influe en rien sur la valeur absolue de cette intensité.

yOTt G. THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA PILE. 851

ne

que dans l'expression I = — -r- , l disparaît devant n r et on a 1 = — = m.

Si on a un second circuit dont les éléments correspondants à ceux du premier soient «', f, /', i', on a d'une manière générale l'expression suivante pour le rapport des intensités des courants des deux circuits :

Si l'on suppose < = T et qu'on fasse l = o, puis l = -;, on aura dans

le premier cas : - = -. - et dans le second ?,= r^ •

La première limite est le rapport des courants maximum, puisque

m = -• et m' = -, La seconde limite est le rapport des forces électromotrices. Ces deux limites ^nt elles-mêmes entre elles inversement comme les résistances essentielles des deux circuits.

Le rapport des courants maximum est en même temps celui des intensités de deux courants voltaïques par lesquelles on obtient, avec ces courantsje maximun d'effet utile; et c'est ici que vientla solution de la question : étant données deux surfaces métalliques (zinc amalgamé et platine, par exemple), en combien de couples doit-on les diviser pour avoir une pile qui produise le maximum d*effet dans un voltamètre chimique ou calorifique placé dans son circuit? La distance qui doit exister entre les plaques des couples, le liquide ou les liquides dont on doit se servir, sont aussi donnés.

L'effet chimique du courant étant proportionnel à son intensité et son effet calorifique au carré de sou intensité, l'effet utile sera donc, dans ces cas, le plus grand possible quand l'intensité du courant sera maximum. Soit donc l la résistance du voltamètre ', x la résistance du liquide qui entre dans la formation de la pile, pour l'unité de section et pour une longueur égale à la distance entre les plaques de chaque couple, <r la grandeur de la surface à donner à chaque plaque et par conséquent la grandeur de la section du liquide, et $ la grandeur de l'une des deux surfaces métalliques dcmnées qui sont égales entre elles. Dans l'expression générale.

Le voltamètre peut être un voltamètre calorifique, c*e8t-à-dire un fil fin de platine qu'on met dans le circuit et dont on mesure le réchauffement ; dans ce cas l est la résistance de ce fil quand il est arrivé à la température que lui imprime le passage du courant électrique. Le voltamètre peut être un Toltamètre chimique, et alors la résistance l est celle qui résulte de l'ensemble des causes (y compris les polarités secondaires) qui dUuinuent Tintensité du courant dans le circuit duquel est le voltamètre, et qui peut toujours être représentée par I a longueur plus ou moins considérable d'un fil métallique.

I = ■ I ,>on a : f ss ^, puisque la résistance du couple doit être di*

rectement proportionnelle à celle du liquide dont le couple est chargé^ et inversement proportionnelle à la section du liquide; on a d'un autre

côté n = -, ce qui donne r = ^ ; remplaçant r par sa valeur dans Tev

pression de I^ on a :

de sorte que l'intensité du courant est exprimée en fonction de la seule variable n.

Il n'y a donc plus qu'à chercher quelle est la valeur de n qui rendra cette expression un maximum, et pour cela, il hut égaler sa dérivée à o, ce qui donne :

es (n*X + 9t) — 2n*Xc«=o d'où l'on tire :

. si , fl*X . NX

n«=-- ou i = — =nr,pui8quef=— .

Ainsi l'intensité du courant est à son maximum, quand le nombre des couples est tel que la résistance intérieure de la pile est égale à celle que le courant doit surmonter extérieurement dai» l'un ou l'autre des volta* mètres. On a par conséquent pour la valeur du maximum d'effet utile (qui est ici la même chose que le maximum d'intensité du courant) : I — ne ê "" nr •+- nr "~ 17

On trouve ainsi que l'intensité du courant, pour le cas du maximum d'effet utile, est égale au demi maximum d'intensité absolue que le courant de la pile ou celui de l'un de ses couples peut atteindre, et qui a lieu dans le cas où la résistance extérieure est nulle.

On arrive exactement au même résultat dans la solution d'une autre question, celle où il s'agit de savoir quelle doit être la longueur et le diamètre d'un fil conducteur dont le volume est donné ', pour obtenir le maximum d'action magnétique avec une pile voltalque donnée. — Si on appelle t la longueur et $ la section du fil dont la résistance est repréeentée par l dans la formule générale, v le volume donné du fil, on a, ai supposant que la résistance du fil soit 1 pour Tunité de longueur et de

section, v = <« et I == - d'où I = - .

* En général Tespace qui doit être rempli par le (H niéUlU<iae att donné dans la plupart des cas (par exemple dans let galvanomètres et dans les madùoes éleetro-magnéiiquee), espace qu'on peut remplir par un fil gros et court, oa minée et long ; ,11 s'agit de savoir les dlmensiOQB qu'il faut lui donner pour avoir le maii* mum d'effet utile.

NOTE 6. THÉORIE MATHÉMATIQUE DE Ll PILE. 853

Si on remplace / par sa valeur dans la formule générale^ on a :

nve

nvr+i*'

Mais pour avoir Teffet utile dans ce cas, il faut multiplier I par t longueur du 01, parce que l'action électro-dynamique d'un fll traversé par le courant électrique est proportionnelle au produit de l'intensité du couraùt par la longueur du fil^ ce qui donne ;

En différentiant cette équation par rapport an pour trouver le cas dans lequel 1 1 a une valeur maximum, on trouve que cette valeur maximum a lieu quand ^*= nvr ou, puisque /» = »/, quand l:=nr, c'est-à-dire quand la longueur et la section du fil sont tels que sa résistance l soit égale à la résistance intérieure de la pile^ résultat semblable à celui que nous avons trouvé dans le cas précédent, et d'où l'on tire également pour la valeur de

l'intensité du courant dans le cas du maximum d'effet utile : ! = ^- .

FIN DU DEUXlÈBa VOLUME.