CHAPITRE VI

DIFFÉREMTBS ESPACRi D»BMC»RISIVA€a»i.

EIYGRElf AGE OIT LE NGIfOIf CO!VDIJIT I.A ROVR.

Oii chaque mobile est menant et mené.

1161. Nous n'avons envisagé, jusqu'à présent, que le cas le plus général, où la roue conduit le pignon ; nous allons maintenant examiner le cas particulier où le pignon conduit la roue et celui où chaque mobile est alternativement mené et menant.

Quand le pignon mène la roue^ l'engrenage est toujours établi sur les autres principes, c'est-à-dire sur la proportion invariable des diamètres

ROUB MENÉE PAR LE PIGNON. OiS

primitifs aux nombres des dentures; les seuls changements sont les suivants :

1* I^' excédant de la roue est alors un simple demi-cercle (figure 10, planche treizième);

2° Le petit agrandissement recommandé pour le mobile menant (1099) porte alors sur le diamètre primitif du pignon ;

8* L'ogive, qui est transportée au pignon, est tracée par une épicycloïde ayant pour cercle générateur un cercle comme GDF (figure 10, planche treizième) , dont le diamèlre est égal au rayon primitif de la roue;

A* Le pignon est divisé autant plein que vide^ ou à très-peu près ; la roue a un peu plus de vtWeque de pletn^ selon la règle générale, sauf peu d'exceptions, de donner au mobile menant autant de plein que de vide, et au mobile mené plus de vide que de plein et à proportion du jeu nécessaire, etc,

1163* On remarqua que cette sorte d'engrenage, quand l'exécution est d'accord avec les principes, ne produit pas de frottement rentrant ; mais alors la rentrée de la pointe de l'ogive se fait au pignon de 6 et de 7 avec très-peu de jour de sûreté. Si l'on donne un jeu suflBbsant pour éviter ce défaut, on tombe dans celui d'opérer la fin de la menée par le glissement de la pointe d'ogive, et l'on a un peu de frottement rentrant. A partir du pignon de 8, et au-dessus, ces défauts ne sont plus à craindre ; l'ogive va en s'allongeànt de plus en plus, et il est même nécessaire d'en supprimer la portion inutile à la menée et qui ne peut que nuire à la facilité de la rentrée.

1163. On voit que la recommandation pratique de tenir le pignon un peu plus gros est complètement erronée, car le diamètre primitif reste le même ; l'excédant seul s'allonge et change de forme. Il n'est pas rafe, surtout dans les minuteries, de rencontrer des pignons conformes à la formule pratique et fausse ; aussi ces pignons, trop gros de diamètre primitif et pourvus à tort d'un excédant en demi-cercle, ont-ils le défaut d'opérer toute leur menée, ou à peu prés, à frottement rentrant.

Quand l'engrenage doit marcher en avant et en arrière, que chaque mobile est alternativement conduit et conducteur, le pignon est construit comme il vient d'être dit, et la roue conserve ses excédants en ogives épicycloidales ; mais ordinairement 11 est plus avantageux que les ogives reçoivent la forme de développantes de cercles.

RlfORERACIR DE CRlSlIf Al LLÈRB COUBBR.

11 AI. La crémaillère courbe n'étant autre chose qu'un arc de cercle

644 TRAÎTlî PES ENGRENAGES.

OU mieux une portion de roue, son engrenage rentre dans les conditions ordinaires.

Voici comment on procède dans le plus grand nombre de cas :

On détermine d*abord la distance des centres D* (figure Ift, planche quinzième) ^l>\i\8 par deux lignes Da et Dfr, tirées du centre de la crémaillère, rétendue de son mouvement de déplacement, c*e^t-à-dire de Tespace nécessaire au jeu de cette pièce, étendue représentée par Tare acb.

La moitié de cet espace, soit TanglecD 6, enferme la portion dentée de la crémaillère. Supposons deux tours de pignon pour un parcours du râteau de c en a. Ce pignon doit alors avoir un nombre d'ailes moitié de celui des dents du râteau cb : soit 6 et 12 ces deux nombres. On mesure bien exactement en degrés Pangle cDb (qui doit toujours être un multiple de 360). Faisons-en, par supposition, un angle de40'', et nous dirons : Si 40* contiennent 12 dents et 12 vides, la circonférence entière en contient 216 (24X9)» puisque 40* X9=860' ou la circonférence totale. Par conséquent la roue supposée entière aurait 108 dents.

Le reste de l'opération se réduit, puisque Ton connaît la distance des centres, à chercher les proportions d'un engrenage ordinaire, d'un pignon de 6 avec une roue de i 08 (1049).

Si le pignon ne devait faire qu'un demi-tour pour une longueur de crémaillère, le nombre de ses ailes serait double du nombre des dents de cette crémaillère; si le pignon ne devait faire qu'im tour, les deux nombres seraient égaux ; s'il devait en faire deux, le nombre des ailes serait moitié de celui des dents, etc.

BNGRBIVAGE DE CBÉAf AILLEBK DROITE.

llflS. L'engrenage de crémaillère droite (figure 10, planche quinzième) diffère du précédent en ce que la transmission de mouvement se fait d'un cercle k une ligne droite, et réciproquement. Les courbes employées ne sont plus les mêmes.

Quand la crémaillère conduit le pignon, l'ogive des dents a la forme d'une cycloïde engendrée par un cei^ele générateur^ ayant pour diamètre le rayon primitif du pignon.

Quand c'est le pignon qui conduit la crémaillère, l'ogive des ailes, qui agit sur le flanc rectiligne des dents, est tracée par une dévelop-pante du cercle générateur.

Dans Tune ou l'autre hypothèse, les rapports primitifs restent les mômes, c'est-à-dire qu'on a toujours la proportion : longueur de cré-

ENGRBNAr.E DE GUAMP. 6&5

maillère est a circonférence primitive dix pignon, gomme le nombre des dents EST au nombre des ailes.

Si on compare répicycloïde et la cycloïde, tracées d'un point, cornmun à un cercle et à une droite, par un même cercle générateur, on remarque que la cycloïde s'élève moins rapidement et qu'il en résulte qu'elle conduit Faile moins loin, ce qui donne une plus forte part de menée avant la ligne des centres (figure 10).

Enirreiia§re 4e roue de ckamp dans le* montres.

llttO. L'engrenage des roues de champ, tel qu'il est pratiqué dans les montres, ne produit pas une menée uniforme. 11 appartient à la classe des engrenages coniques^ c'est-à-dire de ceux dont les axes se croisent au lieu d'être parallèles; et par conséquent il faudrait non-seulement que le pignon fût conique, mais encore que les ogives des excédants, formées par des surfaces à double courbure, fussent engendrées par des épicycloïdes sphériques* toutes choses impraticables en petit.

On s'est contenté, faute de mieux et pour obtenir une menée aussi approchante que possible de celle théorique, d'assimiler cet engrenage à celui de crémaillère droite, avec lequel il a le plus d'analogie, et de lui faire subir les modifications propres à faciliter sa marche, telles que la dent beaucoup plus mince vers sa pointe que vers sa base (en mesurant sur l'épaisseur du champ) , le pignon tenant imperceptiblement du petit, l'engrenage plutôt faible que fort, la denture un peu plus vide que pleine, et, s'il est possible, penchée en dehors et arrondie un peu en travers sur ses faces frottantes ; l'aile des pignons préférablement en grain d'orge ; le commencement de la menée pour le pignon de 6, au moins 2/3 d'épaisseur d'aile avant la ligne des centres, etc.

On voit qu'en somme ces modifications ont pour but de soulager et de faciliter le recul de l'échappement à roue de rencontre, en diminuantla menée après la ligne des centres. On conçoit sans peine que plus cette menée se prolonge au-delà de cette ligne, plus la dent, en s'arcboutant contre l'aile, oppose de résistance au recul. L'échappement, alors maîtrisé, se règle avec difficulté et perd promptement la vivacité de sa marche.

La facilité ou l'aisance dii recul est un des signes propres à révéler la bonté d'un engrenage de champ appliqué à un rouage réglé par un échappement à recul.

En augmentant le nombre des ailes du pignon, le recul est de moins

6iô

en moins contrarié, puisque l'étendue de la naenée devient de plus en plus courte.

L'article sur les engrenages coniques (1178) fournira à l'horlogei quelques notions supplémentaires ; elles le mettront à même de disposer pratiquement le mieux possible ses engrenages de champ.

ElfGREIf ACIES IlfT^BIElJRS.

1167. Lorsque Ton veut que deux axes parallèles tournent dans le même sens^ on y parvient par un engrenage intérieur.

La figure 7 {planche quinzième) nous en montre un spécimen : un pignon à flancs droits est conduit par une roue dont les excédants ont été tracés par le roulement du petit cercle générateur c du pignon, à l'intérieur du cercle primitif de la roue (1088).

Ce genre d^engrenage étant fort peu employé par les horlogers, nous renverrons pour plus amples détails aux traités spéciaux, nous bornant à faire remarquer qu'il engendre un frottement un peu moins étendu, quand la roue conduit le pignon dans les conditions de la figure 7, que lorsque ce pignon est mené par une roue de même cercle primitif, mais ayant les dents à l'extérieur de ce cercle.

TRACé DE I^'ElIGBBillAClB A DiVEIiOPPASrTB DE CKUCEE.

1168. Par hypothèse, les cercles décrits des rayons Ro et Po, en contact sur la ligne des centres en o, sont les cercles primitifs de la roue et du pignon (figure 12, planche quinzième.)

Par ce point o on fait passer une droite fo tv^ sécante aux deux cercles. De chaque centre on abaisse sur cette ligne les perpendiculaires R^ et Pm; et avec R^ et Pm comme rayons, on décrit les deux circonférences intérieures concentriques à chaque cercle. Ces deux circonférences sont entre elles dans le même rapport que les circonférences primitives.

Le contact de l'engrenage devant avoir lieu sur la portion m f delà ligne fotv, on mène d'un point pris sur cette portion de ligne, soit du point s, par exemple, la développante csd du cercle Pm. Par ce même point s (point de contact), on fait passer la développante gsh du cercle R^

Les courbes csd et gsh donneront les profils des ailes du pignon et des dents de la roue.

Si Ton voulait que le tracé représentât Tengrenage au moment du contact sur la ligne des centres, il suffirait de faire passer par le point 0 deux parallèles aux courbes qui dessinent les profils des excédants ;

BNGRENAGE A LANTERNE. 647

puis Ton partirait du point o pour opérer la division de la roue et du pignon.

On indiquerait sur le dessin la hauteur utile des excédants, afin de n'avoir à donner aux vides que la profondeur nécessaire.

Dans cet engrenage, la menée a lieu partie avant et partie après la ligne des centres. Les deux mobiles peuvent être alternativement, et dans les mêmes conditions, conduit ou conducteur.

1160. Observations. — Les mécaniciens, lorsqu'ils tracent cet engrenage, déterminent la direction de la sécante foiv^ en formant l'angle Vof d'environ 75\ Quelques-uns préfèrent employer la méthode suivante : ils prennent à partir de o, sur la circonférence z, un arc égal à deux fois le pas de l'engrenage ; — par supposition^ faisons-le égal à ozf {il est exagéré, mais c'est afin de rendre les détails perceptibles^ C'est par le point/, ainsi déterminé, et par le point o qu'on tire une droite qui sera la sécante cherchée.

Par un peu d'agrandissement aux trous des pivots, l'engrenage à développante fonctionne encore très-bien et avec une suffisante uniformité de menée et de pression (1083).

E1V«RE1VAGE D*1)IIIE ROUE ET D^flIV PIGIVOIV A I^lVTERliE.

1170. Les deux disques qui servent à assembler et à maintenir les tiges cylindriques du pignon, appelé ici lanterne y se nomment les p/aleauco, ou lourleaux^ et les cylindres, qui remplacent les ailes, s'appellent les fuseaux.

L'engrenage à lanterne (figure 5, planche quinzième) se construit d'après la règle invariable de la proportionnalité des diamètres primitifs aux nombres des dentures. Le cercle primitif du pignon, dont la circonférence passe par les centres des fuseaux v, r, a, 6, ^, etc., est en même temps le cercle générateur de la courbe des dents.

La méthode suivie dans le tracé de cet engrenage est fondée sur la démonstration suivante :

Soit P (figure 6, flanche quinzième) le cercle primitif d'un pignon à lanterne, ayant pour fuseaux des chevilles assez fines pour qu'on puisse les représenter par des points, et soit R le cercle primitif de la roue. Si on met les deux cercles en contact au point a et qu'on fasse rouler P sur R, ce point a tracera l'épicycloïde aob. Or, cette épicycloïde étant engendrée par le point même, il s'ensuit nécessairement que la droite y X est en même temps normale à la courbe et à la fine cheville, et il on résulte, d'après ce que nous savons, que si cette fine cheville, implantée

dans le cercle P, était poussée par un excédant du cercle R, formé par la courbe aob^ le disque R entraînerait le disque P en réalisant Tuniformité des vitesses et des forces.

Maintenant que du point o, pris pour centre, on décrive la circonférence d'un cylindre ne; que du point c on élève la courbe cd, parallèle à aobf et Ton démontrerait, à Taide des principes ci-devant exposés, que la droite y a?, normale au point o et à Tépicycloïde aob, est en même temps normale à la courbe cdeih la courbe du cylindre; d'où résulte que si l'on donne à la cheville a la grosseur ne et que l'on munisse le disque R d'un excédant ayant la forme crf, cet excédant conduira le cylindre ne, dans les conditions où l'épicycloldeaofr aurait conduit le point ou fine cheville o.

Tracé de Pengrenaife à buttene.

1171. Le calcul des cercles primitifs en rapport avec les nombres des dentures ayant été préalablement fait, on trace ces deux cercles; soient ici DaD' elvrabt (figure 5, planche quinzième) , tangents l'un à l'autre sur la ligne des centres en o. Ce point a sera le centre d'un fuseau; et ce premier centre marqué, il est facile, en le prenant pour point de départ, de déterminer les centres de tous les autres fuseaux.

La longueur du pas de l'engrenage est connue (puisque c'est l'arc de cercle rectifié, ab par exemple); si on ne la connaît pas on la calcule, puis on en prend la moitié, qui représente ici la largeur d'une dent dans le cas, le plus général, de la roue divisée autant pleine que vide; l'autre moitié du pas donne le diamètre du fuseau cd^ augmenté de l'ébat nécessaire à la rentrée assurée de chaque dent entre les fuseaux, c'est-à-dire de l'intervalle dh. La quantité de cet ébat est d'autant moins grande que les nombres des dentures des mobiles sont plus élevés. On peut par approximation en trouver la mesure sur les figures d'engre» nages des planches quatorzième et quinzième.

Celte quantité d'ébat déterminée, on connaît alors le diamètre du premier fuseau cd; on le dessine, et successivement les autres V, r, 6, t, etCp

Du poini a on élève l'épicycloïde a/*, et avec une ouverture de compas égale au rayon du rouleau, et en prenant successivement tous les centres sur l'épicycloïde, on décrit les petite cercles t, t', f/, etc.; puis on cherche, en tâtonnant l'ouverture du compas, le centre d'un arc de circonférence qui soit tangent à tous les petite cercles. Cet arc (en, figure 5) est le profil des ogives des dents de la roue. Il ne reste plus qu'à