TRAVAIL DU MÉTAL DANS ON SPIRAL

1391. La quantité dont travaille le métal d'un spiral pendant son fonctionnement est indiquée par M. Phillips, à l'aide d'une formule très-simple et qui montre que :

Si l'épaisseur du fil devenait deux, trois fois, etc., plus grande, le métal travaillerait deux, trois fois plus.

Si la longueur du spiral devenait deux, trois fois plusgrande, le métal travaillerait deux, trois fois moins.

Si le balancier tournait d'un angle deux, trois fois plus grand, le me-tal travaillerait deux, trois fois plus.

C^lenler la durée des Tlbratlont d'nii balameier mû par un spiral.

1392. Voici la formule qu'a donnée M. Phillips.

T est le temps d'une vibration simple du balancier (rapportée à la seconde comme unité).

A le moment d'inertie du balancier; M moment d'élasticité du spiral.

L la longueur du spiral, supposé rectifié (rapportée au mètre comme unité de longueur) ; et tt, le rapport de la circonférence au diamètre (3,1 4153:26).

On multiplie le moment d'inertie du balancier par la longueur développée du spiral : ce produit étant divisé par le moment d'élasticité du spiral, on extrait la racine carrée du résultat et on multiplie cette racine carrée par 3,1415926. Le nombre obtenu est la durée d'une vibration simple du balancier rapportée à la seconde comme unité de temps*

1303« De la formule précédente on déduit cette loi :

Les nombres d'oscillations (Tun balancier ^ mû par un spiral ("dans un temps donné) , sont en raison inverse des racines carrées des longueurs, en action, de ce spiral.

En d'autres termes deux balanciers ayant le même moment d'inertie,

et mus par des spiraux faits d'un môme fil, feront des nombres de vibrations en raison inverse des racines carrées des longueurs de fil, même lorsque les diamètres des spiraux seront différents.

Applications pratique*.

1394. Un balancier bat un certain nombre d'oscillations dans un temps donné, de combien faut-il raccourcir ou allonger la partie agis^ sanie du spiral pour faire faire, à ce balancier, dans le même temps^ un autre nombre de vibrations.

On aura la proportion (d'aprèi le 1393) ; n : N : : \/l : y//T

Le nombre d'oscillations à obtenir (n), est au nombre d'oscillations connu (N) comme la racine carrée de la longueur agissante (L), est à la racine carrée de la longueur cherchée /.

Soit un balancier retardant de 2 minutes par heure, c'est-à-dire donnant 17,400 vibrations au lieu de 18,000, et ayant une longueur de spiral entre les deux points d'attache de 194 °^^^* 8,

La proportion sera :

18000 : 17iOO : : v/l94,8: \/7 ou 18000 : 17400 : : 13,9 : a?— 13,5

On en tirera la valeur de a?, qui, élevé au carré (13,5X13,5), donne 182*"'% 2. La différence entre les deux longueurs 194,8 et 182,2 ou 12"" 6, est la quantité dont il faudra raccourcir le spiral.

Si au lieu d'un retard on avait de l'avance, la marche du calcul serait la même, seulement le deuxième et le quatrième terme auraient chacun une valeur plus élevée que celui qui le précède.

Si le spiral se trouvait trop court, on pourrait, lorsqu'une force motrice siRfisante le permettrait, obtenir le retard voulu par Taugmentalion du diamètre ou du poids du balancier (1316 et suite), en plaçant à la serge des vis latérales*

1399. Trouver par le calcul la longueur d'un spiral. -— Pour connaître la longueur d'un spiral plat, sans être obligé de l'allonger, on comptera, en prenant pour point de départ le point d'attache à la virole^ combien il y a de tours (chaque spire complète) ; on mesurera bien exactement les diamètres de la Virole et du dernier tour, et en divisant leur somme par 2 on aura le diamètre moyen ; on le multipliera par 3,1416 . . •, puis par le nombre des spires, et on y ajoutera la fraction du dernier tour restante, toujours facile à mesurer. I-a somme totale

7o0 spikal; nombre d'oscillations.

si les mesures et les calculs ont été faits avec soin, donnera la longueur développée du spiral avec une suffisante approximation.

La portion cylindrique du spiral en hélice se calcule facilement par cette méthode, c'est-à-dire en multipliant le diamètre par 17 et par le nombre des spires, et on y ajoute la longueur des courbes, facile à prendre à l'aide de deux morceaux d'un spiral ordinaire contournés suivant ces courbes et redressés ensuite.

On peut aussi, pour mesurer le spiral plat, le placer dans un petit barillet disposé à cet effet, et dans lequel les spires sont serrées les unes sur les autres autour de la virole. Ce procédé n'offre pas d'avantage.

1806. Observations. — Les horlogers feront bien de se familiariser avec ces différentes applications pratiques qui certainement dans bon nombre de circonstances leur rendront des services; mais il ne faut pas qu'ils croient en obtenir toujours une indication très-juste, particulièrement dans l'usage civil. Là surtout il serait prudent de ne couper l'extrémité d'un spiral de la quantité indiquée par le calcul, qu'après expérience faite, parce que le calcul suppose toujours une lame homogène et parfaitement égale sur toute sa longueur, comme section transversale et élasticité; cas qui se réalise assez rarement avec les spiraux laminés du commerce, et surtout avec les petits spiraux. Néanmoins nous recommandons aux artistes de s'exercer à ces calculs; en combinant ce procédé avec ceux indiqués déjà (4S2 et suite) et d'autres qu'on trouvera plus loin (1899), ils parviendront, sans grande peine, à se créer une méthode d'appréciation qui facilitera leur travail, en leur permettant d'esdmer, à très-peu près, l'avance ou le retard afférent à des portions déterminées, par exemple, comme le quart, la moitié, les trois quarts, etc., d'une spire.

Cfilraler le Mombre éem ^lbr«tloM« ^'na balamcler ea rapporl ée 1» forcé

d« mpîrmU

1397. Considérons une lame de ressort réglant, nous savons que sa force variera en raison inverse de sa longueur et que c'est pourquoi si nous la raccourcissons des trois quarts, par exemple, elle aura une force quadruple et donnera au balancier auquel elle est adaptée une vitesse double.

En d'autres termes : les nombres (T oscillations d'un balancier sont proportionnels aux racines carrées de la force du spiral.

En effet dans l'exemple cité :

La force du spiral donné est . . !•

Celle de ce spiral raccourci est &.

Quand le premier faisait • . 1 oscillation.

Le deuxiènoe fera • • • . 2 oscillations.

2 est la racine carrée de â.

APPUCATIOMS PIATIQOES.

1308. En vertu de la loi ci-dessus, si nous représentons par n le nombre des oscillations d'un spiral, et par f sa force (estimée par le déplacement angulaire), tandis que N nous représente un ijombre différent et F la force qui produit ce dernier nombre, nous aurons :

ou n»: N^::r. f-

F et /peuvent être remplacés par P oup, c'est-à-dire les poids qui font équilibre pour un même angle de tension et des rayons égaux.

Si Ton éprouve quelques difficultés à extraire une racine, on se sert de la deuxième proportion que Ton peut simplifier en ne prenant que le nombre des oscillations accomplies par seconde ou par minute.

Exemple. — Une montre bat 16,200 vibrations à l'heure, on veut lui en faire battre 18,000. Les racines carrées des poids que les spiraux devront tenir en équilibre à leur armure moyenne, seront proportionnelles à ces nombres. Supposons le poids afférent à 16,200 égal à 20 centigrammes, nous aurons la proportion :

Mais si nous remarquons que 16,200 donne h 1/2 oscillations par seconde et que 18,000 en donne 5, nous aurons, en nous servant de la deuxième proportion :

ou 20,25 : 25 :; 20 : 0?. X =2û,6.

Il faudra donc raccourcir le spiral, c'est-à-dire le prendre dans la pince à un point tel, qu'il tienne en équilibre le poids 2&,6, dans les mêmes conditions où il tenait, lorsqu'on utilisait toute sa longueur, le poids 20.

1399. Pour ces applications on se construira un petit appareil qui permette d'armer circulairement le spiral, le piton étant pris par une pince et un arbre à pivots, portant un index et un fil enroulé pour y suspendre le poids, passant par la virole. {Deuxième Appendice.)

Dans la pratique on làte sa force en saisissant ^dans une petite pince

762 spiral; sa dilatation.

d'un outil préparé ad hoc)^ le tour extérieur du spiral tandis qu'on suspend à son centre un petit poids (en regard d'une règle graduée), selon la nnéthode courante de juger sa force à l'œil en pinçant le tour extérieur avec des brécelles tandis qu'on suspend le balancier au centre (ISl). Le cône doit être formé par un écartement régulier des spires, sinon il y aurait des tours forts et des tours faibles. Ce procédé réussit avec de faibles différences d'un spiral à l'autre. Mais il n'en est pas de même si les sections des lames diffèrent sensiblement. Alors deux spiraux en apparence dé même force produisent des marches fort inégales.

Da spiral étudié an poiat de Tue de la loi de la dilataUea.

1400. On a vu plus haut (1376) que des horlogers se sont occupés de la recherche d'une forme de spiral propreà empêcher la mise hors d'échappement d'un balancier, par l'effet d'un excès de dilatation ou de contraction d'un spiral aux températures hautes et basses. Cette recherche est à peu près inutile et par deux raisons : la première que ce spiral augmenterait les difficultés du réglage et de l'exécution, et la seconde que si l'effet redouté se produit, on en trouve la cause dans la * mauvaise qualité du spiral, ou dans l'absence de soins apportés à sa confection.

Traçons sur une plaque d'acier AA (figure 8, planche dix-neuvième) la figure d'un spiral samdn. Exposons cette plaque à une température qui s'élève graduellement et régulièrement; elle s'agrandira en tous sens^ conformément à la loi de la dilatation (1339), et admettons qu'elle atteigne le cercle pointillé, x x, par une température inférieure à 100^; l'agrandissement du spiral tracé d'un trait plein donnera le spiral indiqué par une ligne pointillée ijgfcb. Cette ligne est assez notablement plus longue que la ligne pleine, ce qui a permis aux points d'attache « et n du spiral de se transporter en 6 et en t. Mais comme on le voit l'agrandissement du spiral s' étant fait dans tous les sens, malgré l'allongement assez considérable de sa longueur, supposée rectifiée, le déplacement des points 5 et n s'est fait en ligne droite et sa valeur réelle n'est égale qu'à sb et m.

Qu'on pose sur la plaque refroidie un très-grand spiral en acier bien homogène, trempé et revenu bien également dans toutes ses parties et dans sa forme définitive, et cette forme répondant exactement à la figui^e tracée, on verra que par l'élévation de la température ambiante, obtenue comme il a été dit plus haut, tout se passera semblablement, et la coïncidence entre le spiral tracé et le spiral superposé restera parfaite.

DONNÉES d'expériencb. 763

Ira dilatation d'un spiral trempé, fait avec quelque soin, ne pourrait mettre un balancier hors d'échappement que par un excès de dilatation des bras d'attache : or la différence qui pourrait provenir des variations du rayon de la virole est évidemment négligeable, et quant à l'autre bras d'attache il est en acier dans les chronomètres.

1401* Si l'effet redouté se produit, il provient de Tétat de gène ou se trouve un spiral bridant aux points d'attache, ou des causes énumérées au 1260. Les spiraux ordinaires du commerce qui sont laminés, puis courbés et revenus insuffisamment ou inégalement, restent dans un état moléculaire contraint j qui les hit s^ ouvrir, et souvent beaucoup, quand on les chauffe. Mais, nous le répétons cet effet n'a pas lieu lorsque te spiral est trempé et revenu bien également (331).

OOIf IVÉeS O^EXp£niEIVGB. — DOIVIVÉC0 TuéORlQl)E«.

Confirmées par Pobierf«tioB.

1402. Il nous paraît utile de rassembler ici, quoique plusieurs d'entre eux soient déjà épars dans ce livre, quelques résultats d'expé-

. rience confirmés par les lois théoriques, et dus, pour le plus grand nombre, à P. Le Roy, Ferdinand et Louis Berthoud, et pour le reste à U. Jurgensen, Houriet et quelques modernes. Nous les accompagnons d'observations. (Consulter aussi celles du 610 au 6î?6.)

1403. Une lame doit être parfaitement égale, homogène et de même trempe sur toute sa longueur. — Ses courbes terminales doivent avoir été obtenues sans forcer l'acier, c'est-à-dire sans le dénaturer. Il serait bon, si on avait quelques craintes à ce sujet, de l'amener à un état moléculaire assis par un revenu conduit avec soin. — Les attaches du spiral ne doivent ni écraser l'acier, ni le faire brider.

Une lame peu homogène se déforme par les variations de température et ne travaille pas régulièrement dans toutes ses parties. Il en serait de même d'un spiral mal attaché ; ce dernier cas, ainsi que celui des courbes en état de tension forcée, par l'usage de la pince maniée trop brusquement, sont cause que le métal reste pour ainsi dire en travail interne permanent, qui donne naissance à des progressions en avance. Le métal n'arrive jamais à un état moléculaire stable, ou bien n'y parvient qu'après un temps assez long, une année ou deux au moins.

1404. Une lame peut offrir plusieurs points d'isochronisme pour deâ balanciers en rapport avec les nombres d'oscillations répondant aux longueurs, comme elle pq^t n'en off/ir aucun sur toute son étendue. — Dca lames donnent l'isochronisme seulement entre certains arcs d'oscil-

7<)/( spiral; données d'expérieng4{.

lation. — A un spiral isochrone d'une longueur donnée, si Ton veut substituer un spiral isochrone de même longueur, mais de force diflerentct pour un balancier p/i« lourde il faut augmenter les dimensions transversales de la lame dans le rapport convenable avec la nouvelle force demandée. Par exemple, si la lame est deux fois plus large, le spiral alors deux fois plus fort sera encore isochrone pour les mêmes amplitudes.

1409. Une même lame de spiral cylindrique (sans courbes terminales), roulée en un plus grand nombre de spires, c'est-à-dire sur un cylindre d'un plus petit diamètre, laisse au balancier une plus grande liberté de inouvement qu'auparavant, parce que le déplacement angulaire du point d'attache se fait suivant une progression moins rapide^ Si l'on exagère dans un sens ou dans l'autre, c'est-à-dire en roulant la lame sur un cylindre d'un diamètre beaucoup plus gros ou beaucoup plus petit, on ne rencontre plus de progression d'armure du spiral pouvant donner l'isochronisme avec l'étendue nécessaire des arcs de vibralion. On voit qu'une longueur de spiral cylindrique étant donnée, il n'est pas indifférent de le rouler suivant un diamètre plus ou moins grand.

La position des points d'attache pour un spiral de ce genre n'est pas nun plus arbitraire. Pour que son centre de gravité ne sorte pas du centre de l'axe du balancier, on place ces points de façon que Teflet qui tend à décentrer le spiral d'un côté, soit exactement compensé du côté opposé. Cet effet est complexe (1436 et Deuxième Appendice).

1406. Il est indifférent que le spiral à courbes terminales soit roulé sur un cylindre d'un diamètre plus ou moins grand; mais s'il est trèsgrand les moindres défauts d'exécution dans le travail de la formation des courbes seront bien plus sensibles sur le développement du spiral en mouvement; s'il est très-petit il devient fort difficile d'exécuter les courbes avec précision et de ne pas forcer l'acier par des courbures trop prononcées. Les deux courbes peuvent être différentes.

La position des deux courbes l'une en regard de l'autre est indiffé-^ rente. Elles peuvent coïncider ou se présenter, en se superposant l'une au-dessus de l'autre, en croix ou sous des angles différents. La forme do ces courbes est indépendante de la longueur du ressort et des dimensions transversales de la lame (mais la longueur doit être suffisante pour qu'il n'y ait pas déformation entre les limites extrêmes des amplitudes).

1407. En résumé, un spiral entaché de vices, tels que : trempe iné« gale, coudes, nœuds, parties forcées et redressées, mauvaise matière