ANNEAUX (COLORÉS DES LAMES MINCES

Deux'sortes d'anneaux. — Comment^ on réalise les anneaux réfléchis sous rinoidence normale. — Ils sont dus à Tinterférence des rayons (burnis par' la réflexion aux deuxvsurfaees. — Comment la condiiion dVriçfne commune est réalisée, sans qu'il faille recourir à un point lumineux comme source. — Règle dé Young relative à la réflexion de moins sur plus, tt Loi des diamètres. — Lois des anneaux hpmologaes formés par les divctrs . rayons ou par vies divers- milieux. — Accroissement des anneaux avec t'o-: btiquité. — Loi du cosinus. — Anneaux de la lumière blanche. — Les anneaux transmis complén^entaires des réfléchis. — Yérification des lois. — > Anneaux à centre blanc. -- Utilité des prismes, pour accroître la vivacité et le nombre des anneaux visibles.— Diverses manières de le^ employer. — Insuffisance d0s deux premiers rayons. — ^ Participation d'une foule d^autres. — Expressions des résultantes. — Elles montrent comment les anneaux obscurs peuvent èire noirs..— Les anneaux colorés expliqués par

la théorie des tranches. — Perte de 7 produite par toute réflexion. — £x-

périenee dés trois miroirs de^Fresnel qui justifie cette perte rédamée par les anneaux transmis, et qui contredit en même temps la théorie des éthers diversement denses.

§ 65. — Interférences. — Diffraction.

S'il aété précédemment question d'alternatives de lumière et. d'obscurité produites par voie d-interférences , c'était auxiliairementr, et dans le but étroit d'eu déduire certaines constantes. On conçoit donc que nous soyons loin de connaître les conditions variées dans lesquelles de telles alternatives peuvent se produire, et qu'il y ait lieu de revenir d'une manière spéciale sur des phénomènes aussi fréquents.

Les deuk qhapitres. qui. vont suivre seront consacrés à cette étude : si nous formons deux chapitres, cela vient de ce que Finterference , due en génét^^au concours d'une infinité de rayons j^ est quelquefois produite par le jeu de deux seuls r;jyons* Les premier^ phénomènes exigent,, pour, donner les quelques résultats qu'on y a découverts, lé secours d'une analyse élevée 5 on les connaît sous le nom de phénomènes de diffraction : les autres, plus simples, conservent le nom de phénomènes di interférence. Ainsi nous aurons succe^iyement le chapitre des interférences et le diapitre de la diffraction,.

Les phénomènes les plus remarquables du premier- de ces chapitres sont : 1^ les franges des lames minces qu'on appelle encore anneaux colores^ parce qu'il est facile de rendre circulaires, dans le corps mince, les lignes d'égale épaisseur*, 2° les franges on anneaux des lames épaisses. Nous le subdivisoiis en deux sections correspondantes à ces deux classes de phépoménes.

§ 66. — Anneaux des lames minces réfléchis et transmis.

Posorts sur une glace plane une lentille dont les rayons dt^ courbure soient très-grands et nous verrons autour du point de contact, qui est noir, une série d'anoeaux colorés. Si l'œil est anné d'nn verre rOuge, les anneaux seront alternativement rouges et noirs. En mettant l'œil au-dessous des verres , ou., ce qui revient au même, en faisant venir la lumière d'en bas et regardant encore au point de contact, on verra d'autres anneaux qui seront à centre blanc si la lumièrç est blancfie, et à centre rouge si l'on emploie des rayons riionochrojnaiiques rouges. Les premiers sont dits anneau^ réfléchis et lés derniers anneaux transmis,. Pour Voiries anneaux réfléchis, dans la direction normale, et réaliser ainsi un cas simple auquel on s'attache d'abord, il faut ( fig, 36) diriger la lumière incidente, à l'aide d'une lame de verre ^ de manière que la tête de l'observateur ne soit plus un obstacle. . '

INTERFÉRENCE BELA LUIOàllE NOfi POLARISÉE. 1-27

^ § 67. — Explication théorique des anneaux colorés.

Pour celui qui admet la théorie des fiades , des franges * régulièrement espacées proviennent à coup sûr d'interférences 5 et pour expliquer leur génération , tout se réduit à trouver^ dans chaque direction, deux rayons qui satisfassent to'nte&is à cette double condition ; i° di'êlre. issus soit d'Un même point lumineux, soit, par dédoublement, d'un même rayon (§ 24) ; a^ de ne.pi^enfer que dé faibles différences de route^ puisqu'on sait que, dan^ les circpnstauces usuelleset avec des rayons grossièrement homogènes^ les frangj» cessent tl'ètre appréciables au delà de la dixième environ.

Or toute lame rencontrée par un rayou l le dédouble en rayon réfléchi AB et' en r.ayon réfracté AC {J^g^^j)^ Ce dernier éprouve à la deuxième surface un nouveau partage qui donneOD transmis et CE r^échi» An point E, nouvelle bifurcation qui donne EF et EH. On aurait ensuite HKtît HL. Quoique celte succession d'effets^ en se continuant, associe d'autres rayons et au système des deux rayons AB , EF, et à celui des deux transmis CD,HK^, arriètons-nous là pour le moment, et voyons ce que donneront , dans le cas d une lame mrnce, chacun de ces deux systèmes.

Si la lame a ses deux faces parallèles', lés deux rayons de chaque système sont rigoureusement parallèles. Ce parallélisme n'existe plUs avec unelàme comprime, soit entre detîx plans inclinés, soit entre une sphère et un plan^ mais, si la lame est très- mince, il est suffisamment approché pour que l'œil avec sa large pupille les reçoive tous deux et les fasse converger en un même point de la rétine.

Les deux rayons de chaque système se trouvent avoir décrit des chemins quidiffèrent de deux fois l'épaisseur e de la la mie. Comme, entré la sphère et le plan, l'épaisseur croît à partir de zéro avec continuité, on comprend que e attei^e

nécessairement les valeurs -> » 3 7» 5. 7 j *^» --j et qu'en ces

points , le retard étant

il y ait destruction des deux rayons, tandis quMntermédiairemeût, là où l'épaisseur vaut un multiple pair dé-^i les rayons se renforcent et donnent un anneau rouge. La petitesse de j pourrait seulement faire craindre que leis anneau± •

lie fussent trop étroits et trop serrés pour être aperçus!

Mais la relation géométrique entré les épaisseurs et les dia- . mètres es£ tellementavantageuse, que ces derniers, incompa- ' rablement plus grands, sont parfaitement visibles dès que

le rayon de la sphère est un peti grand.

§ 68. — Dans la réflexion de — sur 4- il se perd -•

La théorie précédente nous promet des anneaux réfléchis à centre blanc, car au point de contact les deux rayons n'ont pas de différence de route. Elle nous promet aussi des anneaux transmis identiques avec les anneaux réfléchis, car la différence de route est de part et d'autre égale à 2 e. Or l'expérience dément habituellement le premier poi.nt et constamnïent Te secoiid, en donnant le plus ordinairement des anneaux réfléchis à centre noir^ et en donnant toujours des anneaux transmis complémentaires des anneaux réfléchis. 11 convient ^ avant d'énoncer les. lois qui les régissent, . d'écarter ces contradictions. .

]NoU;5 savons déjà qu'il y a quelques soins à prendre pour l'évaluation des chemins parcourus, que souvent (§30), outre leur longueur géométrique, il faut considérer leur qualité physique. Ëhbien, il est d'autres circonstances qui influent encore (certaines réflexions par exemple) à la manière d'un retardj sur la relation de deux rayons. ^ Quand la bille m choque labilk m', nous avons vu (§2)

INTERFÉRENGB d'K LA, LtfMIÈAE NON POLARISÉE. . iviQ

qu elle conservait la vitesse i^ —^ — — qui est positive ou négative suivant que m est ^ou <;que w'. Young apensé qile deux ca» analogues devaient se présenter dans la communia cation dés mouvements vibratoires entre deux éthersdedensi* tés différentes ; ei il a posé en prîncipre qn^^uand le deu^èiné élher était plus dense (*), ou, ce qui revient au même, le deuxième milieu plus réfringent, U vitesse oscillatoire du rayon réfléchi changeait de signe, devenait par exemple appulsive si elle était impulsive dans > le rayon inicident : qu'ainsi les trochoïdes du rayon réfléchi , au lieu d*pccupèr ' la position CDE^^ comme cela arrive dans la réflexion de plus réfringent sur moins réfringent, passaient à droite {fig* aS) et devenaient CÉ?e. Cette particularité , mécanique revient,

évidenmient à un accroissement de route de— On a .donc

la règle suivante : Dans fa réflexion de — sur -f- // se

perd - X.

•Qudiid la lame mince est une lame d*atr contprise «ntre deux verres, les chemins comptés à partir du point d'incidence sont, pour les deux rayons du premier système^ ' '

o et e-\ h^=^2e'-f-- »

(*) La théorie de la rçff action donne

et conséqaerament

V^ "** n' * Mais on a, d'après la supposition faite au § 38,

eneik conclut

de sorte que les indices des milieux et l.es densités des éthers qui y sont con- ' fines matchetft bien dans le même seps. \ ' ■ -

l3o CHikPlTlUB iv.

pour, ceux du système transmis Hs sont

et ce X ajouté à la différeuce de route des deux rayons est sans

influence : mais l'addition de - à Tun des raypns du Stystème

réfléchi donne opposition formelle au point de contact, e^ met les anneaux, noirs là où se trouvaient les anneaux rouges.

. § à9. ~ Lois des annea'oz colorés^ tes lois peuvent se formuler de deux manières : on peut y introduire ou les diamètres d des anneaux ou lès épaisseurs de la lame d'air. Nous nous attacherons de préférence aux épaisseurs ; mais éomme la relation qui lie ce3 deux grandeurs et le rayon R est approximativement

pu voit que, pour obtenir les énoncés donnés parler auteurs (|ui ont mieux aimé faire allusion aux expériences qu'à la théorie, il snjfira de remplacer, dans les suivants , les épais-

seurs par les quotients ^^9 ou simplement par les carrés des

diamètres , si on se contentait dans ces lois d'énoncer des

rapports.

-n ..^ , . T l réfléchis obscurs .

Freiniere loi, — Les anneaux < .!.,•. sont a

( transmis briliants

centre | , et se produisent là où l'épaisseur de la lame

d'air a les valeurs o, 2^: 47>'"» c'est-à-dire un multiple

pair de y; là où elle vaut un multiple impair, on a les points

, , ( vifs j ( réfléchis

les plus < , des anneaux {

*^ { obscurs I trnnsmis

• Deuxiè/ne loi. — Dans une même lame les ranneaux

I9ÎTERFÉRENGI5 UE lA LIJMIÈRE NON POLAIVISÉE. x 3 1

violets sont plus étroijta; en général ie$ épaisseurs ^iiérairicesti'un anneau de même ordre, et conséqtfemihent les carrés dés diamètres de ces anneaux sont comme l'es ioogueurs d'ondulatîoiï*des rayons simples qui les produisent.

'Quand on introduit entre les verres ùne\goutte d'eau; la capillarité la pousse vers les régions les phi.s rapprochées, et si par^ine pression suffisante on maintient le contact, on aura des anneaux engendrés par une lame liquide de même épaisseur que la lame d'air précédente. Laissons de côté la difiérence énorme d'intensité de ces nouVeaui^ anneaux (§ 238) pour ne .nous occuper que de leur largeur, et nous aurons la loi salivante.

Troisième loi. — Les épaisseurs des diverà corps qui" engendrent un même anneau sont comme les longueurs d'ondulation à^ûne même lumière dans tés divers corps , c'est- à-^ire en raison inverse des indices.

Quand l'inoidence cesse d^être normale, les c^èn^injB décrits, depuis le point d'încidénce A jusqu'au plan normal E'wi (Jig- 38) , sont, pour, l'un des rayons

/ rt A fl + am , ,

et pour l'autre

; ÀÇ-h CE-H«EE',

ou bien , *

nAa -\- 2AC, - '-

puisqu'on a

A^=:EE' 6t AGnrCE.

Mais en appelant i et r les angles d'incidence et de réfractipn, on a

2AC = -^— et «m =r flE'sini= 2^ taqgrsiiii, .

COSi -

puisque . • .

^=rAl'=;2AH,

la diflerence géométri.que des deux chemins est donc

— — (i — sin'i) = ae'cos/.

cos/ ^ . . ' .

l32 CHAPITRE IV.

De là. une detnière loi que Newton avait ^inal à propos, • restreinte aux incidences npLoindres. qtie 60 degrés, et que deux physiciens contemp^raiâ s çtnt vérifiée jusiju'à 85 die^' > grés, limite des iacidences sous lesqu^slFes ils ont pu voiries anneaux. .

.Quatrième loi. ^-^ Une lame mince traversée obliqueiiietit donne. le même effet et la même couleur qu'une. Jamc traversée normalement qui aurait une épaisseur plus faible dans le rapport de cos i a i. C'est cette loi qui rend compte de raccroissemaat rapide qu'éprouvent les anneaux , quand on les regarde $ou& des incidences croissantes.

\ § 70. — Anneaux de la lumière iilànche.

Avec la lumière blanche on obtient à la- fois les iiinombr^ables systèmes d'anneaux engendrés parles innombrables rayons, simples. Donc, excepté au centre q^î devient blaiîc ou.<reste noir, il y à altération du phénomène. Au lieu d'être'blarics et noirs, les anneaux, par'sui te d'une Superposition de plus en plus imparfaite des anneaux simples, présentent chacun un assemblage spécial de teintes composées que Newton a relevées avec le plus grand soin en s'aidjËfnt d'ingénieux artifices (il soulevait, par exemple, lente^ ment lo Vrer4?e sCtpérieurjjt amenait ainsi tour à tour chaque anneau au centre, là où la variation d'épaisseur est la plus lente) et dont il a fait une éthelle chromatique qu*on retrouve dans d'autres phénomènes (§ 292).

Après huit pu dix apueaux , la lumière devient sensiblement blanche, la formule de l'intensité (§52) retid , comme il suit, compte de cet effet [déjà remarqué (§ 23)] de la superposition des divers anneaux. Soit p le rétard

iverses couleurs , — ^ ? -s-y- 1 —^ > . • • ? seront

leurs phases. Les deux faisceaux interféienls d'une couleur donnerorit . -

•/ B'ir ^»î+6'^^2^A'cOS.2 7r'^.'. . . '

Interférence DE LA LUMIÈRE NON pokiARisÉifi. . i33 Ceux d'une autre couleur, en supposant les mêtnest auipli-r tùdes.i^ 6', aux deux faisceaux élémcniaîres de chaque couleur, dounerDnt . . ^

B; =, ^>-f->'^-i^ 2 /y6' COS iTT £,.*..,. •

Cl ainsi de suite. Or les rayons de couleur différente étant indépendants.Ies unsdes autres ^ au' lieu d)B composer tous ces rayons .résultants comme- on le fait pour des rayons hb-* mogènes, on doit ajouter les intensités. Ainsi Tintensi té totale , au point où la différenee-de route est p^ vaudra

.aftZ^' rcosaTrtlj- cos a TrÇ;^^, . V4lV(^-t. è'»). .

pu ' , .

Dès que les quotients p S'*'*' *Pi^^ assez grands pourqu€

les cosinus revêtent un très-grand nombre de valeurs indifféremment distribuées entre -f- i et — i , là parenthèse a une' sommé mille ^ c'est-à-dire que l'intensité est constante aux divers points et parfat^l la teinte uniforme. L'épaissf(3ur pour laquelle cesse' l'interférence dépend d'ailleurs dé la complexité de la lumière employée et est évidemment d'autant plus grande que la lumière converge davantage vers un «tat de parfaite homogénéité (*). .

(*) On résout d^ime manière analogue ta difficulté âuivanle : Deux moùvcnentB -vibratoires égaux et concordants donnent. une intensité quadruple, et <x}pendant deux lumières égales ne donnent qu'un éclairement double. 11 s'agit de concilier ces deux résultats : rien n'est plus simple. Les deux lumières en effet, étant indépendantes et désordonnées, donnent, en chaque pQintdu papier» une interiérence tantôtadditive et tantôt soûstractive, c'està-diro si Ton ne considère que les cas extrêmes, tantôt /) et tantôt zéro; ou l;ien si l'on tient compte de toutes les nuances de Taccord et du désaccord, et si l'on admet, comme il est facile de le démontrer, que les nuances supérieures .à a sont en même nombre que celles inférieures à 2 ; tantôt /^ — de et tantôt ac , moyenne 3. Avec deux points issiis d'une même source , l'accord i»t le désaccord atTôctent avec permanence les points diflcronts, et la lumière n'est /| , en certains points favorisés, que parce qu'en d'autres points déshé- ' rites elle est coiistamment mille. , ^ .

l'i^ CHAPrrEBfV.

§ 71. — Expérience d'Arago.

• Ârago établit d\\n seul coup et régalité de diamètres et Tégaliié d'intensité et Tétat cGrmpIémen taire des anneaux réfléchis et transmis. U forme les atUieauK entre deui^ verres égaux qu'il place de champ au milieu d'un papier dont lès deux moitiés soient également éclairées. Quelle que SQÏt la position de Tobil, on a, dans une même direction, et un système d'anneaux réfléchis et le système correspondant d'anneaux transmis. Le premier est produit par la lumière qui vient des parties antérieures, et l'autre par la lumière qu envoie la moitié postérieure du papier. On peut à volonté ■rendre l'un ou Tautre prédominant en diminuant kvec' la mai9 la lumière d'une des deux moitiés du papier. Mais si on leur laisse la mém^e vivacité d'eclairemem^ on nVperçoît plus trace d'anneaux.

• § 72, — Vérification des lois.

Pour vérifier par l'expérience les lois précédentes , il faut mesurer exacten^ent les diamètres dç la partie moyenne des . anneaux* On a dans ces dênriers temps exonéré ces mesures de^ altérations qu'y apportait le verre supérieur, et des^corrections auxquelles il &Uait recourir pour déduire Içs diamètres vrais des diamètres apparents. Ainsi M^ Babinet a. proposé de graver sur la surface intérieure de l'un des deux

. verres une échelle de traits fins et équidistants. Si l'on veut éloigner des atineaux toute chance d'irrégularité, il vaut mieux avec MM. de la Provosiaye etDesains placer le système des deux verres sur l'écrou mobile d'une vis micrométrique et viser aux anneaux avec une lunette dont Taxé optique ne puisse< se mouvoir que dans un plan perpendiculaire à l'axe de la vis. On amène successivement en coïncidence avec le point de croisement des fils de la lunette les milieux des anneaux brillants et obscurs, et, si l'on a eu soin de mettre

, la lentille en dessous et le verre plan par-dessus , la course de Técrou donnera , au centième de millimètre, la distance

nUTERFÉREKCB JD^ LA LUMIÈRE NOV P|OLAIUSÉE. 1 35

' des points successivieinent visés , et conséquemment les diam(ètt*es des aïiiieatix réfléchis ou transmis . Ces mesures ad^

V inèttent assez de précision pour qu on .puisse en tirer^ à r aide des formules

de bonnes valeur» d(Bs4oiigueurs d'ondulation. . . § 73. — Anneaux à centre, blâme. •

Quand on choisît la lame mince et les deu^ milieux qui la çpercent , de telle sorte que son indice n soit intermë^ difûre avX leurs, quand par exemple on interpose dé Thuile de gérpfle \n =3 ïfM) eùtre une lentille de flint (>i = i ^64) et uo plan de crov^rn (/i==: i,5o), on obtient des anneaux réfléchis à centre blane. On en voit afsément la raison. Si le flint est en dessus , les réflexions ont lieu de •+- sur r-; et la différence déroute reste nulle au centre. Met-6n. lé crown par-dessus, -les deilx réflexions ont lieu de — sur -4-5 chacun des deuxj-ayoûs a donô perdu -X et parlant ils restent

d'accord. M*is pour que ces anneauX' aient de Fintçnsité^ il faut les regai:der sous des incidçnjçes presque rasantes : on y arrive: aisément en. donnant au milieu supérieur la forme d'un prisme.

§ 74. — Effets d'un prisme.

Soit un prisme équilatéral de flint [n = 1,64, angle limite === 37** 54') •, en le posant (fig» Sg) sur un.verre légèrement bontbé, on verra des anneaux. Mais si la lame minceest d'air; les directions danHesqùelies l'œil devra se placer seront peu commodes. Eneffet, les rayons doivent entrer parla face AB et faire avec la normale à BC un angle moindre que 37** 34'« Cette double/obligation rend; inadmissible (nous raisonnons pour le point O centre dés anneaux) tout

("^ ) B s'obtient aisément par }ei^ méthodes connues.

i36 GHAPransiv.

rayon qui fait avec AB et du i^pté du sommet A un angle pJus grand que 5i^ x5^ Lés incidences. des payons adpiis* . sibl.çs^' prises întérieureKient en .0, ft'ont plus quun,j^u de 1 5** 8' et sont comprises entre ^7-° 34 ' et 211^ a6'. Ces incidences étant celles qui avoisinent la réflcicion totale don- . heront des rayons'réflêcliis intenses umais comme TToeil doit viser sur la face AC^ suivant les mêmes directions qu'ont eues sur la face d^'entrée les rayons incidents, bientôt ki lètè de'. l'obsCervateur gênera ces derniers rayons, et les positions d'otLOB pourra voir les anneaux seront très-restreintes {*) . En îpreaantun pristne surbaissé RA'C, on échappe à cet ia^ ' touyément et Ton conserve néanmoinscette^vivaci té d'édfrt que les anneaux <toivent.à la grande obliquité des rayoïis sur la lame mince. . ^

Mais quand on u^e d'huile de gérofle (n^=:i ,54) {.Aç- 4^) r angle dq 60 degrés convient parfaitement : Uangle limite donné par la relation . . '

sinL^ilg ;

vaut en éflfet 69^ 54'? les premiers rayons admissibles font avec la normale et du côté de la base BC un angle de iff* a'a', ils sont dont presque horizontaux.

§ 75. — Le prisme dohaQ encore de la nettel^. L'emploi de prismes aussi ouverts semble promettre dé

{^.j* IKn'ést pas ici question de ces anneaux inattendus qu'op obtieitt avec des rayons presque parallèles à la Ijase. La lumière qoi-le^^ forme, après ètrè.entrée par la face AB,, se réflécbit totalement sur AC, puis sur la lame

■ .d'air,^ei nç -sôlrt psi^^a face AG qu'après avoir sub^ sur la face d*entrée une nouvelle réflexion totale. En étudiant la formation ^de ces anneau^, on re-7 connaît<[u'ils restent possibles, et. quand les rayons incidents s^élèvent vers

. le sommet j et quand ils sMnclinent versla base. Mais pour toutes ces incidences , l'angle, en Q stir la lame d'air reste compris entre .16 degrés et 3odé-> igrés et est par conséquent très-inférieurà Ihingle limite. Ces anneaux doiyent donc être très-faibles quand les deux réflexions Subies sur les faces latérales ne sont pas totales, et on ne les voit bien que pour le groupe d'incidences (l'incidence horizontale en fait partie) qui rend totales ces'réflexions intermédiaires. - . -♦

I9iI%:RFÉRENGE DE LAXUMKfeRE.JVON POtARISÉE. l^J

vives colôraûptis; si une telle perturbation n'existe pas, cela vient dé ce que les rayons éprouvent, eni sortant ,^u prisme, une nQUvellé réfraction qui donne unç, action dîspersive égale ei coptraire à çeile qu'ils ont siiiié en y entrant. Cependant comme les iticidences (>îg"« 4^) sont. plus grandes \ pour le violet quepoitr le roUgè^J'accDoiçs^ment que-cette circonstance dûnnC' aux* diamètres ^ il ^st trèsrrapidedatis' les gi'aTides incidences) peut suffire pouic rendre les'ahneâux violets égaux aux .anneaux rpûgésv On remarque} en /effet que.poar certaines positions lés anneaux 'sont blancs^- et noirs et quêteur nombre grandit comme si l!on usait d'une / lumière nionocbroma tique. Cetfeintei'veriiîon faViorable du priante n'a lieu que si jes rayons arrivent sur la £E^çe AB-en dessus de la normale. Quand ils àoilt en dessous," le prisme tend à'mi»ux séparer les anneaux rouges et violets et à les bidouiller plus 0t. . ' , " ; . . '

Le prisme peut donc donner ani anneaux non-seulement de la vivacité, mais encore de la netteté. Pour obtenir ce dernier avantage, iloi'tôt pas nécessaire que le prisme-concoure àjeur production. RegaMons en effet les anneaux, à " l'aidé d'un prisse P {/^g- 40 •' 5ans leur moitié la plus éloignée^ la^plus grande i'éfractioîi des anneaux violets le.s ràpprpche des anneaux rouges, et pariant en fait apercevoir un plus ^rand nombre. Mais cette amélioration n'existe plus ieî pour la totalité des anneaux.

, Lé prisme, même employé àgi'ès coup , est donc un auxiliaire utile : une bulle de §aV on montre plus tôt ses couleuifs quand on la regarde à travers un prisme. Mais pour voir les anneaux prématurémeptet en voir à des épaisseurs inusitées,, il n'est rien de tel que d'employer la flamme de Talcopl salé. . . ' •

, § 76. — Nécessité des dotix réflexions.

La pit)dUction- d'anneaux à céntreblanc était un pbé«omèno complètement îoattenëu pouf les pariisàns deJ'éww-

l38 ^ €HSPITRBIV.

sion^ on y rattachait leur production à des liantes dont nous pouvons aujourd'hui apprécier l'inanité. Leur point de vue était si difTérem du nôtre, qu'une des deux réflexioils aux deux surfaces restât étrangèi^e atr phénomène. On comprend que divers physiciens, Arago, Airy, se soient ingéniés pour prouver catégoriquement la nécessité des deux- réflexion» , et montrer qu^U n'y a plus d'anneaux dès qu'on rend nulle soit l'une, «oitl* autre. Ils^y ont réussira lienfermant la lame mince entre. deux milieux différents, crowu et Kint -par exemple^ et en employant de la lumière polarisé». 'Nous verroiis çn effet que .cette lumière refuse de se réfléchir,^ ^uand l'angle d'incidence atteint une certaine valeur qui clbâ^ge avec la substance. On peut donc anntder, par un choix convenable de rincidence, ou la première, ocr la deuxième réflexion; on voit alors disparaître, après affaiblissement préalable, les anneaux qui reparaissent dès que, sans changer l'incidence, on dépolarise le faisceau incident. -Puisque Yérfhission ne met en jeii qu'une réflexion, IHine de ceis deux expériences est inconciliable aveeciatte théorie.

§^77^— Les rayons de Poissoù.

^ La pâleur des anneaux transmis s^exptique par^ la différence dUntènsité'des deux faisceaux quiinierfèrept.. L'inégalité dés de.ox rayons qui, engendrent les anneaux réfléchis, .quoique moins flagrante, devrait cependant y produire un résultat analogue , em- ^ pêcher par exemple lei^r centre d^étre parfaitement lioir. Poisson, pour rendre compte de la complète obscurité des anneaux cfoirs, a •eu ridée de considérer les rayons d'intensité décroissante que les réflexions et les réfractions ultérieures ajoutent aux deux que nôiis avons e»chisivement considérés. Traitons cette question^ pour une lame de verre placée dans un milieu moins réfringent, tel que l'àir, et tout en prenant dans \^fig* 4^j pour la rendre plus' instruc tive, une incid^ce oblique, supposons l'incidence normale.

Égalons à l'imité lé coefficient b de la vitesse du rayon incident, et représentons par j» et r les fractions de-la vitesse incidente qui . expriment les vitesses oscHIatojres des i*ayons réfléchis et réfrac-

INTBRFÉREaCE 1>E t/kXDMlÈRE NON PpLARiSÉE. . l39

té» (*] ^ui seformeiit successivement aux points A,. C, £, H,'L,.... Les tableaux suivants; faciles à former, contiennent les caractéristiques des diyerâ rayons qui s^échappent en ces points pour aller prendre part alternativement à la formation des anneaux réfléchis et transmis. . "^ . .

•Faisceau des anneaux réfléchis.

'■ '■ ' Cocfficieot des Retard

/ :. vitesses. ' total.

Phase:

Réflexion ea A . . . . p - . -

-TT. . ,

Tninsmission en E. ' T*p ' .2^

Transmission, en L . t' p^ • \e

iiite

Faisceau des anneaux tfanstnis.

. Retards comptés

depuis e,.

Transmission en C ^ t' o ,

Transmipion en fi . ^' pV 2, ^

Transmission en H . t* p* 4 ^

'- X*) ^^y ^ d«ux80J^tes deréftexions, les intérieures et tes éxtérièures-i la transmission' présente deux cas analogues. On' devrait donc, dans le calcul, leur accorder des coefficients différents p, p^j t, Tc La-théorie nûu s montrera plus loin ($ â58) qu^on a I® - .. - Pi = — ^ et par suite pj c= p',

et 3®, dantf une certaine supj[>.o'sicioi), '

G'est en ilous inspirant décès résultat» jet en remarquant qii*il y atôu|aurs ' deux transmissions pour chacun des fuyons sueçcssils, que nous avons cru pouvoir conduire le calcul , comme si les menées, cocfiicîents pt-ésidaient et aux deux féftexlons et aux deux transmissions. .

l4o ^ <îHAPITB»nF.

La résultante générée des rayons réfléchis, doDBce par la formule (^ 55), sera

r 47ce \

«t celle 4es rayons iransmisl on pose ~T—r=a I , "- "

T=^T*(i-4-p»cosût-hp*cos2a-l-. . .)*-^p'THs«nai-f*«n2a-|-...)% • les formules connues . ^

. * CO6a = -(i.«^/^4-^-«^0

permettent d!opérer d^imporLinbes réductions,, dans les quantités sous-radicales qui expriment les intensités des deux faisceaux.

On a .

cos a -h p'cos 2a -Hp*COS 3 a H- . ...

,a V- • L ^-a V— I a p' COSa -- pV

cos a

' Un calcirl analogne donne . - .

siaa-f- p' sin 2 a + o* sin 3 a -4->. . . *

■~2V~\i.^p'^'W^ i-p'^^«V^^/ - - . sin a ' sina

"^ ï -H p^— 2 p- coS a ^ D .;' ' '

Snbsritaons dans R% aux deux séries, ces valeurs rédjiiles, rendons,

INTBRFÉaEBIGE DE LA LUMIÈRE NOU POLARISÉE. l4l

dans la première parenthèse, le dénominateur D comaïun, ette-^ nons compte de la rejàtion - <

.ir=:T»-hp»:^

il viendra . •

, R» [— D -h T^ (coS g — .p^ip-h y sin» a '

le coefficient de T* sera

cos^ a — 2 p^ cos a -f- p< 4- sin' a == D ; D est donc facteur commun; supprimons-le, on aura

. R2 ^ D — 2T^C0St»-f-2T'p^-4-T*

1 4- p^ -4- T< 4- 2t'p» -^ 2 (p^ -^ t'-) COS. g "" D

i4- 1 — 2 cosa

c'est-à-dire finalement

expression qui est bien huile qUande vaut o , -? X, 3 - ? » • • »

c'est-à-dire un multiple pair de j«

En ne considérant que les deux premiers rayons , l'intensité résultante serait

ce qui donne, quand ^ = o et dans l'hypothèse p^ = b ,o4 , . . , . K] =:o,oooo64-

Comme le maximum (il correspond visiblement aux valeurs de»

i42 cHA^pimE ly.

multiples impiiirs de 7 ) est alors o , 1 53 664 ) on voit (]iie le nippon des intensités extrêmes s'élève à 24^' (*)•

En différentiant R' on trouve d*abord que les maxiixra continuent de répondre aux mêmes épaisseurs de là lame mince, mais leur énergie, moindre que dans le cas de deux rayons , n'atteint que o , 1 47 • Cela vient de ce que , aux maxîma , si les deux premiers rayons sont concordants, le troisième leur est disçordapt et que tous ceux qui suivent sont alternativement en antagonisme. Aus^ minima au contraire tous les rayons qui suivent le premier sont d'accord entre eux et réussissent par leur concours à éteindre le premier. Il ya sans dire, du resté, que dans la pratique, Toeil ^avec sa pupille étroite ne recevra pas la série infinie des rayons de Poisson et que pour ce motif, au moins théoriquement, le$ intensités apparentes différeront de celles qui viennent d'être établies.

En remplaçant les séries dans l'expression de T% on trouve, comme on pouvait s'y attendre ,

r=__Ji:i£l)l__.

(iwp»)»4:4pasin'^

Nous engageons le lecteur àâppliquer au cas des anneaux à centre blanc et les calculs qui précèdent et les considérations diverses dont nous les avons ^accompagnés.

Si la lumière est blanche, la présence tle sin^ 29r - au dénominateur rend la teinte différente de celle donnée (§ ^9) au centre d'une ouverture circulaire. Si cependant, ainsi qu'il arrive avec

( '^ ) Ce rapport diminue quand p grandit , et '«lors les rayons de Poisson deyiennent indispensables pour expliquer l'obscurité bien réelle des anneaux noirs. Ainsi quand |9 = 0)5 les éclairements minimum et maximum n'ont plus que le rapport de i à 17. Il est vrai que les substances qui sons^*inc|- .dence normale pourraient réfléchir moitié de la lumière incidente ont droit à un indice ou tellement petit, 0,172, ou tellement grand , 5,8, que dans le premier cas elles n'exi^stent pas et que dans le second elles' n'etistent que dans un état d'opacité qui doit modifier profondément à leur égard, les résultats précédents. Mais en prenant les substances diaphanes sous de grandes

incidences, p grandit, atteint et dépasse -(§ 2iJ0), et la remarque'qui fait

Dobjet de cette note aboutit parfaitement. '

INTERFÉRENCE DE LA LUMIÈRE NON POLARISÉE. l43

les verres ordinaires, p' est assez petit pour qu'on puisse négliger

4 fHin* 2 iTr- vis-à-vis de (i — p*)' et se bornera la formule approximative

alors Touverture et la lame mince donnent la même teinte, Tepaisseur de cette dernière étant donnée par Téquation

aa€

Un dernier mot : chaque observateur, quelle que soit sa vue , voit les anneaux , au même lieu , entre les deux verres. Un résultat pareil se retrouvera souvent, nous le justifierons à Taide d'un prîndpe d*optique géométrique qui sera développé plus tard (chapitre VÏII).

§ 78. — Accord de la théorie des franges avec les anneaux réfléchis.

Revenons aux tranches de Frcsnel (§ 65) , et voyons comment elles se tireront de Tinterprétation des anneaux colorés. Mais hnsis- ' tons d^abord sur Textréme différence qui existe entre la théorie précédente et la théorie des tranches.

La première ( § 98) résume l'action des particules des corps, dans un accroissement de la densité de Téther qui y est ooercé ;,de là le point de vue simple du partage d*un mouvement vibratoire entré deux milieux homogènes contigus. Il est vrai que pour apprécier le mouvement conservé par le premier milieu, il faut distinguer deux cas, mais ces deux cas sont liés par une règle simple devinée par Young (§ 68) et démontrée rigoureusement par Poisson.

La seconde, au contraire, n^admet plus de modifications appréciable^ dans la densité des éthers enfermes dans les cor))s. Leurs particules matéKelles interviennent directement et incessamment, et leur participation effective dans les phénomènes n'est limitée que par le concours du principe des mterférénces et des lois de Textinction propres au milieu; On est alors privé dé la distinction si utile offerte par la réflexion de — sur -h , njais b^ retrouve d\'\utres causes de relard, et notre but actuel est p^'écisénoent de

l44 apAPITMîIY.^

' voir ^i ces rçtard$ surajoutés se plieront aux diversjes exigences des cas nombreux des anneaux colorés.

Pour une lame d*air entre deux verres, le premier rayon, partant du milieu de la dernière^ tranche du verre supérieur, est en

avance de j sur le rayon réfléchi à la surface même. Outre le retard 2 e, le second rayon éprouve un retard -y dans la première

tranche du verre inférieur. La différence de route est donc 2^4--

et on a bien antagonisme et centre noir là où Tépaisseurest nulle.

La lamé est-ielle plus réfringente que les deux milieux, le pre-

' mier rayon est en rétaird de 7 et le second de 2« *^ 7' ^^^~

férence 7.e — — Enfin quand la lame est d* un indice intermédiaire

à ceux des deux milieux qui la coercent (^ 75)9 Je premier rayon

est en ! de 7 9 et le second en I de la même quantité

( avance , 4 ( avance

suivant que le milieu supérieur a le { , • . des. trois indices ,

^ (plus grand

c'est-à-dire que la différence de route est 2^ et que Ton a bien les centres blancs. Les anneaux réfléchis s'expliquent donc d'une manière très-satisfaisante dans la théorie des tranches. Passons aux anneaux transmis.

§ 79. — Désaccord avec les aimeaux transmis Le deuxième rayon transmis est en retard de

7 4- ^ -h 7 -H tf = 2 tf -h - >

et| s'il's^agit de la lame mince de verre, de

— 7-hÇ— 74- <? = 2^

Enfin, dans le troisième cas il garde encore le retard des" deux réfléchis , c'est-à-Klire que les anneaux transrais seraient identiques avec les anneaux réJËéchis. ,

INTERFÉRENCE DE LA LUMIÈRE 1IM>BI POLARISÉE. i^S.

§. 80. — Perte spéciale de 7*

Ponr échapper à ce désaccord , Fresnei a supposé que dans toute

réflexion il se perdait j] cette perte spéciale ne trouble en rien la

diflcrence de route qui vient d'être trouvée dans le systètne réfléchi ^ pui$qi]»e -chacun des deux rayons qui le composent éprouve

une réflexion ^ mais elle ajoute 2 ^ à la route du dernier rayon

transmis qui seul éprouve 'deux réflexions, et rend ainsi les anneaux transmis complémentaires d^e leurs congénères. A Pappùi âe son ^ hypothèse hardie, Fresnel invoque : 1° cette remarque ingénieuse que l'indépendance de deux mouvements vibratoires, -dans une même particule, n*est assurée tjue si Ton est dans le cas particulier .qui donne * '

B»=^»+^" (pagegg); :

2? l'expérience suivante :

Quand une réflexion de — ^ sur +rend appuhif un mouvement qui^était impulsif, le chang^ement est relatif à la direction dii rayoïi réfléchi. Si donc la réflexion est oblique , les deux directions de l'impulsif et de l^ppulsif font entre elles, comme les deux rayons incident et réfléchi, l'aQgle 2/. On en conclut sans peine que si, pour devenir parallèle. à son incident, le rayon eipploie dix réflexions, ces réSçxions, an lieu de produire dix fois la perte -> ait- - " - • 2 . •

ront simplement mis le mouvement réfléchi en contradiction avec le mouvement incident, tout comme Teût fait une seule réflexion normale : ou bien encore que si l'on fait tourner du mêm^ç angle ^ deux incidents par des noipbres inégaux de réflexions, une pour l'un et deux pour Tautrepar exemple, les deux réfléchis parallèles seront d'accord et donneront par leur interférence des franges à centre blanc.

Dans la théorie de& tranches il ne s'agit plus d'un retournement relatif du mouvement, mais d'un véritable relaid qui vaut chaque

fois deux fois 7, à savoir le 7 delà dernière tranche et le jhypo-

thétiqiie de Fresncl,-et qui se répète inévitablement à chaque ré-

l46 CHAPITRE IV.

flexion. Si donc on fait interférer deux rayons primitivement parallèles et issus d'un même luminaire, après les avoir amenés dans une* autre direction commune à Taide de deux réflexions, pour Tun

et d'une pour l'autre, ils différeront de - et donneront une frange

/centrale noire. . . > . -

NoLv» avons supposé jusqu'ici que ces réflexions iaégalenient rtombreuses s'opéi'aient sur place, sans chemins décrits d'un miroir à l'autre. Il n'en saurait être ainsi, les chemins décrits ne seroàt pas les mêmes pour les rayons diversement réfléchis; dmis il suffit qu'ils soient égaux , et Fresnel obtenait comme il suit cette égalités . •

Soient M, M' {fig.* 4^) les deux miroirs sur lesquels l'un des rc^ons, AB, se réfléchira deux fois, et M'' le miroir sur lequel l'autre rayon interfèrent EF éprouvera réflexion unique. Il faut d'un^ part que les deux réfléchis CD, FG soient parallèles, et de l'autre que les deux chemins BC et RF -f- FS soient égaux. ' Condition de la direction finale commune. — Si nous admettons une égale inclinaison a des deux miroirs Met M' sur M", et le parallélisme de BC avec M", la déviation du premier rayon sera

celle du second sera 2 ê, ce qui donne

Condition des chemins égaux, — Soit la première condition satisfaite , on voit aisément que si le point de rencontre dçs'deux miroirs Met M' tombe sur M*' (fig. 44)» ^^ chemips paW^ounis seront égaux. Car alors FR dans le triangle BFR = BL dans le triangle BFL. Et, pour un autre rayon quelconque «6, on aura de même Fr==zbl, c'est-à-dire (en reportant pour le rayon quelconque les chemins entre les deux positions del'onde, BR et €S) que tous les rayons du faisceau réfléchi dans la direction de la frange centrale auront décrit, depuis la surface BR jusqu'à la surface CS, les mêmes chemins. Bref, nods arrivons à ces trois exigences : i" symétrie des deux miroirs M, M' par rapporta M^'; 2** g =2 a; 5*^ rencontre des deux miroirs M et M' sur M'^

PourTealiser ces conditions, Fresnel en traçait l'épure sur un

INTERFJÊRENGE DE LA LUMIÈRE NON POLARISÉE. 147

carton, et, aprèsavoîr installé ses miroirs conformément à Tépure, il se laissait la possibilité de parfaire le dispositif, par une vis de rappel qui déplaçait^ parallèlement à lui-même. Gomme il a toujours obtenu dans diverses expériences où a. a varié de 7 à4o degrés, une bande centrale noire, il faut en conclure qu'un rayon deux fois réfléchi offre^ indépendamment des chemins parcourus, un retard de*sur celui qui n^a subi qu'une réflexion, et qu'ainsi nine réflexion

amène un i^rfli retard de -; qu'ainsi le retard -5 mi-parlie espace,

mi-partie temps réclamé par la théorie des tranches, est avoué par l'expérience.

L'insuffisance d,e la théorie des éthers homogènes diversement denses, déjà manîîestée parla dispersion (§ 58), est donc mise également en évidence par la réflexion. Cependant nous y aurons encore recours, mais on devra n'y voir qu^un levier quelquefois heureux et qu'un premier moyen d'étude. La théorie des tranches est autrement 'féconde, et l'on peut penser qu'elle permettra un jour d'exposer simplement les travaux remarquables menés à bonne fin, sur la théorie ondulatoire, par un illustre géomètre.

ARTICLE IL

-FRANGES DES LAMES ÉλAISSES. - SCINTILLATION.

Expérience de Newton. — Son explication dans la tbéorie des ondes. — Formule t]Ui donne les diverses lois auxquelles Newton et d'autres physiciens étaient arrivés. — Formes diverses données à Fexpérîence de Newton. — Par M. Stokes; — le duc de Chauln^ ; — M. Pouillet ; — M. Quételet.— Anneaux de M. Babinet. -— Franges dé Brewster et de. M. Jami'n. — Sein* tillation , -^ sa mesure , — sa théorie. — Réfracteur interférentiel , — de Fr«Bnel et Arago , — de, M. Jamin. -> Couleurs des lames mixtes. ^ Soleil .rouge et soleil bleu. — Relation entre reflicacité des obsUacles et la longueur d'onde.

§ 81. — Anneaux de Newton. -^ De guoi dépend lenr éclat.

A Newton remonte l'observation du premier de ces phénomènes aujourd'hui sî nombreux. Un miroir concave assez épais, à surfaces- parallèles, recevant normalement « 10.

l48 CHAPITRE IV.

un mince faisceau delumière, lui donna sur un écran petcé, placé aux environs de son centre' de courbure, une série de cercles colorés [Jig, 45). Celui qui s'avisa de' ternir le nairoir, par la vapéuhde l'haleine, par une légère couche djB lait mêlé d'eau , etc. , l'endit les cercles tellement vifs, que le phénomène devint l'un des plus brillants de Tôptique.

A part la-.grandeur etU vivacité, ces cercle^, qui se mer surent par simple lecture quand on les reçoit sur un écran divisé, ont entre eux les rapports de grandeur etles teintes des anneaux transmis des lames minces d'air. Ainsi ^ les carrés des diamètres des cercles brilldnts donnés pak* une lunûèrre simple suivent la série o , 2, 49*« • • > et ceux des cercles obscjirs la série i, 3 , 5, 7, ... ; ainsi , d'uno couleur a l'autre, les carrés des diajnètres d'un même anneau varient comme les longueurs d'onde.

Guidé par la théorie des interférences , et par les conditions accessoires qui améliorent le phénomène, nous allons aisément rendre compte de ces lois et de quelques autres que Newton a su y démêler avec une rare sagacité.

§ 92. — Leur théorie pour une lame plane.

. L'expérience ne laisse aucun doute sur l'intervention des deux surfaces dans la production des anneaux. Il y a concours de la première surface et ce concours consiste dans une dissémination, témoin l'extrême vivacité due à une poussière {*) et à un ternissement quelconque. Il y â coiicours de la deuxième et elle agit par réflexion régulière, car les anneaux s'affaiblissent par l'enlèvement du taîn et disparaissent si on la, recouvre d'un vernis noir qui annvje la réflexion. .

Le faisceau OA (^^".46) donne, au point A, un rayon AF

.( * ) Que la poussière projetée«oit irrégulière,, car une poudre régulière, telle que le lycopode, introduirait, par voie de diffraction (§ 15.1), .des anneaux d'une^autre espèce, variables avec les dimensions des globules réguliers. • ■ * -. . •

IHTERFÉRENGB DE LÀ LVMIÈRB NON POLARISÉE. 149

transmis régulièrement et un faiscqau hémisphérique dissén^iné intérieurement.; Un quelconque de ces rayons disséminés, AB par exemple, se réfléchit sur la deuxième surface, est rendu à la surface antérieure, 3e réfracte en C et atteipt le point P de 1 ecraii. Outre cela, le rayon transmis AF revient par réflexion normale au point A et envoie au même point P, par dissémination extérieure, un deuxième . rayon AP- On voit donc qu'un point quelconque P de l'écran* reçoit deux rayons issus d'un, même rayon , que qe^ deux rayons ont subi chacun , mais dans un ordre différent, une dissémination , une réflexion et une réfraction , et qu'ainsi ils peuvent avoir sensiblement la même intensité. La^géométrie fait le reste en. montrant que* pour obtenir, entre ces deux rayons , de faibles retards , le point P doit s'éloigner considérablement de O et s'en éloigne précisément des quantités données par l'expérience.

Soit e rèpai^seur du miroir, w son indice, d la distance OA,^la distance OP. La* route du premier rayon est, à partif'de A, ^ .

2/iAB-hCP,

ou bien, si A'' est le symétrique de A ,

«A^Ç-hCP.

Celle du deuxième rayon est

a/iÂF4-AP, ou bien

TiAA'-f-AP.-

Prolongeons PC jusqu'en D. A' et D sont devkx foyers conjugués et ils donneront (§ 31 )

I* AÂ^-^ DÂ :;= «Te — PC ;

si nous ajoutons et si nous retranchons DC du premier chemin, il devient