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F.II rt^ardant. d' après ce qu'on i déji dit, la mélhode proposée - -.tif celle des trvis qui donne la plus grande exactitude et en > ')| ,-.ir<anl en conséquence le résultat des autres, on verra que ',•■ rr-ction de Legendre est moins exacte que celle d'Euler; les : 'rrcif». relativement i la projection parabolique, sont comme ''• ) 5 et d'environ ,',^ i rr* des parties d'ordunnéfs.
fo'jr mettre hors de doute la plus grande exactitude dn la mét' «V proposée, sur celles d'Euler et de Legendre. il suffira de ' -.'■ '--rcr le cas ou la vitesse serait très-faible, le projectile Irés- ■ .ni. ^t on par conséquent la trajectoire ne différerait pas sensi-
blement d'une parabole. Dans ce cas, la méthode proposée donnerait exactement les abscisses et les portées , tandis qae la méthode d*Euler et celle de Legendre donneraient des abscisses ainsi que des portées trop grandes et des ordonnées trop petites, dans les rapports qu'on vient d'indiquer.
Mélhode des séries*
128. Méthode des séries. La seconde méthode qu'on a appliquée à la solution du problème balistique donne les quantités cherchées en séries procédant suivant les puissances succe^ives des quantités données par la question, de façon que l'excelleDce de la méthode et le degré d'approximation qu'on peut obtenir dépendent du degré de convergence des séries et du nombre de termes qu'on calcule.
Résultats de Lambert, Lambert ' est entré le premier dans cette voie ; après être arrivé par des moyens analogues à ceux d'EuIer à l'expression de dx en fonction de p, déjà obtenue.
il fait voir que cette fraction étant résolue en une série procédant
suivant les puissances dey (fpV^l+p', on arrive' à la valeur
de X en fonction de l'inclinaison et des puissances paires de la vitesse ; il obtient une série semblable pour l'expression de la durée du trajet, et montre que la valeur de y=spdx n'ofifrirait pas de termes moins compliqués.
« Histoire de rAcadémie royale de Berlin, pour 1765; Mémoire sur la résistance des fluides avec la solution du problème balisLi(iuey pages 102 à 188.
' Idem, page 167.
(1) t/ = a;tang<j.—
4/icos'^
i+ô hô-ll ) +Q-7^( ) +«tc.
3ccos9 3.4\ccos9/ ' 3A,o\ccos^J
sin^ aï* sinç x'
■^273^4 c/icos> 2.3.5 ch^ cos^^'^^ '
■h etc.
' 2.3.5.8 c/i'cos3<^
+ etc. +ctc. j
C'est par le facteur entre pareqthèses que cette expression de y diffère de ce qui aurait lieu sans la résistance de l'air; la pre* niière ligne de ce facteur n'est autre que la fonction que nous
avons représentée par fT J (66).
En conservant ce terme seul et en négligeant les autres, on aurait l'équation d'un très-petit arc de la trajectoire; celle-ci se déduirait également de l'équation que nous avons déjà obtenue (68). dans la même hypothèse sur la résistance de l'air pour un arc d'une certaine étendue, en y faisant le rapport a de l'arc à sa
projection égal à celui du premier élément qui est séc9 ou .
Les termes autres que le premier sont relatifs à la plus grande étendue de l'arc.
129. Portée horizontale. Pour obtenir la portée horizontale il faut faire ^=0 dans l'équation précédente, et en tirer la valeur de X ; Lambert obtient par le retour des suites et en faisant pour
. 2sin9V* ^ cg simpliner = ç et -- =*».
cg V*
+ -j^msiB9f^ — ï^msin(pî^+elc.
— ëVw'co8'<Pf^ + etc.
+ etc.
RÉSISTANCE PROPORT. AU CARRÉ DE LA VITESSE. 22i
Cdte suite esl peu convergente, i moins que V ne soit très-petit ï ;*)ratiTefflent i c. ou que 9 ne soit lui-même très-petit. Suivant
bnl-^rt. elle est applicable au lir sous les petits angles au-dessus
<!' 1 horizon, comme celui des canons.
En remarquant que ( est facteur commun du deuxième membre
'iqu^ ce facteur multiplié parecos9 est égal à Ssin^cosV —
u a la portée dans le vide, portée que nous appellerons X'.
X' 2sin<^
•• ..rrijuanl alors que f = • que m = — ; — . on aura
CCOS^ ç
- x^x'Fi-^ J^+A/JLV+llr-^V+etc
L 3cco8^^36Vcco8«>y ^270\ccos<^/ ^
6 CCO89 90 Vccos^/
+ etc.
— :r:8in' <r
C() ccoso
+ etc. + etc. j
La (iTpmiere ligne de cette'expression se rapporte à un angle .' f rijeciioo peu élevé et tel qu'on le déduirait de l'expression ..• Duus avons obtenue (art. 83). en y développant ift>(x, V). en
-^fi2Qt X par le retour des suites*, et en y supposant ensuite '* ''^Mince de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, puis en : '«•i^Dl le rapport « de l'arc à sa projection par celui du pre- ' r » .rfinent ou séc P. Les autres termes tiennent compte de la ' •- tDode étendue de l'arc : mais ils sont incomplets. Lambert -'•t D'avoir pas remarqué que la valeur de m contenant ç au . iiii'.ateur. il en résultait que dans les termes où entre cette . < '«f. la puissance de i se trouvait diminuée; par suite, les ■' . ^ ••*nt incomplets à partir du second et la formule de Lam- >*••. 'y jM.ut pas servir telle qu'elle est.
T''*. hcltnaiâon, Lambert, par la diiïérentiatioQ de la valeur -- - relativement i x. trouve la valeur de l'inclinaison de la
\ ir b première édition, celle de 1848 (art. 74, (*q. G), page 100.
trajectoire en un point quelconque; elle devient, par les mêmes substitutions que précédemment.
(3) tang 0 =: tang 9 —
csinqp/ x \' csinÇ/ x \^ if h VccosÇ/ Sh \ccos<pJ
+ etc. + etc. I
Sous cette forme, on voit que le premier terme donne
^ ^ 2/tcos>
l'expression de l'inclinaison qui aurait lieu sans la résistance de
l'air; la partie entre parenthèses est donc le facteur qui tient
compte de cette résistance ; dans celui-ci. la première ligne n'est
autre que ce que nous avons représenté par F'f J et qui
donne l'inclinaison lorsqu'on ne considère qu'un arc de très-peu d'étendue.
131. Durée, Lambert obtient aussi pour la durée du trajet, une formule qui, par les substitutions que nous ]f avons faites, devient
Vcos<^
csin^/ X Y ^ csin«/ x \' "'TShK^ccos^) ~"273^nr"\2^côs^J '^^^^'
, i /CC0S<|>\*/ X \' . ,
+ etc. +etc. I
Sous cette forme, comme dans ce qui précède, on voit que le
rLnistance proport, au carré de la vitesse. 223
}>r'UiUfr facteur est la durée qui aurait lieu sans la résistance de . éit, H que le deuxième donne l'influence de celte résistance. L^bd Celui-ci, la première ligne n'est autre que la fonction que
:-is rppré>entons par P f- j et qui à elle seule donne la
t^r^e I = F I ) , relative à un arc de très-peu d*é-
\c0s9 \2ccos9/
î' .tj Je.
ir>2. n^mliaitie Borda. Borda*, en partant des deux valeurs
1» X et de y
~J fdpV^^p^ ^^ ^ J J
cpdp
dpV'A+p^
I a!.^«i cherché à expnmer y par une fonction des puissances *. .'^^iMS de l'abscisse x, et au moyen des coefficients indéter- *. • > d a Iruuvé la valeur suivante :
I / sin* 1 \
ti\ iWi' cos49 ~" ic'h cos4 9 /
I / sin^
' til)\c'/i'cos*? Ic^h -I- ctr. + etc.
■""■""" — . ^-^^— ^— I xr ^" etc
«' :.'- f'piUion peut se mettre sous la forme déjà obtenue '1^. »•]. \) d'après celle de Lambert, et elle donne lieu aux
f '">. H^xuUaî* de Temjielhof. Tempelhof * a traité la question
' *»'jr U rnlirbc diVrite pai les boulots et les bombes, on ayant 1 a la r«'-^i>t;inrc de Tair, par Dorda; Mémoire do TAcadéinic - !. ••- «b* rari>, |K)ur I7<il).
' V ' .. !M- Kiir It* problôino balii(ti(|uo ou sur le mouvcroont d'un • li-i> un riiilh'u n^istant on raison <lu carn*' de la vitesse.
iâi SECTiOiN V.
du mouvement des projectiles dans le cas où l'oD suppose la densité de l'air variable, soit suivant une fonction de l'inclinaison de la trajectoire, soit suivant la longueur de l'arc parcouru, soit enfin avec l'élévation du projectile au-dessus de la terre. Il traite ensuite le cas où la densité est supposée constante.
Partant de la relation finie qu'on obtient entre la grandeur d*un arc et ses inclinaisons aux deux extrémités, il cherche par la méthode des coefiicients indéterminés la série qui exprime o; et y en fonction de e', de Tangle de départ <P. et de la vitesse initiale V. Les formules étant très-compliquées et l'arc n'étant pas la lon^ ^ueur qu'on a à considérer dans les applications, nous ne donnerons pas ces formules. Nous aurons d'ailleurs à en rapporter d'autres de ce genre, beaucoup plus simples.
Tempelhof donne encore d'autres formules relatives à la portée sur un plan horizontal et à l'angle de chute, que nous ne rapporterons pas pour les raisons qu'on vient de donner.
134. Résultats de Français. Français', dans des recherches non publiées sur le mouvement des projectiles, s'est attaché de préférence aux méthodes d'analyse qui ne négligent rien, conservent dans toute leur intégrité les données et les formes, et qui ne sont approximatives que par l'impuissance où l'on se trouve de revêtir certaines expressions de formes finies ; c'est par le calcul des dérivations, à la naissance duquel il a assisté et même coopéré, et où il a trouvé, dit-il. des ressources inespérées, qu'il a traité la question balistique. Il ajoute. que cette méthode lui a permis d'arriver à des formules qui non-seulement n'auraient pu être trouvées par l'analyse ordinaire, mais qui ne pourraient pas même être figurées.
Au calcul des dérivations. Français a associé une espèce particulière de difTérentiation qui lui a permis de tirer, presque sans peine, des formules remarquables qu'aucune autre méthode ne
' Recherches sur le mouvement des projectiles dans les milieux résistants, par F. Français, an XIII. Manuscrit appartenant à la bibliothèque de TÉcole d'application de Tartillerie et du génie à Metz, et dont copie a ét<^ adressée à l'Institut de France.
saonit dooDer aussi immédiatement et d'une manière aussi
i> iîe.
Iks deux équations du mouvement. Français déduit les deux cqoatioDs connues
{'i) dpdx + gde=sO et dpcU — cd*p = 0. (6)
dp ds
L'équation {b) mise sous la forme dlog-p>=»*- , donne en
dx c
itr^ranl
dp ^ -
dx '
B éunt une constante dont on trouve la valeur B = —
2/ico6*f'
urla condition de satisfaire aux données relatives au point de i'part: ce qui donne, en faisant, pour simplifier les expressions.
dp ^ ew
</a? S/icos*^^
ds
] a^ne psr tange, et -p ss (coso) "' on aura
dp I dO
dx co8^t*d«'
i-4t qui substituée dans l'équation (c) donne
d9 eMds 1
a «' a 2^ C06* 9 2tVi cos* <^
r-dr",
•i Uiuot — : =: m on aura
do — ^zs^mdeii,
'. «n mtégrani
cos'O
Si la première intégrale est prise de manière à disparaître lorsque « = 0. ou lorsque 0 = 9. il faudra que C = m d'où
dO
dont il faut tirer une valeur de s en fonction de 0 et ensuite les valeurs de x et de y. Mais avant d'aller plus loin, nous devons expliquer la valeur des notations qu'emploie Français.
135. Votûtions employées par Français. Si f{^) est une fonction de 9, la différentiation de cette fonction, dans laquelle, après Topération. la différentielle d<p serait remplacée par une certaine fonction, qui sera ici cos'<^, sera représentée par )^/*(^); d'après
cela. ;;>f(«>)=^cos'<»>.
En différentiant de la même manière cette première dérivée et en remplaçant de nouveau d^par cos'<^. on aura i^YW '• répétant la même opération sur ^Y(<») on aura ^Yt"^) et ainsi de suite. De plus, introduisant la cédille sous la caractéristique ^ pour exprimer 1.2, 1.2.3. 1.2.3.4. on écrira
Vm pour jL;^Y(<^) ; îVW p«"r74:3^vw-..
En opérant de celte manière pour f(<^) = sin<^ et pourf(ç) = cos<^. on trouvera les résultats ci-après qui serviront dans tout ce qui sera dit sur cette partie des recherches de Français.
(6) ^ sin9=cos^^
0'sin<^= — 4cos^^sin<f
;D' sin <> = — 4 cos*^ <? (1 — 7 sin' <p)
Û*8in^=8cos*'^^sin^(H — 35sin'<^)
0^sin9=8co8'*9(H— 226sin'<^+455sin<<?)
::^^ sin ^ = — 64 cos'^ sin 9 (73 — 623 sin* 9 + 91 0 sinS)
;^7 8in^= — 64 cos'^<? (73— 2964 sin'<P + 15141 sinS
— 17290 sinS) etc. etc.
Un obtiendra de même
T i cos« = — cos'<f>sin^ *'cos^ = — cos*^(l — 4siD"<^) Z* cos 0 = cos' ^ sin <r (1 3 — 28 »in* 9) ; Vos 9 = cos» <? ( 1 3 — 1 88 sin' ^ 4- 280 sinS) ;;^cusa = — eus" sinç (493— 3188 sin'^+36408in%)
V* eus <»= — cos'S(493 — 15480 sÎD» ^M- 62832 sin*^
— 58240 sinS)
i- cos 4 =s cos'^ <^ sio ^ (37569 — 483528 sin'9
+ 1417584 sin^o -1106560 sin^f) Kc. elc.
Oo pourrait calculer les fonctions représentées par les caractéf.^tjqu«s d. ;j*... des cinq ou six premiers ordres pour un certain : 3ihrc d'aogles suffisamment rapprochés ei en former des tables.
Vutci les valeurs des cinq premiers ordres que nous avoas i.cul»-es pour les angles de 0*. 5*, 10<>. 15*». 30«, 45» et 60* :
Table des valeurs des fonctions Osin^, O'sinç. Ocosq^, O'cosqp pour diverses valeurs de ç.
^sin<^
^^'sin^
0*sin<^
;:)^8in<^
— là. 06879
;:)'cos9
