IZ
;:)^8in^
Ol 0
Z^cos^
!^'cos^
2>'cos<^
^*cos<^
;)*sin<r
3V3.il
^'cosf
Al. mo)en de ce$ valeurs, les termes des séries qui se rappor-
V'.: aux an^slcs de M^, 45* el 60^. les plus en usage dans le tir
■ * t^nU^. pourroot être exprimés trcs-simplemcnt.
1^'. Vaiturs des alneisses et des ordonnées en fonction de la
v;«ar des ares. Au moyen de la difTérentiation particulière
'• . ' J'^t? parla caractéristique 0. Français est arrivé aux résultats
» »ir,u
230 8ËCTI0N V.
(8) y=sin9.s — mZ>s\i\^f(e<* — l)ds + w^5*sin<?/{e«'— !)'</<
— mV8in9/(e«— i)'(i<+etc.
— m^5'cos<?/(e" — 1 )'(fs+elc.
Dans ces expressions les intégrales doivent être prises de maDière à s'évanouir avec ». Or. il est facile de faire voir que si A est la caractéristique des différences finies se rapportant à la seule variabilité de t dont la différence Ai := i. on a
etc. etc.
Les équations (8) deviennent donc en y introduisant la caractéristiquo F et en rappelant que is = *
(9) y = « 1 8in<;. — ^ ts [m 0 sin 9 F {is) — 2m»5' sin ^ A F (w)
+ 5m^^' sinV A^ F (is) — etc.) f .r = s I cûs <? — -7 i« [m 2> cos<^F (ts) — 2m'5'cos <pAF [is)
3m^5^ cos 9 A' F (m) — elc-l }
Les équations (8). (9) sont des équations à la trajectoire exprimées en 1/ et j ou en x et s.
Il est très-remarquable que par l'emploi de la caractéristique ^. l'ordonnée y soit exprimée en sin<?. comme x l'est eo cos 9; c'est une symétrie qu'on aura lieu de remarquer encore plusieurs fois et que les méthodes employées jusque-là n'avaient pas permis de reconnaître.
Quoique Français ait énoncé que ses formules étaient trop
RK>l>T.VNCK PROroUT. AL' CARRÉ DE LA VITESSE. 231
:•.' i; |M«'»'^ pour les ap]ilicaliuns. on peut voir cependant qu'avec ii ^ Tjl.tMMtion qu'a introduite la fonction représentée parla caraci ^'i< juc F que nous avons rencontrée dans la plupart des formules 6 t.'l.>iii{ue. el au moyen de tables comme celles que nous don* z '.i (tâb. IX). les opérations sont bien simplifiées. En eflet. pour j\.!cr les divers degrés de AF(t«). il suffira de calculer le
r.: I rt - ou i$, de le multiplier successivement par 2, 3. 4. 5....
- rUrcber dans les tables les valeurs F(f«). F(2t«). F(3t«).
\ i'O: d>n prendre les différences qui seront A F(ts), A F (2t«).
-t" ÔK,....; les dilVérences de ces quantités donneront A'F(w).
^ 'F ^ts)... . : les différences entre celles-ci donneront A ^¥{is)..,,
'1 4. .si de suite.
i>o optTerait de même pour une seconde valeur de m. et en
-: .^tsv^nt les valeurs de $ de façon que û soit contenu dans les
' . «.et que par suite les multiples de cette quantité y soient
. ^M. 1^ calcul de F {t«). AF(i«).... F(2i5). AF(2w).... se
r ..u*a à des opérations extrêmement simples. V sr.i aux fondions exprimées par la caractéristique ^, en en ' - .rit une table pour des angles sufllsammcnt rapprochés, comme
' > ! a\iMi.s fait pour les angles le plus en usage dans le tir des :*^ el pour les cinq premiers degrés, les calculs cesseraient
' •- rofiipîiqués. Tour les angles de 30. 43* et. 60" l'exprès-
^t beaucoup plus simple que pour les autres.
*' arn\^ encore à une expression très-simple des coordonnées
« :.w rs points de la trajectoire au moyen de l'angle asympto-
..'. r rst-i-dire de l'angle que fait avec l'horizon l'asymptote
. :i braLche a>cendante de la trajectoire; cet angle étant désigné
-' «. qui se calcule d'ailleurs facilement comme on l'a vu (118)
• . *:• \fn des tables de fonctions £(<^). on aura
' >iOi ^sin^+fA'^sin^-hm'^'sin^ + ^^^^^sin^-t-etc.
:l ysiMn/ â—^sin) "(«<•— l)+iysinx^(<'*»—l)
fYl fît*
— P'cos>— (e"«— l)+elc.
Nous pouvons donner à ces formules une expression plus simple par l'emploi de la caractéristique F' (69) et écrire
(12) y = «[sinx — ;:)sinxinF'(i«) + 5>"sinxm'F(2M)
— 5^sinxmV(3M)-+-etc.j X = «[cosx — ;:>cos>mF'(«)+5»cos>ni»F'(2tt)
— ÎJ^ cos X m^F' (3w) + etc.)
137. Valeurs des ordonnées et des abscisses en fonction de Tinclinaison. Français est arrivé aussi à des expressions des coordonnées de la trajectoire en fonction de Tinclinaison de la courbe en chaque point.
On a vu qu'on avait / — ^^sm^e** — 1) (134. éq. d). En
p dB désignant par 5(0) la valeur de l'intégrale / — j- prise de manière qu'elle s'évanouisse avec o = 0, c'est-à-dire en faisant (76)
1 sinO
Ç(ô) = h îlog.tang(45® + {0). l'arc s étant compris entre
le point de départ où l'inclinaison est ^ et celui où l'inclinaison est 0, on aura
on en tire
m + f^ — fO ^ , m + Ç^ — Çe eu=s — 1 — I et 8=3clog — ■ ^,
et d'après les équations (11) on aura
(13) y = c|sinx[log(m+e^— ee) — logm] — ;;)sinx(e<^— ee)
+iî"sinx[(fn+f^-fo)'.mViy8inX[(m+f^-{e)^-m^l
+ elc.j
r = f|cos;|log(m-hîv — ?o) — logm] — ;)Cos).(f9 — {6)
+ etc. l
<>< fi^rmules foumisseot des expressions assez simples de la . .'. \}T du jet Y et de l'amplitude de la branche ascendante X ; • j fjîsani • = 0. et. partant f (O) = 0, on aura
îl Y= rJsini(log(m+f9) — logm) — ::)sinx^<p
H- ^:?'sin> [{m + |qî)3-m'l -T^'sinx \{m +(vY'm'\
+ etc I
X = c|cos>|log(m + M — logm) — Osin)f(p
-Hi:;'sin;[(m + £(p)»-m'l-^5'sin)[(m+f(p)*-m*|
