LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

et comme f est le potentiel de la portion de mas.se comprise enlre les deux couches de niveau, on en conclut, en nommant U, et U, les potentiels relatifs à deux couches extérieures au point M,

W étant le potentiel relatif à la portion du corps attirant compris entre les deux couches. Si les couches sont toutes deux extérieures au corps attirant, W est nul et l'on a

ii6 U.-U.^V.-V,,

et comme Ua et V, s'annulent eu même temps quand la couche s'éloigne à l'infini, on en conclut

Le potentiel li, relatif à faction d’une couche extérieure au corps attirant sur un point de sou intérieur est donc égal à Y,, quelle que soit la position de ee point, les dérivées par rapport aux coordonnées du point attiré sont par conséquent nulles, et la couche est sans action sur les points qui lui sont intérieurs.

Si l'on considère actuellement deux couches comprenant toutes deux le point M . dans leur intérieur et dont l'une soit extérieure au corps attirant tandis que l’autre en contient une portion seulement, en leur appliquant I équation (t5) et avant égard à l'équation {17} qui a lieu pour la première, on aura pour la seconde

et comme V, est indépendant de la position du point M, on en conclut que les dérivées de U, sont égales et de signes contraires à celles de W, et que par conséquent la couche qui coupe le corps attirant exerce sur les points intérieurs une action égale et de signe contraire à celle de la portion de masse attirante qui lui est extérieure.

477. Considérons en second lieu le potentiel U d’une couche par rapport à un point extérieur M.

m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

et en nomimint c/U l'accroissement de U lorsque la couche est remplacée par la couche infiniment voisine extérieure, on trouvera comme (476) et en adoptant la même notation

c’est-à-dire (457)

d’où en intégrant

W' étant le potentiel relatif à l’action de la portion de masse comprise entre les couches C, et C, auxquelles se rapportent les potentiels U, et U,. Si C, passe par le point M, on a (476)

W étant le potentiel relatif» l’action delà partie du corps extérieur à la couche On a donc

et par conséquent

d’où l’on conclut, en prenant les dérivées par rapport aux coordonnées du point M, que l’action de C, sur le point M est égale à l’action du corps qui est la dérivée de V, diminuée de l’action de la portion comprise entre C, et C,, qui est la dérivée de W', et de l’action de la portion extérieure à C,. qui est celle de W, c’est-àdire enfin à l’action de la portion du corps intérieure à C,.

Principe des images de M. Thomson.

478. Lorsque l’on connaît le potentiel d’un certain système de masses par rapport aux divers points de l’espace, on peut en déduire celui d’un autre système dépendant du premier suivant une loi simple que M. Thomson a indiquée.

Soit P un point appartenant au premier système et m la masse de ce point, le

potentiel relatif au point A contiendra le terme • Suit O un point lixe, rempla-

çons le point P par un point Q déduit de P par la transformation, dite par rayons vecteurs réciproques, et telle que

OP.OQ =

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. k étant une constante, et soit B le point déduit de A par la même transformation, de telle sorte que l'on ait OA.OB = k t. Le potentiel de la masse m, placée en Q

sur le point B est ^ mais les triangles semblables OAP, OBQ donnent

Si l'on suppose

on aura