THÉORIE DES INTÉGRALES MULTIPLES

Définition d’une intégrale multiple.

481. Nous avons été conduits, par l'évaluation des volumes et par celle des surlaces courbes, à considérer des intégrales qui ont été nommées intégrales doubles et dont le calcul exige deux intégrations successives. Nous allons, dans ce chapitre, étudier ees intégrales indépendamment des problèmes géométriques auxquels elles doivent leur origine et en généraliser la notion analytique en considérant des intégrales d’ordre quelconque, c’est-à-dire dans lesquelles tigure un nombre quelconque d’intégrations.

. Considérons un nombre quelconque de variables a:,, x,,..., x„ indépendantes les unes des autres et assujetties à une ou plusieurs conditions d'inégalité de la forme

analogues a celle qui. dans le cas où le nombre des variables est deux ou trois seulement, leur impose la condition de représenter les coordonnées d’un point intérieur à une certaine courbe ou à une certaine surface. Les systèmes des valeurs accessibles aux variables peuvent être partagés en groupes dont chacun comprenne

toutes celles pour lesquelles les variables x,, x, x„ sont comprises chacune

entre deux valeurs infiniment voisines qui seront pour X/

Xi cl x. H- dxt.

Si nous multiplions une foncliou

par te produit

tlx T, dx . . dxM,

la somme des valeurs de ce produit, étendue à tous les groupes, est l'intégrale multiple

(«fi» •*■*»»• • -, x. </x, (/x,. . . dxny

dont k* limite* sont (klinics par l'inégalité i,.