LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FOKCTIO.NS ELLIPTIQUES. Il
653. Quel que soit le module initial X,, ceux qui s'en déduisent successivement tendent rapidement vers l'unité. Pour le démontrer, construisons la courbe dont l'équation est
élL L;.!
qui passe évidemment par l'origine des coordonnées, et par le point M dont les coordonnées sont x= i,y=\. Prenons sur celte courbe un point Q dont l'abscisse OP" soit égale à X,, l'ordonnée QP représentera X; en menant par le point Q une parallèle à l'axe des x. son intersection avec la bissectrice OM donnera un point dont l’abscisse OP, est X-, et auquel correspond l'ordonnée P, Q, égale au module qui se déduit de X; celle-ci, par la même construction, donnera un quatrième module PjQj, et la limite est évidemment l'ordonnée du point M, c’està-dire l’unité.
Si l’on se donnait d'abord le module X, pour en déduire X,, puis que de X, on déduisit par la même formule un troisième module X,, et ainsi de suite, les divers modules ainsi obtenus s'approcheraient rapidement de zéro.
651. I.es relations qui licnf les modules successifs et les intégrales correspondantes peuvent prendre une forme plus simple.
Posons
X, = tang’2.
on en déduira
lUlOR-
X = ;-?^=slnO.
i H- lana’ -
La relation (la deviendra
i — long* -
lang{|— ç)= tangif — cos&tangç,
< -+- tang’-
DEUXIEME VARTIE. - CAIXl'I. INTÉGRAL.
et l’on aura enfin
i -+- i;uigi
y cos’-'
Le théorème peut done s'énoncer comme il suit : Si l'on pose
/. =sin5, h, — lang1
lang ; 'i —
y) — cos 6 tango.
on aura
/'■ rff
i Ç * dty
• o i i — A'sin’ç
2 cos1 - ‘ ° V'- /■! sin’îj'
En posant ensuite
on aura de même
, — sin5„
A > — lang’ ^ .
tang(<|>, — rè ) cos9, lang-ji,
> o v i — A ! sin1 è
os’ 4’*'® \ i - /'i'iii’i
En continuant la même transformation et posant en général
on aura
A. — si o 5,,
— tang’ — .
lang J/. — ) cos 9. long<J/.
Ç*-> <)1 , ri
‘ " V -*ïsiït,+ ,„w.6 X
v'i - /•« , sin’ tp
et par conséquent
Çr *9 < r*- rf<|i
h »«cos’- nos’— •••cos’— *fn’+
LIVHK TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, et si A„», esl suffisamment petit, on pourra prendre
\’i — ki .sin’ij'
D'après les relations qui lient les angles 0,0 0„, on a
. / 0 JeosO
* eos 9. = 1/ i - tang‘ - = —j,
* rn«’-
et île même
GGI
cos’-
cos9, =
yVosO,
cos5.+, =
L cos 6,
par conséquent
d'où l'on déduit
cos 9, cos 0i. . . COS0.+, : - - —
y rosO rosO, . . . rus 6.
Cj fj
cos’ - cos’ ' ■ • • cos’ -a a a
rus' cos1 — • • cos’ — aa a
ycos9, cosO,... cosO, ... cos'O.+i 0» y/cosO
et la formule (i4) pourra s’écrire
, j i‘f y/ cosO , cosO,. ■ . cos’êw
Jo ^i — /t’sin'9 y'côsO a*
655. Lorsque le module est devenu très-petit, le calcul des modules suivants peut se simplifier. Soient
A.= sin9„ .
on a identiquement
et par conséquent
A.+, — tang’
(tT\~ , X
U) C°Si
I A.*, — / * " — 4 / cos •
Wii
Mais
cos ~ ^ N1 -+- sin 0, 4- \ i — sin 0. , .
Oo en déduit, en développant et négligeant la quatrième puissance de sin0„.
On a donc
a / cos sin’S,.
