LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Soient les séries (r) S = M„-h i/,H-aa-h. . .-f- w«,

( -> ) S' = v9 -h Vi H- v, -h. . .-+- ('„.

Je dis que la série

{3} tf.v.-h(«ii'i + «ii'.)H-(Wti'a-h«ii'i4-i^Vf.) + - ••+("• f» H- «i^-i + ...-+- w«Vo)-H...

est convergente et a pour limite le produit SS'.

Soient, en effet, S,, et S'„ les sommes des n premiers termes des séries (1) et (2), et S; celle des n premiers termes de la série (3). Si m est le plus grand nombre

entier contenu dans """ !? le produit

w.i'iH-(ii.i\H-n,i',)-h. ..-+■(«. C.-4-. . .+ «„(',)

est évidemment compris entre

(Uv-h M.-K . .-h Un) (i'„H- V,-h. . .-hi'w),

qui comprend tous les mêmes termes et d'autres avec, et

dont tous les termes au contraire sont compris parmi ceux de (3), on a donc, puisque par hypothèse tous les termes sont positifs,

^i<Si+iSi+lt

Or si n croit indéfiniment, il en est de même de m; par suite Sn+, et Sm+| tendent vers S, S^, et S^+1 vers S', en sorte que SJ^, est compris entre deux produits qui tendent l'un et l'autre vers SS' : il a donc pour limite SS'.