LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Soit, par exemple,

on aura

% l(i-HA) I / A< A3 A' \

et par conséquent

i fo* Ao" A'o" . Awo"~|

En comparant ce résultat avec le développement bien connu, on voit que l'expression (5) est nulle si n est impair, et que si n est pair, le facteur entre parenthèses représente le nlème nombre de Bernoulli.

346. Nous ne terminerons pas cette indication rapide de l'emploi des notations symboliques sans rapporter une démonstration remarquable de la série de Taylor. Posons

et par suite

l(x -+- A) = (i-+-/iD)ç(x),

ft(x-hzh) = (i-\-fi])yf{x„

En posant nh = a, on aura

sr

Si Ton suppose h infiniment petit et n infini, i -h AD/= e , et le signe U devient équivalent dans cette hypothèse au signe |--. ona donc

ce qui est précisément l'expression symbolique du théorème de Taylor. Digression sur les y ombres de Bernoulli.

347. Nous avons rencontré à l'occasion de plusieurs développements une suit** de nombres connus sous le nom de Sombres de Bernoulli et dont nous indiquerons ici quelques-unes des propriétés les plus importantes. On a

Multiplions membre a membre cette équation par la suivante

Le produit des premiers membres étant égal à xy il doit en être de même de celui des seconds membres et par conséquent les coefficients de toutes les autres, puissances de la variable sont égaux à zéro; on en conclut

i B, ii i

B* B„, 1 BM

B, 1 Bfl-, 1