THÉORIE DES MAX1MA ET MINIMA

Maxima et minima des fonctions d'une seule variable.

472. Lorsqu'une fonction <p (x)9 pour une valeur a de la variable, est plus grande que pour toute valeu^infiniment voisine, plus grande ou plus petite que a, on dit qu'elle est maxima. Si au*contfaire la fonction est moindre que pour toute valeur de la variable infiniment peu différente de a, on dit qu'elle est minima. Nous avons déjà remarqué que la variable croissant d'une manière continue, la dérivée de la fonction, positive lorsque celle-ci est croissante, négative lorsqu'elle est décroissante, est égale k zéro pour les valeurs qui correspondent aux maxima et aux minima. C'est là le théorème fondamental de la théorie qui nous occupe, mais il doifétre complété par l'étude des caractères qui distinguent le maximum du minimum et des cas dans lesquels, la dérivée étant nulle, il n'y a cependant ni maximum ni minimum.

473. Soit f (x) une fonction continue de la variable x; en nommant h un petit accroissement attribué à x, on a

(1) f(X + h)— f(x) = hj(x) + -*LT*(*-|-eA),

où 0 est un nombre compris entre zéro et l'unité. Si <p' (x) n'est pas nul, et que y* (x) reste fini pour les valeurs considérées de la variable, il est clair que, h étant infiniment petit, le terme du premier degré en h donne son signe au second membre de l'équation (1), la différence y (x-hh) — <p(x) change par conséquent de signe avec A, et la valeur de x ne correspond ni à un maximum ni à un minimum. La condition commune au maximum et au minimum est donc, comme nous le savions, que la dérivée f' (x) soit égale à zéro. En supposant cette condition remplie pour la valeur particulière x = a, le théorème de Taylor donne

(2) ?(fl + A)f (*, = £,*(«)+ J^t»(fl + eA,.

Si f"{a) n'est pas nul, le premier terme, pour de petites valeurs de A, donne son signe au second nombre, et la différence 9 (a -h h) — y (a) est par conséquent, quel

que soit le signe de h, de même signe que 9" (a). II y a donc minimum si y" {a) est positif et maximum dans le cas contraire.

Lorsque 9" (a) est nul en même temps que 9' (a), le théorème de Taylor donne

(3) i(a + h) — ?(«) = 7^-3 ^ («)"+- 777X4 ?,T(«-HÔ/|).

Si om {a) n'est pas nul, le premier terme donnant pour de petites valeurs de A son signe au second membre, le signe de la différence 9 (a -h h) — 9 (a) change avec celui de A, et il n'y a ni maximum ni minimum.

Le même raisonnement montre que si 9'" (a) est nul en même temps que y" [a) et 9' (a), il y a maximum lorsque ?1T(a) est négatif, ef Minimum lorsqu'il est positif.

En général, pour que la fonction 9 (x) soit maxima ou minima pour la valeur x = a de la variable, il faut que dans la suite des dérivées 9' (a), 9" (a), 9" (a),..., la première qui ne s'annule pas soit d'ordre pair; si cette dérivée est négative, il y a maximum, et si elle est positive, minimum.

Appliquons la règle qui précède à la solution de quelques problèmes.

474. Problème I.— Trouver la plus courte distance d' une courbe plane donnée par son équation y = 9(0?), à un point donné dans son plan par les coordonnées (a, /S). Le carré de la distance que Ton veut rendre minima est

(* — «r-Mr— P)a-

vêtant donné en fonction de a?, cette expression ne dépend que d'une seule variable. La règle précédente est donc applicable. En égalant sa dérivée à zéro , on a

f rfr

Cette condition commune au maximum et au minimum exprime que le point donne, dont les coordonnées sont a et /3, est situé sur la normale menée à la courbe par le point dont les coordonnées sont x et v. Pour distinguer le maximum du minimum, il faut examiner le signe de la seconde dérivée

dry , r . </•■ r

(Ix-

II y a maximum si cette expression est négative, et minimum si elle est positive. Lorsqu'elle est nulle, il n'y a, en général, ni maximum ni minimum.

Si le point représenté par les coordonnées a, |3, se meut sur une normale de la courbe donnée, x et vêtant les coordonnées du pied de cette normale, l'expression (2) ne changera de signe qu'une seule fois, et ce sera pour la valeur de /3 qui

la rend nulle. Il existe donc sur chaque normale un point qui sépare ceux dont la distance à la courbe comptée sur cette normale est un minimum, de ceux dont la distance est un maximum. La normale comptée à partir de ce point n'est ni maxima ni minima, en sorte que le cercle tangent a la courbe décrit de ce point comme centre n'est ni complètement intérieur dans le voisinage du point de contact, car la distance serait minima, ni complètement extérieur, car elle serait maxima; mais les distances de son centre aux points de la courbe étant les unes plus grandes, les autres plus petites que son rayon, il traverse la courbe, à laquelle il est cependant tangent, puisque son centre est situé sur la normale au point qui leur est commun. Ce cercle remarquable, que l'on nomme cercle oscillateur, joue un grand rôle dans la théorie des courbes, et nous aurons à l'étudier sous d'autres points de vue.

475. Les résultats précédents s'étendent aisément aux courbes à double courbure. Soient y=y(a?), z = ty(œ), les équations d'une telle courbe, et a, /3, y les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, le carré de la distance de ce point h un point de la courbe ayant pour coordonnées x, y, z, est

(x — «)>-t-(r pp-H^— ?)..

Pour que cette distance soit maxima ou minima, il faut que la dérivée soit nulle, la condition commune aux deux cas est donc

/ x /, v dy . . dz

;.) (*-«)-Hr-P> £ + ('-7)^=0.

Cette équation exprime que le point a, |3, 7 est situé dans lé plan normal à la courbe menée par le point x,y, z. La ligne maxima ou minima est par conséquent une normale comme dans le cas précédent. Le signe de la seconde dérivée

/dy\* fdz\* , „N'/2r , % </a s

apprendra si la distance est maxima ou minima. Le pied de la normale étant donné, les points du plan normal dont la distance a ce pied est un minimum, sont séparés de ceux pour lesquels elle est minimum par une droite dont l'une des équations s'obtient en égalant à zéro l'expression (a). L'autre équation est évidemment celle du plan normal. Le caractère des points de cette droite est que leurs dislances au point oc, Y9 z, quoique normales a la courbe, ne sont ni maxima ni minima; elle est, comme nous le verrons plus tard, l'axe du cercle oseulateur de la courbe a double courbure. •

476. Le problème que nous venons de résoudre présente dans un cas particulier

que soit le signe de A, de même signe que y" [a). Il y a donc minimum si ffm(a) est positif et maximum dans le cas contraire.

Lorsque 9" (a) est nul en même temps que qp'(a), le théorème de Taylor donne

Si om (a) n'est pas nul, le premier terme donnant pour de petites valeurs deAson signe au second membre, le signe de la différence 9 (a -h h) — 9 (a) change avec % celui de /*, et il n'y a ni maximum ni minimum.

Le même raisonnement montre que si 9* (a) est nul en même temps que f(a) et ç'(a)t il y a maximum lorsque <pIT (a) est négatif, ef Minimum lorsqu'il est positif.

En général, pour que la fonction o(x) soit maxima ou minima pour la valeur x = a de la variable, il faut que dans la suite des dérivées 9' (a), 9" (a), 9" (a;,..., la première qui ne s'annule pas soit d'ordre pair; si cette dérivée est négative, il y a maximum, et si elle est positive, minimum.

Appliquons la règle qui précède à la solution de quelques problèmes.

474. Problème I.— Trouver la plus courte distance d'une courbe plane donnée peu son équation y = 9 ( x) , à un point donné dans son plan par les coordonnées ( a, /3;. Le carré de la distance que Ton veut rendre minima est

vêtant donné en fonction de x, cette expression ne dépend que d'une s eule variable. La règle précédente est donc applicable. En égalant sa dérivée à zéro , on a

*,dv

' r dx

Cette condition commune au maximum et au minimum exprime que le point donne, dont les coordonnées sont a et |3, est situé sur la normale menée à la courbe par le point dont les coordonnées sont x et v. Pour distinguer le maximum du minimum, il faut examiner le signe de la seconde dérivée

(dry , , % </'-' y

Il y a maximum si cette expression est négative, et minimum si elle est positive. Lorsqu'elle est nulle, il n'y a, en général, ni maximum ni minimum.

Si le point représenté par les coordonnées a, j3, se meut sur une normale de la courbe donnée, xuty étant les coordonnées du pied de cette normale, l'expression (2) ne changera de signe qu'une seule fois, et ce sera pour la valeur de fi qui