LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

admettre que cette dernière soit développable. Les courbes planes font seules exception. La surface lieu des normales principales, et la surface lieu des tangentes,

se confondent alors en un seul et même plan qui est celui de la courbe.

597. Il résulte de la remarque précédente que le lieu des centres de courbure d'une courbe à double courbure n'a pas pour tangentes les normales principales de cette courbe. Si cela était, en effet, les normales principales, étant tangentes à une même courbe, formeraient une surface développable: c'est là une différence essentielle entre la théorie des courbes à double courbure et celle des courbes planes. Les courbes à double courbure ont, il est vrai, des développées dont nous étudierons la théorie dans un autre chapitre; mais c'est dans le seul cas des lignes planes, que l'une d'elles se confond avec le lieu des centres de courbure.

Quelques pages écrites par d'illustres géomètres ont ajouté un intérêt historique à l'importance propre de la remarque précédente. Lagrange, en effet, en écrivant la théorie des fonctions analytiques, croyait que le lieu des centres des cercles osculateurs peut, dans certains cas, avoir pour tangentes les normales principales delà courbe; il cherche même la condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi, et ne remarque pas, quoique Monge l'eût dit depuis longtemps, que les courbes planes satisfont seules à cette condition. L'erreur échappée à l'illustre auteur a été signalée par Jacobi, et niée par Poisson, qui, se méprenant sur le passage critiqué, contesta d'abord l'exactitude de l'observation qu'il ne tarda pas d'ailleurs à reconnaître; peu de temps après, Poinsot montra que l'analyse même de Lagrange conduit à la conclusion exacte, qu'il n'eût pas manqué d'apercevoir en poussant les calculs un peu plus loin.

598. Les formules que nous avons fait connaître permettent d'ailleurs de démontrer analytiquement d'une manière fort simple que les normales principales ne sont jamais tangentes à la courbe lieu des centres de courbure.

Soient a?, j, z les coordonnées d'un point de la courbe; a, b, c celles du centre de courbure : on a, en adoptant les notations du paragraphe précédent,

a = x -f- p cos X ,

b=y + pcosn,

c = z -h p cos v ; on en conclut

da = dx-^-pd cos >. -f- cos X d p ,

db = djr-+- pd cos p -h cos pdpy #

de =dz-t-pd cos v -f- cos v dp.

Mais si la courbe dont les points ont pour coordonnées a, b, c est tangente à la normale principale, le rayon de courbure étant tangent à la courbe parcourue par une de ses extrémités, et normal à celle que décrit l'autre, son accroissement dp est

égal (21) au déplacement de cette extrémité, et Ton a

da = cosldpf rfA = cos|utrfp, de = cosv dp. Les équations se réduisent par conséquent, dans ce cas, à

dx-\-pdcosl = o> rf^4-prfcos|ut = o, dz-+-pd cos v = o .

En remplaçant dans cette équation dx> dy, dz par leurs valeurs cos a ds, cosjSdEr, cos yds, et dcosl, dcosp, depsv, par les valeurs trouvées (590), on en déduit

°cos? = o,

- COS y = o, r

- cos£ = o.

Le rayon de courbure ne pouvant pas (579) être nul, ces équations exigent que r soit infini, et que par conséquent la courbe soit plane.

599. Après avoir démontré que les normales principales d'une courbe ne peuvent pas former une surface développable, il est naturel de se demander si cette condition est la seule qui leur soit imposée, et si toute surface gauche peut être considérée comme le lieu des normales principales à une courbe tracée sur elle. Mais la solution de cette question devant emprunter quelques résultats a la théorie des surfaces, elle trouvera sa place dans un autre chapitre.

Pour compléter en ce moment l'étude de la loi de distribution des normales principales à une courbe, nous allons chercher l'expression de l'angle formé par deux normales infiniment voisines, et la grandeur et la position de leur plus courte distance.

Soient MM' un arc infiniment petit pris sur une courbe à double courbure, MN la normale principale en M, et M'N' la normale en M': ces deux droites ne se rencon-

trent pas; mais parmi les normales menées par le point M' à la courbe MM', il en