LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
ligne sont parallèles; les plans tangeuts correspondants sont donc aussi parallèles, et se réduisent par conséquent à un seul, car une surface ne peut évidemment pas toucher une série continue de plans parallèles entre eux. La surface étant touchée par un même plan tout le long d'une ligne de courbure est l'enveloppe des positions d'un plan dans l'équation duquel ne figure qu'un paramètre variable, et est, par conséquent, une surface développable.
• 693. Le même théorème peut se démontrer analytiquement d'une manière fort
simple. Pour que l'un des rayons de courbure de la surface soit infini, il faut que
l'équation du second degré trouvée (634) ait une racine infinie, et pour cela la
condition nécessaire et suffisante est
( i ) rt — sf = o ;
en posant
dz dz
on a, comme on sait,
dx dy djr dx
L'équation (i) équivaut par conséquent à
dp dq
, . dx dx
dy dy et elle exprime (73) qu'il existe entre les fonctions/? et q une relation
L'équation générale du plan tangent étant
Ç — *=p{\ — *) + q[v\— X)> c'est-à-dire
(3) Z = pl-hqri + z — px— qy\
la surface cherchée est l'enveloppe des positions de ce plan. Or on peut démontrer que l'équation (3) ne contient qu'un seul paramètre variable q. On a en effet, comme on vient de le démontrer,
Si donc q est constant, p est constant aussi; p et q étant constants, l'expression
z—px — qy est aussi constante: elle a en effet pour différentielle
dz — p dx — q dy — xdp — y dq ;
or on a, puisque p et q sont constants,
dp = o , dq = o9
et d'ailleurs,
dz = pdx-+-q dy.
Les coefficients de l'équation (3) sont donc constants pour chaque valeur donnée à q9 la surface cherchée est par conséquent l'enveloppe d'un plan dont l'équation ne contient qu'un seul paramètre variable; c'est par conséquent une surface développable.
694. Surface enveloppé d'une sphère. — Lorsque l'équation d'une sphère mobile contient un seul paramètre variable, le centre de cette sphère parcourt une courbe déterminée, et à chacune de ses positions correspond une valeur déterminée du rayon; la surface enveloppée est le lieu des intersections de chaque sphère avec la sphère infiniment voisine; cette intersection est un cercle suivant lequel la sphère enveloppée touche la surface, et qui, évidemment, est une ligne de courbure. Les normales à la surface menées par les points de ce cercle sont en effet normales à une même sphère au centre de laquelle elles se rencontrent; le rayon de courbure correspondant cstle rayon même de la sphère au centre de laquelle vont concourir deux normales infiniment voisines. La surface enveloppe d'une sphère a donc pour lignes de courbure de l'un des systèmes, des cercles, et le rayon de courbure correspondant à l'un de ces cercles est égal à celui de la sphère inscrite dont il est la ligne de contact.
695. La réciproque du théorème précédent est exacte : une surface qui admet un système de lignes de courbure circulaires est l'enveloppe d'une sphère mobile dont le centre parcourt une ligne donnée.
Une ligne de courbure circulaire étant nécessairement plane, son plan coupe eu effet (678) la surface sous un angle constant. Les normales à la surface menées par les différents points de cette ligne forment donc un cône de révolution, et la sphère décrite du sommet de ce cône comme centre, avec la distance au cercle pour rayon, touche évidemment la surface en chaque point du cercle qui leur est commun. A chaque ligne de courbure correspond dpnc une sphère inscrite dont cette ligne est le cercle de contact, et la surface est l'enveloppe de ces sphères.
